II. SOUSTRACTION

436. Première QUESTION. Deux nombres sont donnés avec une approximation illimitée : trouver leur différence, à une unité près d'un ordre dcrtHé.

Ml:

SOS CHAPITIÎE I.

Règle. On évalue les deux nombres, soit lov.s deux par dé faul, soil Ions deux par excès, à une unité près de l'ordre indiqué par l'approximation demandée, et Von fait la différence des deux nombres approchés.

Exemple: Trouver, à o^ooi près; la différence entre Vy et V^9.. On évalue ces deux nombres à 0,001 près, par défaut ; on trouve V^7= 2,645, et

1/2=: 1,414. Puis on fait la soustraction, soit de ces deux nombres, soit de leurs valeurs approchées par excès.

Et, en effeî, Terreur sur chaque nombre éîani inférieure à 0,001, l'erreur sur leur différence est, à plus furie raison, moindre que 0,001. Donc i^23i est une valeur de la différence, à 0,001 près, par défaut ou par excès.

437. Seconde question. Deux nombres sont connus avec une approximation déterminée : avec quelle approximation peut-on obtenir leur différence?

Désignons par A et B les nombres exacts, par a el b leurs valeurs approchées par défaut, et par a et p les erreurs absolues. On a:

A = a-hci, B=6 + [5, d'où A— B== a— 6 + a — p.

Or, A — B est la différence exacte, a—b est la différence approchée : donc l'erreur de la différence est la différence entre a et p.

Ainsi, l'erreur absolue de la différence entre deux nombres, approchéspar défaut, est la différence des erreurs des deux nombres. Ce résultat d'ailleurs est approché par défaut ou par excès, selon que a est supérieur ou inférieur à [3.

Si a et 6 sont des valeurs de A et de B, approchées pafexcès, de telle sorte que A = a — a, B=6— p,

on aura : A — B=a — 6+^ — a;

Terreur absolue de la différence est encore la différence des erreurs ; mais le résultat est approché par défaut ou par excès, selon que a est inférieur ou supérieur à p.

Mais si l'un des nombres est approché par défaut et l'autre par excès; si l'on a, par exemple :

A=a— a, B=&-|-|3, on aura : A — B=«^a— & — a— p.

MOTE SUR LES APPUOXIMATIONS. 30t)

Verreur absolue est, dans ce cas^ la somme des erreurs, et elle est de même sens que celle du plus grand nombre.

On peut évidemment dire que, dans tous les cas, l'erreur de la différence est moindre que le double de la plus grande des deux erreurs.

Exemple: les deux nombres 8^36 et 5,4j>.9 sont approchés pi;r défaut, à une unité près de Tordre de leur dernier chiffre : il en est de même de 8,'3(j et de 5,42 : donc 8,3r) — j,4>. ou .>..94 csi une valeur de leur dilTérence, à 0,01 près, par défaut ou par excès.

Si Ton ne connaît pas le sens des erreurs, 2,04 n'est plus la valeur approchée delà difterence qu'à o^op. près.

v:> 111, MULTIPLICATION.

438. Première question. Deux nombres sont donnés avec une approxima-^ tion buP finie : trouver leur produit, à une unité près d'un ordre donné.

Règle, dite J'Oughtred. On écrit d\ibord le multiplicande comme à Vordinaire : puis on écrit le chiffre des unités du multiplicalcur sous le chiffre du muUip'icande qui représente des unités cent fois plus petites que celle qui exprime V approximation demandée; et l'on fait pivoter, autour de ce chiffre ainsi placé, le multiplicateur tout entier, de manière que ses chiffres soient écrits en sens inverse du sens ordinaire. On supprime, dans le multiplicande, tous les chiffres qui, sur sa droite^ dcpassent le multiplicateur ; et Von supprime, dans le multiplicateur, tous les chiffres qui, sur so gauche, dépassent le multiplicande.

Le calcul étant ainsi préparé, on multiplie le multiplicande par le premier chiffre à droite du multiplicateur ; ce qui fournit un premier produit partiel. On multiplie ensuite par le second chiffre du multiplicateur le multiplicande dont on supprime un chiffre à droite, et l'on écrit ce second produit jjartiel sous le premier, comme dan^ une addition ordinaire. On multiplie par le troisième chiffre du multiplicateur le multiplicande dont on supprime un 7iouveau chiffres à droite, cl Von écrit ce troisième produit sous les deux autres. On continue ainsi à multiplier par chaque chiffre du multiplicateur la portion du muWplicand': qui commence au chiffre placé au-dessus de lui, jusqu'à ce que Vouait épuisé tous les chiffres désignés au multiplicateur.

