MONTANT. VALEUR ACTUELLE. ESCOMPTE

loi^, 5() 100 i^ 5o

Or si, dans les mêmes conditions, on présente à Tescompte un billet double, triple, quadruple, il est évident que sa valeur actuelle sera double, triple, quadruple, et que la retenue sera aussi double, triple, quadruple. Donc la valeur actuelle V, et rescompte e du billet de 4800 fr., se calculent par deux règles de trois simples et directes. On a ainsi :

100x4800 , ,, T.5ox48oo ,

ioi,5o ^^ ^ ^ ioi,5o

Formules. Si i fr. rapporte rf en un an, il rapporte rx^dans le temps /; il devient donc^ au bout de ce temps^ (iH-rXO- Donc un billet (i-f-rxO^ payable au bout du temps t, ne vaut aujourd'hui que I fr. ^ et doit^ par suite^ subir un escompte égal à rX^- Donc, dans les mêmes conditions, un billet, dont le montant est I fr.,aune valeur actuelle égale à -» et doit subir

rX^ un escompte é^al à — • Donc un billet, dont le mon-

tant est M - a une valeur actuelle éofale à > et doit subir

^ o i-i-rx^

Mx^X t un escompte éi^al à — • Ainsi :

(6', V=-i!— , e = ^XrXf (,,,.

^ ^ i-i-rxi i-\-rxt

397. Prorlèmes divers a résoudre. Les questions relatives à Tescompte, comme celles qui sont relatives à l'intérêt, donnent lieu à quatre problèmes principaux, selon que Ton prend pour inconnue l'escompte, le taux, le temps ou le montant. Nous venons de résoudre le premier. Disons brièvement comme on résout les trois autres.

398. Calcul DU TAUX : Un billet de 8000 /r., payable dans quatre mois, a subi un escompte de 120 fr. A quel taux a-t-il été escompté ?

4« Escompte en dehors. 120 fr. sont l'intérêt de 8000 fr. pour quatre mois (394). On établit donc ce tableau :

etrona(388): ^ = 120X0 — X7-~4s50'

Formelle

2o Escompte en dedans : 120 fr. sont l'intérêt de la valeur actuelle du billet, ou de 8000^ — 120^ = 7880^, pour 4 mois.

De là le tableau : 7880? 4"''''^ 120^

et Ion a (388) : ^=:i2oX-ôô-X t- =4S^7«

g Formule: r =

{M—e]xt

399. Calcul du temps. Un billet de loooo fr. a été escompté au taux 6, et a subi ime retenue de 240 fr.: à quelle époque était-il payable ?

i"" Escompte en dehors. 240 fr. sont Tintérêt de loooo fr. pour le temps cherché. On écrit donc le tableau suivant :

loooo 240 oc

et Ion a 390) : x= i"" X X-r- = o'% 4'""" 24^°"'^

Formule: t =

Mxr

2° Escompte en dedans. 240 fr. sont Tintérêt de loooo'— 24of ou de 9760^; d'où le tableau :

et l'on a (390) : ^ == i^" x — jv- x -^ = 4'""" 283»^'-^ ^ 97^0 o

Formule : t =z

(M— e)xr

400. Calcul du montant du billet. Quel est le montant d'un billet qui, payable dans cinq mois , et escompté à 6 Vo, a subi un escompte de 5oo fr. ?

V Escompte en dehors. Ce problème ne diffère pas de celui du no 389.

On pose donc :

6^ sont, pour 12 mois, l'escompte de loof 000 » 5 y) X

. 1, f 5oo 12

et Ion a: ^=: io<y x -tt-x — =20000^ .

