I. ADDITION

434. Première question. Des nombres sont donnés avec une approximation illimitée: trouver leur somme, à une unité près d'un ordre donné.

Règle. Si Von n'a pas plus de dix nombres a additionner, on évalue chacun d'eux, par défaut, à une unilc près de Vordre immédiatement inférieur à celui de Ihmité qui exprime r approximation demandée: on fait la somme des nombres approchés ; on supprime le dernier chiffre à droite, et Von augmente d'une unité le chiffre précédent.

Si le nombre des nombres à additionner est supérieur à 10, et n'est pas supérieur à 100, on évalue chaque nombre, par défaut, à une unité près de Vordre inférieur de deux rangs à celui de Vunité qui exprime V approximation ; on fait la somme des nombres approchés; on supprime deux chiffres adroite, et Von augmente d'une unité le chiffre précédent.

Et ainsi de suite.

Soient, par exemple, les quatre nombres yz, y 3, yS et Y7 : on demande de trouver leur somme à 0,01 près. On calcule chacun d'eux à 0,001

près, et l'on trouve y/7 = i,4i4> \/3 = 1,732, y^5 = 2,236, yly = 2,645. Puis on fait l'addition

Enfin, supprimant le 7 et augmentant le 2 d'une unité, on prend 8,o3 pour valeur approchée de la somme à o.oi près, par défaut ou par excès.

Et, en effet, puisque Terreur sur chacun de.s quatre nombres est plus petite que 0,001, l'erreur sur la somme est plus petite que 0,004 ; elle est, à fortiori, moindre que 0,01. La somme cherchée est donc comprise entre

NOTE SUR LES APPlîOXIMATIONS. 307

8,027 et 8,037; ^^ comme il en est de même de 8,0], il eu résulte que 8,o3 est une valeur approchée de la somme, à 0,01 près.

435. Seconde qukstion. Des nombres sont connus avec une approximation déterminée : avec quelle approximation peul-on obtenir leur somme?

Désignons par A,B,C,D, les nombres exacts, para, b,Cy d, leurs valeurs approchées par défaut, et par a, g, y, «» les erreurs absolues. On a :

et, par suite,

A+lî+C4-D = ct + &H-c-|-fZ+a+g-}-Y + 5.

Or, (A + B+C + D) est la somme exacte, et [a -^b + c-\-d) est la somme approchée; donc l'erreur est aH-6-|-y+ 0. Il en serait de même, si les nombres étaient tous approchés par excès.

Ainsi Verreur absolve de la somme de plusieurs nombres^ approchés dans le même sens , est la somme des erreurs absolues des parties.

En général, si l'on désigne par s la plus grande des erreurs absolues et par R le nombre des nombres à additionner^ l'erreur absolue de la somme est plus petite que ns.

Exemple: Les quatre nombres 7,86 8,349 5,6878 4î592 sont approchés, à une unité près de l'ordre de leur dernier chiffre: quelle est l'erreur de leur somme? Ici e = 0,01 : donc Terreur de la somme est moindre que 0,04. Or la somme, approchée par défaut, est 25,8388. La somme exacte est donc comprise entre 25,8388 et 25,8788, Donc 25,8 est une valeur de la somme, approchée par défaut, à 0,1 près.

Si l'on ne connaît pas le sens du V erreur commise sur chaque nombre^ certaines erreurs peuvent se détruire en partie, et Verreur de la somme est moindre que la somme des erreurs, et^ à plus forte raison, moindre que ne. Mais on ne sait plus alors quel est le sens de l'erreur de la somme;, et les limites qui la comprennent sont plus éloignées.

Ainsi, dans l'exemple précédent, où la somme approchée est 25,8388, on obtient les limites qui comprennent la somme exacte, en retranchant 0,04 de la somme approchée, puis en ajoutant 0,04 à la même somme : on a ainsi 25,7988 pour limite inférieure, et 25,8788 pour limite supérieure. Par conséquent, 25,8 est encore la valeur approchée de la somme, à 0,1 près : mais on ne connaît pas le sens de l'approximation.