On ajoute alors tous les produits partiels; on supprime les deux derniers chiffres à droite, et Von augmente le précédent (Vunc unité. Puis on fait exprimer au résultat des unités de Vordre de celle qui cxpri)iic V approximation demandée.

Exemple : Trouver, à 0,001 près, le produit de 8,-238567935. . .. par 28,739654723, . . . D'après la règle précédenle, on doit placer le chiffre

CIîAPITIJE I.

8 du multiplicateur sous le chiffre 5 du nfiulllplicande qui exprime des C'^ntmillièmes, puisqu'on demande des millièmes; puis on retourne le multiplicateur, el Ton dispose l'opération comme il suit :

On forme les produits partiels, comme l'indique la règle; et l'on trouve pour somme 25072037. On su[)prime les deux derniers chiffres 37; on augmente o d'une unité, et l'on fait exprimer au résultat des millièmes. II faut prouver que 250,721 est une valeur approchée du produit^ à 0,001 près, par défaui ou par excès.

Remarquons d'abord que, pour former le premier produit partiel, on muliplie par 2 dizaines le multiplicande dont le dernier chiffre exprime des millionièmes, et que, par suite, ce premier produit représente des cenl^ millièmes. Pour former le second produit partiel, on multiplie par 8 unités la portion du multiplicande qui se termine au ch\^Ye à^ii cent-millièmes ; ce second produit exprime donc aussi des cent-millièmes. Il en est de même du troisième produit et des suivants ; car, à mesure que l'on avance, le chiffre du multiplicateur, que l'on emploie, exprime des unités dix fois plus petites que le précédent, tandis que le chiffre qui termine la partie correspondante du multiplicande exprime des unités dix fois plus grandes que le précédent. Tous ces produits partiels représentent donc des centmillièmes : il faut donc, pour les additionner, les placer, comme le demande la règle, les uns sous les autres ; el la somme totale 25072037 exprime aussi des cent-millièmes, et doit s'écrire 250,72037.

Calculons maintenant une limite de l'erreur commise. On a négligé, dans le premier produit partiel, de multiplier par 2 la partie 7935... du multiplicande : or cette partie ne vaut pas une unité de Tordre du 6, qui la précède (au multiplicande); l'erreur correspondante est donc inférieure au produit d'une unité de l'ordre du 6 par 2 unités de l'ordre du 2 (au multiplicateur), c'est-à-dire à 2 cent-millièmes* On a négligé, dans le se-

cond produit partiel, de muliiplier par 8 la partie 67935... du multiplicande : or cette partie ne vaut pas une unité de l'ordre du 5, qui la précède {au multiplicande); l'erreur correspondante est donc inférieure au produit d'une unité de l'ordre du 5 par 8 unités de Tordre du 8 (au niuliiplicaleur), c'est-à-dire à 8 cent-millièmes. Ce calcul s'applique à chacun des produits partiels effectués ; il montre que la somme des erreurs commises, en négligeant certaines parties du multiplicande, est inférieure à un nombre de cent-millièmes égttl à la somme des chiffres employés au multiplicateur, c'est-à-dire à (2-1-8 + 7 + 34-9-1-6-1-5), ou à 40 cent-millièmes.

Ce n'est pas tout : on a encore négligé de multiplier le multiplicande tout entier par la partie 47.>.3... du multiplicateur : et l'on peut évaluer de deux manières une limite supérieure de l'erreur. 1° Le multiplicande, commençant par un 8, ne vaut pas (8 + 1) unités de l'ordre de ce 8; la partie négligée au multiplicateur ne vaut pas une unité de l'ordre du 5 qui est audessous du 8 : donc Terreur commise est inférieure au produit de (8 + 1) unités de l'ordre du 8 par une unité de l'ordre du 5, c'est-à-dire à (8+1) cent-millièmes. 2° La partie négligée au multiplicateur, commençant par un 4, ne vaut pas (4+1) unités de Tordre de ce 4 •" et le multiplicande tout entier ne vaut pas une unité de Tordre supérieure celui du 8, unité qui serait placée au-dessus du 4 du multiplicateur ; Terreur commise est donc inférieure à (4 + 1) cent-millièmes. A.\ai,i C erreur due à cette cause est inférieure à un nombre de cent millièmes égal^ soit au premier chiffre du muUiplicande augmenté d'un, soit nu premier chiffre négligé du multiplicateur augmenté d'un. On choisit naturellement la plus petite de ces deux limites.