Formule: M =

rxt

2° Escompte en dedans. On calcule d'abord ce que loo fr. rapportent en cinq mois, et Ton trouve 2^,50. On en conclu l que loofr., à ce taux, deviennent, en cinq mois, 102', 5o. Donc la valeur actuelle d'un billet de io2^,5o, payable dans cinq mois, est 100 fr. ; et si Ton paie ce billet actuellement, il subira un escompte de 2.\ 5o. On pose, en conséquence, le tableau :

2^ 5o est l'escompte d'un billet dont le montant est 102^, 5o 5oo ^ X

et 1 on a : x= io2,5oX — f" =2o5oof.

Formule: M= ^

rxt

§ V. DES RENTES SUR l'ÉTAT.

401. Exposition. Lorsqu'un État a besoin d'argent pour une entreprise extraordinaire (guerre, travaux publics, etc.), il emprunte aux particuliers, et s'engage à payer à perpétuité Ja rente de l'emprunt. Il donne, en conséquence, à chaque prêteur, une inscription de rente, c'est-à-dire une déclaration, qui atteste que ledit prêteur est inscrit sur le grand livre de la dette publique, pour une rente annuelle. L'État n'est jamais obligé à rembourser le capital de sa dette, quoiqu'il ait le droit de le faire. Il paie la rente par moitié tous les six mois, ou par quart tous les trois mois.

La quotité de la rente seule est désignée sur l'inscription de rente : le capital qu'elle représente n'y figure pas. Toutefois, l'inscription, qui est aux mains du créancier de l'État, porte le titre de rente 3o/o, rente 4*^/0, rente 4l°h? "rente 5%: ce qui veut dire que 3 fr. de rentes en 3%, ou 4 f^"- de rentes en 4%, ou 4 fr., 5o de rentes en 4 i °/", ou enfin 5 fr. de renies en 5%, représentent également un capital nominal de 100 fr.: de .^orte que, si l'État voulait rembourser une de ces inscriptions, il devrait donner 100 fr. à son créancier.

Un particulier peut toujours vendre ou acheter à un autre des rentes sur TÉtal; les Agents de change près la Bourse sont institués pour servir d'intermédiaires entre l'acheteur et le vendeur; ils perçoivent^ pour ce service^ une rétribution fixée par la loi ou par l'usage, et nommée courtage. Le cours de la rente, c'est-à-dire le prix auquel on peut Tacheter ou la vendre, est variable comme celui de toute marchandise ; il dépend de Voffre et de la demande; il se débat entre les agents, pour le compte de leurs clients. Le vendeur cède son titre ; et TÉtat le transfère à l'acheteur, en lui livrant une inscription nouvelle.

Le cours du 3% est le prix d'une inscription donnant droit à 3 fr. de rentes : le cours du 41% ^st le prix d'une inscription donnantdroità4fr-;j5o de rentes. Lorsque TolTre est supérieure à la demande, le cours diminue, il y a baisse; il y a hausse, lorsque la demande est supérieure à FoiTre. Lorsque la rente atteint, dans ses fluctuations diurnes, le cours de loo fr., on dit qu'elle est au pair. L'État ne peut racheter des rentes et les annuler, que lorsque le cours est au-dessous du pair.

Les emprunts et les conversions ont augmenté ou modifié, à plusieurs reprises, les rentes françaises.

Le principal fonds d'État, en France, est aujourd'hui le 3 o/o; les inscriptions sur le grand livre atteignent, pour ce fonds, la somme énorme de 318406294 fr. de rentes. L'État a encore deux autres dettes. Tune en 4 | o/^, s'élevant à 39236885 fr. de rentes ; et l'autre en 4Vo> ^^ s'élevant qu'à 456236 fr. de rentes. Les arrérages ou. intérêts du 3Vo se paient par quart, le i^"" janvier, le i"' avril, le i«'' juillet et le v octobre de chaque année ; les arrérages des deux autres rentes se paient par moitié, le 22 mars et le 22 septembre.

402. Achat d'une inscription de rentes déterminée. Unepersonne veut acheter, en 3%, une inscription de 62S fr. de rentes; le cours est 69^, 5o. Quelle somme doit-elle débourser ?

