I. DES GRANDEURS PROPORTIONNELLES

379. DÉFINITIONS. i° On dit que deux grandeurs sont directement proportionnelles, ou simplement sont proportionnelles, lorsqu'elles dépendent Tune de Tautre, de manière qu'à chaque valeur de l'une corresponde une valeur de TautrC;, et que le rapport de deux valeurs quelconques de la première soit égal au rapport des valeurs correspondantes de la seconde.

Exemples : Le salaire d'un ouvrier est^ en général^ proportionnel au temps pendant lequel on remploie.

La circonférence d'un cercle est proportionnelle à son rayon.

Le volume d'une sphère est proportionnel au cube de son rayon.

Le poids d'un corps homogène est proportionnel à son volume.

L'espace parcouru par une locomotive^ quand son mouvement est uniforme, est proportionnel au temps employé à le parcourir.

2° On dit que deux grandeurs sont inversement proportionnelles, lorsqu'elles dépendent Tune de l'autre, de manière qu'à chaque valeur de l'une corresponde une valeur de l'autre, et que le rapport de deux valeurs quelconques de la première soit inverse du rapport des valeurs correspondantes de la seconde.

Exemples: Le temps employé à faire un ouvrage déterminé est, en général, inversement proportionnel au nombre des ouvriers que l'on emploie.

Si l'on fait varier les dimensions d'un rectangle, sans altérer rétendue de sa surface, la base du rectangle est inversement proportionnelle à la hauteur correspondante.

Le volume d'une masse de gaz est inversement proportionnel à la pression qa'il supporte.

La vitesse imprimée à un corps par une force constante est inversement proportionnelle à la masse du corps.

3» En général, une grandeur dépend de plusieurs autres: lorsqu'on dit qu'elle est proportionnelle ou inversement proportionnelle à Tune d'elles, on suppose que celles dont on ne parle pas ne varient pas.

On dit qu'une grandeur est proporUonnelle à plusieurs autres, lorsqu'elle est séparément proportionnelle à chacune d'elles: elle est inversement proporUonnelle à plusieurs autres, lorsqu'elle est inversement proportionnelle à chacune d'elles prise isolément.

Exemples : Le poids d'une barre prismatique de fer est proportionnel à sa longueur, à sa largeur, à son épaisseur.

Le temps pendant lequel une certaine somme rapportera un certain intérêt, à un certain taux, est proportionnel à l'intérêt; mais il est inversement proportionnel au capital et au taux.

L'attraction qu'exerce un corps de la nature sur un autre est proportionnelle à la masse du corps attirant; mais elle est inversement proportionnelle au carré de la distance des deux corps.

380. Comment on constate la proportionnalité des grandeurs. La proportionnalité de certaines grandeurs est parfois évidente, ou admise comme telle : telle est la proportionnalité entre le capital et l'intérêt qu'il produit, entre le salaire d'un ouvrier et le temps pendant lequel il travaille. Souvent elle résulte de démonstrations rigoureuses données par la géométrie, la physique et la mécanique. Dans aucun cas, l'arithmétique n'a à la démontrer : elle l'admet comme un fait, et elle raisonne sans se préoccuper des moyens qu'on a employés pour l'établir.

Cependant il est des cas, où la proportionnalité directe ou inverse de certaines grandeurs ne résulte d'aucune démonstration a priori : elle est, pour ainsi dire, d'intuition naturelle. Dans ces circonstances, on s'aide volontiers des deux remarques suivantes :

APPLICATIONS DE LA TllÉOllîE DES PROPORTIONS. 207

l*^ Pour que deux grandeurs A etB soient directement proportionnelles, il suffit que, l'une prenant des valeurs deux fois, trois fois, quatre fois,... plus grandes ou plus petites, l'autre prenne des valeurs correspondantes deux fois, trois fois, quatre fois,... plus grandes ou plus petites.

On suppose que, A prenant des valeurs a, 2a, 3 a,. . . . !ja, I a,.... B prend les valeurs correspondantes &, 26, 3&,.... |6,5 6,....; et il faut prouver que, si A prend une valeur égale à Y 0,, B prend , h pour valeur correspondante. En efîet^ on peut admettre que A prend la valeur | a par deux changements successifs ; c'est-à-dire qu'elle prend d'abord la valeur 5 a, puis ensuite une valeur cinq fois plus grande. Or, quand A prend la valeur , a, 7 fois plus petite que a, B prend, d'après l'énoncé, la valeur 56,7 fois plus petite que b. Puis quand A prend la valeur fa, 5 fois plus grande que j a , B prend, d'après Fénoncé, la valeur f 6,5 fois plus grande que

Y b. Le théorème est donc démontré pour tous les cas où le rapport des valeurs d'une même grandeur reste commensurable. On Tétend d'ailleurs au cas où ce rapport est incommensurable, en le remplaçant par ses valeurs commensurables de plus en plus approchées, pour lesquelles le théorème est toujours vrai.

'^^ Pour que deux grandeurs A et B soient inversement proportionnelles, il suffit que, l'une prenant des valeurs deux fois, trois fois, quatre fois,... plus grandes ou plus petites, Fautre prenne des valeurs correspondantes, deux fois, trois fois, quatre fois,.... plus petites ou plus grandes.

On suppose que, A prenant des valeurs a, 2a, 3a,... | a, |a, etc, B prend desvaleurs correspondantes 6, | 6, | 6, 26,36 etc.; et il faut prouver que, si A prend une valeur telle que I a, B prendra la valeur |- 6. En elTet, quand A prend la valeur

Y a, 7 fois plus petite que a, B prend, d'après l'énoncé, la valeur 76, sept fois plus grande que 6 ; et quand A prend ensuite la valeur f a, j fois plus grande que y a, B prend, d'après renoncé, la valeur J 6, 5 fois plus petite que 76. Le théorème est donc démontré pour tous les cas où le rapport est commensurable, et, par suite, pour ceux où il ne l'est pas.

Exemples : 4^ Si Ton admet que, pour faire un ouvrage deux fois, trois fois, quatre fois... plus grand ou plus petit, il faut employer deux fois, trois fois, quatre fois... plus ou moins d'ouvriers, on en conclura que, dans tous les cas, la quantité d'ouvrage confectionné est proportionnelle au nombre des ouvriers.

2° Si l'on admet, comme on le démontre en physique, que, lorsque la pression exercée sur un gaz devient deux fois, trois fois... plus grande ou plus petite, le volume du gaz devient, au contraire, deux fois, trois fois plus petit ou plus grand, on en conclura que, dans tous les cas, lo volume du gaz est inversement proportionnel à la pression qu'il supporte.