XI. DES REGLES DE FAUSSE POSITION

425. DÉFINITION. Les règles de fausse position ou de fausse supposition sont des problèmes que l'on peut résoudre à Taide de deux hypothèses arbitraires et successives sur le résultat cherché. Nous exposerons la méthode sur quelques exemples.

426. Premier problème. On veut payer 64 fr. avec 20 pièces^ en n'employant que des pièces de 5 fr. et des pièces de 2 fr.: combien doit-on employer de pièces de chaque espèce?

Première hypothèse. Supposons qu'on emploie 10 pièces de chaque espèce, la somme totale ainsi formée vaudra 10 fois 5fr.-f-iofois2 fr. ou7ofr. Elle sera trop grande de (70— 64^) ou 6 fr. Ainsi ïerreur en trop est de 6 fr.

Seconde hypothèse. Supposons que l'on remplace une pièce de 5fr. par une pièce de 2 fr., le nombre des pièces restera le même ; mais la somme diminuera de 5 fr. et augmentera de 2 fr. ; elle diminuera finalement de 3 fr. L'erreur diminuera donc de 3 fr.

298 LIVRE Vï. — CHAPITRE H.

Ainsi, chaque fois que Ton remplacera une pièce de ^ fr. par une pièce de 2 fr., Terreur^ qui était primitivement de 6 fr., diminuera de 3 fr. Pour que cette erreur diminue de 6 fr. et devienne nulle, il suffit donc de remplacer autant de pièces de 5 fr. qu'il y a de fois 3 dans 6, c'est-à-dire 2 pièces.

On prendra donc lo — 2 ou 8 pièces de 5 fr., et 10-4-2 ou 12 pièces de 2 fr. Et, en effet, la somme payée vaudra 8 fois 5 fr. -f-i2fois2fr. ou 64 fr., et le nombre des pièces sera 84- 12 ou 20.

427. Second problème. Former la longueur du mètre en juxtaposant 52 pièces d'or, les unes de 20 fr., les autres de 10 fr., de manière que leurs centres soient tous en ligne droite. Le diamètre de la pièce de 20 fr. est 21 millimètres ; celui de la pièce de 10 fr. est 19 millimètres.

Première hypothèse. Supposons qu'on n'emploie que des pièces de 10 fr.; la longueur formée avec 52 de ces pièces sera 52 fois 19 millimètres, ou 988 millimètres. L'erreur en moins sera donc de 12 millimètres.

Seconde hypothèse. Supposons qu'on remplace une pièce de 10 fr. par une pièce de 20 fr., la longueur totale augmentera de 21 millimètres, mais elle diminuera en même temps de 19 millimètres : elle augmentera finalement de 2 millimètre?. Et Verreur diminuera, Y^SiV suiie^ de ^millimètres.

Ainsi, chaque fois qu'on substituera une pièce de"20 fr. à une pièce de 10 fr., l'erreur, qui était primitivement de 12 millimètres, diminuera de 2 miUimètres. Pour qu'elle diminue de 12 millimètres, et devienne nulle, il suffît de remplacer autant de pièces de 10 fr. qu'il y a de fois 2 dans 12, c'est-à-dire 6 pièces.

On prendra donc 6 pièces de 20 fr., et 52 — 6 ou 46 pièces de 10 fr. Et, en effet, la longueur fournie par les 6 pièces de 20 fr. est 6 fois 21 ou 126 milhmètres, et la longueur fournie par les 46 pièces de 10 fr. est 46 fois 19 ou 874 millimètres ; or

428. Troisième problème. On propose de partager lenomhr [00 en deux parties telles que le quart de la première, ajout

e ajouté

au cinquième de la seconde, donne une somme égale à 21 5-^.

Première Injpothèse. Supposons qu'on partage 100 en deux parties égales; le quart delà première sera 12 J, t^t le cinquième de la seconde sera 10; la somme sera 22 2; et rerrciir en trop sera 22 1 — 21 ^, ou i ^V^ ou ||.

Seconde hypothèse. Supposons maintenant qu'on diminue la première partie d'une unité, et qu'on augmente la seconde d'une unité , pour que la somme des deux parties reste égale à 100 : la somme des deux fractions diminuera de {, mais augmentera de I : elle diminuera donc, en réalité, àej — l, ou de 2*0' L'erreur diminuera donc de ^.

Ainsi, chaque fois que l'ondiminuera d'une unité la première partie, Terreur, qui était primitivement de |~, diminuera de ■^. Donc, pour qu'elle diminue de |^, ou qu'elle s^annule, il suffit de diminuer la première partie de 21 unités.

On prendra donc 5o — 21 ou 29 pour la première partie, et 5o -f-21 ou 71 pour la seconde. Et en effet, le quart de 29 est 7 1^; le cinquième de 71 est 14 |; et leur somme est 21 2^^.

429. Remarque. Celte méthode exige, pour être employée, que l'on constate avec soin, que la variation des erreurs est proportionnelle à la variation des valeurs attribuées à l'inconnue. Elle est, dans ce cas, rigoureuse; mais elle est peu élégante, et l'on ne doit s'en servir qu'à défaut de méthode directe.