Dire que le cours est 69', 5o, c'est dire que 3 fr. de rentes se paient 69', 5o. On peut donc poser le tableau suivant : 3^ de rentes se paient 69^, 5o 628^ X

Comme évidemment le prix est proportionnel à Tinscription, on a :

x=6gfj OCX -T- — 14548', 66.

L'acheteur doit, en outre, à l'agent, comme courtage, 5o fr. pour 3oco fr. de rentes; et, par conséquent, pour 628 fr. de rentes, il doit 10^,46. Il a donc à payer i45oc)^i2.

403. Conversion d'une somme déterminée en rentes. Une personne veut placer 20000 fr. en rentes 3% ; à quelle inscription a-t-elle droit, le cours du 3% étant 70^, 25?

On écrit le tableau suivant :

70f, 25 rapportent 3^ de rentes

et Ton a: x=.yx 3 = 804^..

La rente ne comporte pas de fraction de franc. On calcule le capital représenté par 854 fi*- de rentes, d'après le problème précédent; on trouve 19997', 83. Comme cette somme, augmentée du courtage, dépasserait 20000 fr., on ne livre à Tacheteur qu'une inscription de 853 fr. de rentes; or celte rente représente un capital de 19974 , 4^. D'ailleurs le courtage,

5ox853 pour 853 fr., est-TT — — = 14', 21. Donc le prix total de

Tinscription est 19988^,63; et l'on doit rendre à l'acheteur ii',477 qui complètent les 20000 fr.

404. Intérêt d'un placement en rentes. A quel taux placet-on son argent, quand on achète du 3%, au cours de 70 fr. ?

La question revient à celle-ci : 70 fr. rapportent 3 fr. de rentes: combien 100 fr. rapportent-ils?

On a (387) : ^=3x— =4',28.

En réalité, le taux est un peu plus fort, parce qu'on reçoit les arrérages tous les trois mois, et que, en outre, quelle que soit l'époque de l'année à laquelle on achète, fût-ce quelques jours seulement avant le détachement du coupon, la jouissance remonte à la date du dernier paiement.

405. Comparaison des cours. Quelle esl F opération la plus avantageuse : acheter du 3"/° au cours de 70 fr,, ou du 4k ^^ cours de 102^, 5o ?

Au cours de 70 fr., i fr. de rentes 3 %se paie -^ ou 23^ , 33....

102^ 5 Au cours de 102^ 5o^ i fr. de rentes 47% se paie ^ ^ >

ou 22^, 77

L'achat en 44 est donc la plus avantageuse des deux opérations.

§ VI. DES partages PROPORTIONNELS.

406. Définition. Partager une grandeur en parties proportionnelles à des nombres donnés, c'est la partager en autant de parties qu'il y a de nombres, de telle sorte que deux parties quelconques soient dans le même rapport que les nombres correspondants.

407. Problème. Partager 3oooo fr. en trois parties proportionnelles aux nombres 7, 10 e^ 12.

Si l'on désigne para;, y, z, les trois parties inconnues, la définition du partage proportionnel fournit immédiatement la série de rapports égaux :

En ajoutant les antécédents d'une part et les conséquents de

l'autre, on forme un nouveau rapport — , , " égal àcha-

cun des premiers (378); d'ailleurs ce rapport est égal à 3oooo

. Donc on a :

^ 30000 ,^. ^^7X3oooo^ 33

y 3oooo ,, , ioX3oooo ,^0 , ,, qo -^ rz: , d ou y = = 10044^ t5J

z 3oooo j, , i2X3oooo , of „^

— = , dou z =: =12410,79.

Règle. On forme chaque partie en mullipliant le nombre à

AITLICATIONS DE LA THÉORIB DES PROPORTIONS. 289

partager par le nombre auquel elle est proportionnelle, cl en divisant le produit par la somme des nombres proportionnels aux diverses parties.