La somme totale des erreurs commises, en employant le procodé de la mulliplicdtion abrégée, a donc pour limite supérieure 49 ou même 45 centmillièmes; elle est donc inférieure à 100 cent-millièmes, ou à 0,001. Le produit exact, qui est plus grand que 250,72037 est donc inférieur à 250,72037 + 0,001, ou à 250,72137. Comme le nombre 250.721 est compris entre les mêmes limites, on peut affirmer que 250,721 est une valeur approchée du produit, à 0,001 près, par défaut ou par excès. C'est ce qu'il fallait démontrer.

439. Remarques. \o Le raisonnement qui précède exige, pour être rigoureux, que la somme des erreurs ne dépasse pas 100 unités du dernier ordre ; ce qui arrivera le plus ordinairement. Si cependant l'approximation demandée exigeait Temploi d'un grand nombre déchiffres au multiplie. teur, et si l'erreur commise, en appliquant la règle, devait, en conséquence, surpasser 100 unités du dernier ordre, il faudrait placer le chiffre des unités du mulliplicateur sous le chiffre du muUiplicande qui représente des unités mille fois plus petites que celle qui exprime l'approxmation, faire la mullipli-

312 (.UAPITIIE I.

cation d'après la règle, puis supprimer trois chiffres à la droite, et terminer comme plus haut.

On verrait de même que, si le nombre des chiffres emploijés au multiplicateur était assez petit, pour que la somme des erreurs fût inférieure à dix mutés du dernier ordre , il suffirait déplacer le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre du multiplicande qui représente des unités dix fois plus petites que celle qui exprime l'approximation, et de supprimer un chiffre à la droite de la somme des produits partiels.

2° Le calcul de l'erreur commise dans la pratique de la multiplication abrégée fournit, quand on le désire, des limites plus resserrées que celles que donne la règle. Ainsi, dans l'exemple précédent, on a trouvé que l'erreur par défaut est inférieure à 4^ cent-millièmes : le produit exact est donc compris entre le nombre trouvé 250,72037, et 25o,72o37 -{-o,ooo45, ou 250,72082; et ces limites ne diflèrent que de 0,00045. Or, 250,7206, nombre compris entre elles, diffère de la première de 0,00023, et de la seconde de 0,00022 ; ce nombre est donc une valeur approchée du produit, à I de millième près.

440. Autre remarque. Les deux facteurs proposés étant susceptibles d'une approximation illimitée, le multiplicande dépas&e toujours le multiplicateur vers la droite, le multiplicateur dépasse toujours le multiplicande vers la gauche; et la règle apprend à les limiter l'un et l'autre.

Mais lorsque les nombres sont connus exactement, il est possible que l'une ou l'autre de ces circonstances ne se présente pas. Examinons les deux cas.

Supposons d'abord que le multiplicateur dépasse le multiplicande vers la droile. Eœemple : trouver, à 0,001 près, leproduitde 30,472 par 2,3478369; la disposition du calcul, d'nprès la lègle, sera la suivante :

8 5,6 3 o I 5 Comme le multiplicande est exact, on ne l'altère pas en plaçant des zéros

NOTE SUR LES APPROXIMATIONS. 31 o

à sa droite, en nombre sulfisaiil pour pouvoir appliquer la règle. Après celle modificalion, on fait Topéralion. Mais, dans le calcul de l'erreur, on doit remarquer que les trois premiers produils partiels sont exacts; car on ne néglige aucune partie du multiplicande. La limite de l'erreur est donc seulement (7 + 8-4-3 + 6+3+1) ou 9.8 cent-millièmes. I.e produit exact est donc compris entre 85,63oi5 el 85,63o43 : il est donc 85, 63o, à ^ millième près, par délaul.

Supposons mainienant que le multiplicande dépasse le mulliplicateur vers la gauche. Eœemp'e : irou\er, à 0,1 près, le produit do 339, 159 par 7,485.

