XII. DES MOYENNES

430. Définition. Lorsque plusieurs quantités de même nature ont des valeurs différentes, on nomme valeur moyenne de ces quantités le quotient de la somme de toutes ces valeurs par leur nombre. C'est la valeur qu'il faudrait attribuer à chacune d'elles, si l'on voulait que toutes les valeurs devinssent égales, sans que leur somme changeât.

La détermination des valeurs moyennes est un cas particulier de la règle de mélange ou d'alliage , celui où les poids ou les volumes des quantités que l'on mélange sont égaux.

Exemples : 1° On mélange, par parties égales, du vin de trois qualités, l'une à i4o fr., la seconde à ii5fr., la troisième à

102 fr. rhectolitre. Quel est le prix de l'heclolitre du mélange? C'est le prix moyen :

i4o-f-ii5-l- 102 f

X =—^ 7^ = I IQ .

Si" On fond ensemble des poids égaux de quatre lingots d'argent^ aux titres de 0,935 0,927 0,912 0,902. Quel est le titre de l'alliage ? C'est le titre moyeti:

^o,935-ho,927H-o,9i2+o,902 3,676

^ — ' -z — -z — u,i^it;.

431. Problème. On a mesuré y à plusieurs reprises, un angle avec un graphomètre : on a trouvé chaque fois des valeurs différentes, savoir: 28o52/36";28°5i/ 62"; 28''5i^48" et 28«5i/24". Quelle est la valeur de l'angle ?

Puisque les quatre mesures ne s^accordent pas, on n'a pas d'autre ressource que de ctioisir la valeur moyenne:

exercices.

I. Lorsqu'une grandeur A est directement proportionnelle à plusieurs autres B, C, D, elle est proportionnelle à leur produit ; c'est-à-dire que si l'on désigne par a, b, c, d, et parOj, b^, c^, d^, deux séries de valeurs correspondantes des quatre grandeurs, on a :

a b X c X rf .

«1 ~ ^1 X c^ X dj'

et Ton peut écrire : o = /cX^XcXd,

k étant un nombre constant qui reste le même, quelle que soit la série de valeurs correspondantes que Ton considère.

II. Lorsqu'une grandeur A est inversement proportionnelle à d'au ires grandeurs B, C, D, elle est inversement proportionnelle à leur l'produit ; c'est-à-dire que l'on a :

a b^XClX d^, a^^ b Xc X d '

ei l'on peut écrire: « \= i__.

APPLICATIONS DE LA TlIKOUIE DES PROPORTIONS. 301

III. Si une grandeur A est directement proportionnelle aux grandeurs B, C, et inversement proportionnelle aux grandeurs D, E, elle est proportionnelle au quotient de la division du produit des premières par le produit des secondes; c'est-à-dire que Ton a :

et l'on peut écrire

dXe

IV. On a payé 743# i5s 8d pour 43^ j*" 5? d'un certain ouvrage : combien faut-il payer pour 38t 4? ioP du même ouvrage ? ( R. : 657^ 12* 8J .)

V. On aurait besoin, pour tapisser une chambre, de 10 rouleaux de papier, ayant une largeur de om, 36 ; on trouve à employer des rouleaux dont la largeur n'est que om^ 3o. Combien emploiera-t-on de ces rouleaux? (R. :i2.)

VI. i5 ouvriers, travaillant 10 heures par jour, ont employé 72 jours à faire 1800 mètres d'un certain ouvrage : combien devra-t-on employer d'ouvriers, travaillant 8 heures par jour, pour faire, en 8 jours, 1920 mètres du même ouvrage ? (R. : 180 ouvriers.)

VII. Il a fallu 960 mètres de drap à | de large, pour habiller 400 hommes : combien faudra-l-il de mètres de drap à g, pour en habiller 6720 ? (R.: 23o4om.)

VIII. Un courrier, marchant 12 heures parjour, a fait 7^0 lieues en 5o jours : combien doit-il marcher d'heures parjour, pour faire 100 lieues en 9 jours? (R. : 8I1 53m 20s. )

IX. Une somme de 222oof a rapporté 2497f, ^° ^" ^ ^"^ ^ "^^'^ î ^^"^" bien une autre somme de 42 5of rapportera-t-elle en 3 ans 9 mois ? quel est le taux de l'intérêt ? (R. : intérêt = 796^, 876 ; taux = 5 7o)

X. Un marchand a acheté à un fabricant une certaine quantité d'élolfe de laine pour 77i8f, 5o ; et il lui a fait, pour règlement de son compte, un billet payable dans 18 mois. Quel doit être le montant du billet, sachant que l'intérêt convenu est de f */o par mois ? (R. : 8239f, 5o).

XL Une personne achète une forêt 48000 fr.; elle convient de s'acquitter en 6 paiements égaux, de 8000 fr. chacun, faits, le premier comptant, et les cinq autres de mois en mois. On lui offre de payer les 48000 fr. en une seule fois ; à quelle époque devra-t-elle payer? Le taux de l'intérêt est 5°/o. (R. : 2 mois 14 jours environ.)

XII. On offre à un marchand de lui vendre 3oo mètres de drap, première qualité, à ^ de large, pour 7200 fr. argent comptant, ou bien 5oo mètres de drap, seconde qualité, à f^ ^^ large, pour 12000 fr.

payable dans 2 ans. A dimensions égales , i mètre de drap, seconde qualité, coûte les -f| du prix du mèlre de drap, première qualité. Le taux est 10 0/0 par an, et l'on a égard aux intérêts composés. Quelle est l'opération qui est la plus avantageuse au marchand? (R. : La seconde : on trouve que 5oom de drap, seconde qualité, à j^, aux conditions du premier marché, se paieraient 12 100 fr. dans 2 ans.)

