Suite de la composition des proportions. Dans toute

proportion,

1« La somme des antécédents est à la somme des conséquent s, comme un antécédent quelconque est à son conséquent, c'està-dire :

Pour le prouver, on permute les moyens entre eux dans [a],

ce qui donne :

puis on applique à cette proportion nouvelle le théorème

i« (376), et Ton a :

puis l'on permute les moyens : ce qui donne la proportion énoncée [6].

2o La différence des antécédents est à la différence des conséquents, comme un antécédent quelconque est à son conséquent ; c'est-à-dire, selon que a est plus grand ou plus petit que c :

r 1 Cl — c c a c—a c a ^ , . -,

Même raisonnement que pour le cas de la somme ; seulem.enl on applique le théorème 3° (376).

3° La somme des antécédents est à leur différence, comme la somme des conséquents est à leur différence ; c'esi-k-dire , suivant les cas :

[8] = T — ;ï' ou = -, T. [ShlS^

En effet, les proportions [6], [7], et ["jhis], ayant un rapport

, , a-hc a — c a-{-c c — a,

commun, on en conclut : ,— — -,= 7— — -., ou 7— — -,= - — 7, ' o-\-d o-\-d b^d d — 6

et 5 en permutant les moyens, on obtient les proportions [8]

et [8 bis].

378. Série de rapports égaux. Dans une série de rapports égaux, la somme d'un nombre quelconque d'antécédents est à la somme des conséquents correspondants^ comme un antécédent quelconque est à son conséquent.

Soit la série de rapports égaux :

a c f il i b^d'^g — Ic—l" "

a c Les deux premiers -» y formant une proportion, on en

conclut (377, 1«):

lH^i — (r

ou, en remplaçant le rapport -^par son égal -»

a-rc f b-h-d — g

Appliquant à cette proportion nouvelle le même théorème

(377, l'),on a:

; z=z -» OU 7 ; ^^7»

b-hd-\-g g b-\-d-t-g k Appliquant à cette dernière le même théorème, on a:

b-j-d-hg-i-k'^T

et ainsi de suite. Le théorème est démontré. Exemple ;

donc

6 ir i8

EXERCICES

T r. •. 1 .ne , , a-{-b c-{-d

I. On sait que la proportion - = - entraîne la proportion -= ,

(376,5°). Prouver que réciproquement = entraîne - = -.

,, ^. a c . pa-\-qc a

II. Si r = - est une proportion, prouver que ■ — -: et que re-

b d ^ ^ ^ ^ pb-\-qd ~ b' ^

ciproquement la première proportion est une conséquence de la seconde (p et q étant des nombres quelconques).

III. Si = - est une proportion, et si p, q, p', q' sont quatre nombres

pa-\-qc p'a~\-q'c „, .

quelconques, on a , = —, ^— Réciproquement cette proportion

pb-\-qd pb-\-q'd ^ ^ ^ ^

a pour conséquence --=--> ou - = -•

IV. Puisque, dans une proportion, - -, le produit des extrêmes est