CXI
Four avoir le taux de Vinlêrêt d'un franc, on divise Vintérêl du capital par le produit du capital par le temps.
389. Troisième problème : calcul du capital. Quel est le capital qui, placé à 6 pour loo pendant 225 jours, produirait un intérêt de 2400 fr. ?
On dispose ainsi le tableau :
& sont, après 365 jours, l'intérêt de loo^,
Le capital est directement proportionnel à l'intérêt qu'il rapporte dans un temps donné : il est inversement proportionnel au temps pendant lequel il rapporte un intérêt donné. Donc
[41 XZ=ZlOO'X -^X p, ou X=:=— jr— ^
On tire de là :
^^ 8000x73 ^584ooç>^
Formule. L'expression [4] peut s'écrire
et, par suite, la formule du capital est :
rxt
390. Quatrième problème : calcul du temps. Pendant combien de temps faudrail-il placer une somme de 3620 fr. à 4 2 "U par an, pour qu'elle rapportât 25o fr,?
On dispose ainsi le tableau :
100^ rapportent 4S 5 en i an, 3620 25o X.
La durée du prêt est proportionnelle à l'intérêt, quand le
AITLICATIONS DE LA THÉORIE DES PllOPOKTIONS. 279
capital ne varie pas ; mais elle est inversement proportionnelle au capital qui doit produire un intérêt donné : donc
,^, loo 25o ,„ 25oXioo
^ ^ j()20 4^^> J62oX4v>
On tire de là :
5ooo ,, , 1742^"
X = y^-^ d année = i'^t—t, =: i^n i oô j"""-' environ. v)258 3258 •
Formule. L'expression [5] peut s'écrire
et, par suite^ la formule du temps est : [d] i = i-X
cxr
391. Remarque. Ces quatre problèmes se résolvent algébriquement, à l'aide de la formule unique
iz=cxrxt,
dans laquelle on prend successivement, pour inconnue, chacun des éléments, i, r, c, t.
392. Autre remarque. Ordinairement, les banquiers comptent 3o jours par mois, et 36o jours par an. II en résulte que, dans le calcul de Tintérêt d'un capital (387), le dénominateur de l'expression [i] est 36ox 100. Par suite, si le taux est 5, la suppression du facteur commun 5 amène, au diviseur, 72 au lieu de 73. Si le taux est 6, le diviseur est 60; s'il est 4? le diviseur est 90 ; et s'il est 4 {, le diviseur est 80. L'emploi de ces diviseurs abrège notablement les calculs d'intérêt.
393. RÈGLE d'intérêt composé. Lorsqu'un capital est prêté pour plus d'un an, et que le prêteur ne touche pas les intérêts échus à la fin de chaque année, l'usage est d'ajouter ces intérêts au capital, et de grossir ainsi la somme prêtée, de sorte que les intérêts augmentent tous les ans. On dit alors que le capital est placé à inléréts composés, ou que l'on perçoit les inlérêls des intérêts.
■2S0 LIVRE VÎ. — CnAPITlŒ H.
Exemple ; Un capital de 6000 fr. est placé à j °/o l'an, à intérêts composés, pour 3 ans: que devient ce capital au bout des 5 ans ?
Remarquons c{ue l'iniérôt à 5 '^/oest le vingtième du. capital, puisque 5 est 2^ de 100. On établira donc le calcul suivant :
Capital prêté =6000' î)
Intérêts à la fm delà rMn née = 3oo »
Capital à la fin de cette année =6300 » Intérêtsàlafindela 2"i®année = 3i5' ))
Capital à la fin de la 2™^ année = 6 6 i 5 » Intérêts à la fin de la 3*°« année = 3 3 o, 7 5
Capital à la fin de la 3'"« année = 6 9 4 5, 7 5 Intérêts à la fin delà 4'^e année = 347, "^875
Capital à la fin de la 4™'' année = 7 2 9 3, o 3 7 5 Intérêts à la fin de la 5'^^ année = 364, 65t87d
Capital à la fin de la 5'"« année = 766 7^, 689370
Le capital accru est donc 7657^, 69; et, par conséquent, Tintérêt composé est 1667^ ^l9- L'intérêt simple eût été ijoofr.