XIIL Une personne qui doit 20000 fr. paie une rente de 1200 fr. par an pour l'intérêt de sa dette : elle voudrait amortir en deux ans le capital et la rente, au moyen de deux paiements égaux effectués à la fin de chaque année. On a égard aux intérêts composés. Quelle est le montant de chaque paiement? (R.: logoSf, 74.)

XIV. On sait que 243* 5s 8d ont rapporté 12* 8» gd; et l'on demande ce que rapporteraient, au même taux, 1702^^ 19s Sd. (R.: 8y-H- i» 3d. )

XV. Un homme laisse, en mourant, sa femme enceinte : il ordonne que, si elle a un fils, elle ne prendra dans son héritage que la moitié de la part de ce fils ; mais que, si elle a une fille, elle prendra, au contraire, le double de la part de sa fille. Cette femme accouche de 'deux jumeaux, un fils et une fille. Comment faut-il partager l'héritage qui est de 35oooo fr., pour satisfaire aux intentions du testateur ? (R. : La mère looooo fr., le fils 200000 fr., la fille 5oooo fr.)

XVL Une personne laisse en mourant quatre héritiers: le premier doit avoir 5, le second f, le troisième |^^ et le quatrième ^ du bien total. (La somme des quatre fractions vaut plus d'une unité.) Calculer ce qui revient à chacun, sachant que l'héritage est de 8463oo fr. ( R. : i4o77of, 68, 201101 f; 2iii56f, o4; 293272^, 28. )

XVIL Une personne a fait deux placements, l'un à 5 0/0, l'autre 360/05 la somme des deux placements est de 40000 fr., et l'intérêt total qu'ils ont produit est de 2120^ On demande la valeur de chaque placement. (R. : 28000^, i2ooof.)

XVIIL On propose de partager 200^ entre deux personnes, de manière que le quart de la première part, diminué du cinquième de la seconde, soit égal à 27^, 5o. (R. : i5o et 5o. )

XIX. Une montre, qui avance de 5 minutes par jour, a été mise sur l'heure juste à midi. On demande quelle heure il sera le même jour, quand l'aiguille marquera 8h i5m après midi. (R.: 8h i3™ 17* environ.)

XX. Trois mobiles, dont les vitesses sont constantes, partent, en même temps, d'un même point d'une circonférence ; ils tournent dans le même sens, etparcourent en une secondé, le premier 5o 36', le second 4" 32', le troisième 4^^ 16'. Déterminer les époques des rencontres deux à deux, et trois à trois des mobiles.

( R.: L'intervalle de deux rencontres successives des deux premiers est o'i 37'° 3os ; rinlervalle de deux rencontres successives du premier et du troisième est 4'^ S™. La première rencontre des trois mobiles aura lieu au moment où les deux prenfiiers se rencontreront pour la 98™'' fois, et le premier et le troisième pour la i35""' fois, c'est-à-dire 55ih i^™ après le départ.)

XXI. On imprime un livre dont le nombre des lignes par page et le nombre des lettres par ligne sont déterminés. Si Ton avait mis 3 lignes de plus par page et 4 lettres de plus par ligne, la page aurait contenu 224 lettres de plus : en mettant 2 lignes de moins par page et 3 lettres de moins par ligne, la page aurait contenu i45 lettres de moins. Combiena-t-on mis de lignes à la page et de lettres à la ligne? (R.: 29 lignes^ 32 lettres.)

432. But que l'on se propose. Les règles du calcul des nombres entiers et fractionnaires, qui se trouvent éparsesdans cet ouvrage, fournissent le résultat exact d'une opération quelconque à exécuter sur ces nombres. Or, il arrive souvent qu'on n'a pas besoin de connaître ce résultat exact, et qu'une valeur approchée suffit au but qu'on se propose d'atteindre. 11 n'est pas nécessaire, dans ce cas, d'exécuter complètement les calculs; et l'on peut donner des méthodes abrégées qui suffisent pour obtenir l'approximation que l'on désire.

Il arrive, dans d'autres cas^ que les nombres sur lesquels il s'agit d'opérer sont incommensurables, et qu'il n'est pas possible d'en obtenir les valeurs exactes. 11 faut, pour les soumettre au calcul, commencer par en chercher des valeurs approchées; et il importe que, d'une part, ces valeurs soient assez approchées pour fournir au résultat l'approximation que l'on a en vue, et que, de l'autre, les fastidieux calculs qu^elles nécessitent soient abrégés, autant que possible.

11 arrive enfin que les nombres donnés sont le résultat de mesures expérimentales, et ne sont connus qu'avec une approximation limitée, quelque soin qu'on apporte à l'opération. 11 est visible que, dans ce cas, le résultat que l'on cherche ne peut être connu exactement; et il importe de savoir sur quelle approximation l'on peut compter.

On est ainsi conduit à résoudre, pour chacune des opérations de l'arithmétique, les deux questions suivantes :

'1 0 Des nombres sont connus exactement, ou S07it susceptibles d'une approximation illimitée; avec quelle approximation faut-il les évaluer ^ pour obtenir le résultat d'une opération à exécuter sur eux, avec une approximation déterminée ?

2(1 Des nombres sont donnés chacun avec une approximation connue : avec quelle approximation peut-on obtenir le résultat d'une opération à exécuter sur eux ?

Deux méthodes principales existent pour résoudre ces questions, l'une dite des erreurs absolues, l'autre dite des erreurs relatives. Nous les exposerons successivement.