Nous n'insisterons pas sur les questionsdes intérêts composés. On donne en Algèbre, pour les résoudre, des méthodes expéditives, fondées sur l'emploi des logarithmes.
§ IV. RÈGLE DESCOMPTE.
394. Définition. Une personne achète des marchandises ; au lieu de payer comptant, elle s'engage par un billet à payer à son vendeur, à une époque déterminée^ la somme qu'elle lui doit. Le vendeur, possesseur du billet, voulant immédiatement de l'argent, s'adresse à un banquier , et lui propose d'acheter le billet. Le banquier accepte l'offre, et donne une certaine somme en échange du billet. Mais la somme qu'il donne est inférieure
à la somme portée sur le billet, parce que le billet ne vaudra sa valeur nominale qu'à Tépoque où il est payable.
La retenue que fait le banquier se nomme escompte du billet. La somme portée sur le billet se nomme son montant ou sa valeur nominale. La différence entre le montant et l'escompte est la valeur actuelle du billet. L'époque à laquelle le billet doit être payé se nomme l'échéance.
On distingue deux manières d'escompter un billet : l'escompte en dehors ou commercial, et l'escompte en dedans ou rationnel.
395. Escompte en dehors. Un billet de 4800 fr. est payable à 90 jours : on propose de l'escompter, le taux de l'intérêt étant 60/0.
On raisonne , comme s'il s'agissait de calculer Tintérêi de 4800 fr., prêtés pendant 90 jours, à 6 0/0. On applique, en conséquence, la règle du n^387; et, supposant Tannée de 36o jours,
on trouve : x= =^-.57^ ^ = 72^.
Ainsi l'escompte en dehors est Vintérêt que produirait le montant total du billet, placé pendant le temps qui doit s'écouler jusqu'à l'échéance.
Le banquier remet, en échange du billet, 4800 fr. — 72 fr., ou 4728 fr.
Formules. Si l'on désigne par e l'escompte et par M ie montant du billet, la formule de Tescompte en dehors est:
[a] e = Mxrxt,
r étant, comme précédemment, l'intérêt d'un franc par an, et ne temps qui doit s'écouler jusqu'à l'échéance, évalué en fraction d'année.
Désignons par V la valeur actuelle du billet ; elle est évidemment la différence entre le montant et l'escompte, c'està-dire :
[b] V=M— Mxrx^, ou V = M(i— rx^^.
396. Escompte en dedans. En opérant l'escompte d'après la règle précédente, le banquier retient plus qu'il ne devrait re-
tenir : car il prend Tintérêt du montant total du billet, au lieu de prendre seulement l'intérêt de sa valeur actuelle. Il est clair, en effet, que l'escompte d'un billet ne doit être que la différence entre le montant et la valeur actuelle ; par conséquent la somme déboursée par le banquier, augmentée des intérêts de celte somme^ devrait reproduire le montant du billet. L'escompte, opéré de cette manière, se nomme Vescompte en dedans.
Ainsi Vescompte en dedans est l'intérêt que produirait la valeur actuelle du billet pendant le temps qui doit s'écouler jusqu'à Véchéance.
Appliquons cette définition au problème précédent.
On doit calculer d'abord ce que rapporteraient loo fr. pendant le temps qui s'écoulera jusqu'à l'échéance, en disant : loo fr. rapportent 6 fr. en 36o jours, que rapporteront-ils en 90 jours? (règle de trois simple et directe). Et l'on trouve : i^ 5o.
Cela posé, on remarque que 100 fr., rapportant i^, 5o en 90 jours, deviennent, au bout de ce temps, ioi*^,5o: par conséquent, payer 100 fr. aujourd'hui et promettre par un billet de payer loi^, 5o clans 90 jours, ce sont deux opérations équivalentes. Donc un billet de loi^, 5o, payable dans 90 jours, ne vaut aujourd'hui que 100 fr.; et l'escompte sur ce billet doit être de i', 5o.
On peut donc établir le tableau suivant :