Comme les nombres sont exacts, on peut supposer que les chiffres qui manquent, au multiplicateur, au-dessous des plus hautes unilés du mnliiplicande, sont remplacés par des zéros ; ils ne fournissent aucun produit partiel; et le calcul s'achève, quand on a employé le dernier chiffre significatif du mulliplicateur.

441. Remarquons encore que le résultat obtenu, dans la multiplication abrégée, est indépendant de l'ordre des facteurs. Reprenons, en effet, le premier exemple (438), et intervertissons les fadeurs :

Nous trouvons le même produit approché. C'est qu'en effet, dans le premier cas, on a multiplié 8,723836 par 2 dizaines; et que, dans le second, on

a multiplié 2 dizaines par 8,723806, ce qui revient au même. Dans le premier cas, on a niullipllé 8,72885 par 8 unités; et dans le second, on a multiplié 8 unités par 8,72885, ce qui revient au même; et ainsi de suite.

Cependant le calcul de l'erreur ne donne pas la môme limite : celte limite est dans le dernier cas (8 + 7+2 + 3-1-84-5 + 6 + 2-4-1) ou 42 centmillièmes, au lieu de 45 cent-millièmes. On choisit naturellement la plus petite.

442. Nombre de chiffres qu'exige, pour chaque facteur, l'application de LA RÈGLE DE MULTIPLICATION ABRÉGÉE. Désignous par p et p' Ics uombres de chiffres que contiennent les parties entières de chaque facteur, et par k le nombre des chiffres décimaux que Tapproximalion demande au produit approché. On place le chiffre des unités du muUiplicaleur sous le (A: + 2)n>e chiffre décimal du multiplicande, et, par conséquent, le chiffre des plus hautes unités sous le (A;+ 2 +2/- i )"* chiffre décimal. On doit donc employer au muliiplicande (p' + fe+i ) chiffres décimaux; et, comme il y a p chiffres entiers, le nombre total des chiffres à employer au multl|)licande est (25+p'+/t+ I ). 11 est d'ailleurs le même au multiplicateur.

Ceci peut se généraliser. On voit, en effet, que, pour obtenir k chiffres décimaux exacts dans un produit de deux facteurs dont le mulûplicateur contient p' chiffres entiers, il faut employer (p'+i) chiffres décimaux de plus au multiplicande. Or considérons trois facteurs; et soitp" le nombre des chiffres entiers du troisième. Pour que le produit de ces trois facteurs renferme k chiffres décimaux exacts, il suffit que le produit des deux premiers (multiplicande de la dernière opération) renferme (A;+p"+i) chif. fres décimaux exacts; et pour cela, il suffit que le premier facteur en contienne (A;+p"+ i+p'+i ) ou (p'+|3" + /<;+2). Le nombre total des chiffres à employer dans le multiplicande, et, par suite, dans chaque facteur, est donc (p+p'+p" + A;+2).

On prouverait de même que, pour quatre fadeurs, le nombre des chiffres à employer, dans chacun d'eux, est (p+p' + 2j"+p"'+/V-+3 ) ; et qu'en

général il est, pour n facteurs, {p-\-p'-\-p"-\- +p(''-^^ + /;+ n-i ).

Cette loi suppose que chaque facteur a une partie entière. Si l'un d'eux n'en a pas, on donnera au nombre p correspondant la valeur zéro dans la somme précédente, pourvu que le chiffre des dixièmes soit significatif. On verra facilement que si, en outre, il y a p zéros à la droite de la virgule, il faut retrancher p, au lieu de l'ajouter : de sorte que le nombre des chiffres à employer dans chaque facteur, pour appliquer la rèyle de la multiplication abrégée au cas de n fadeurs, csf (p+p'+p"+. .+p C"*"^) +A;+ /t- 1 ), en regardant choque lettre p comme positive lorsqu'elle représentera le nombre des chiffres de la partie entière d'un fadeur plus grand que i, et comme né-

gativelor^qiCelle représentera le nombre, des zéros qui suivent la virgule décimale dans un facteur plus yclil que i.

Exemple : calculer, à o,oooi près, le produit des trois nombres,

Ici k = 4, 71 =- 3, p = I, p' = I, p" z= — a; et le nombre des chiffres à employer est ( i + i — 24-4 + 3 — i ) ou 6. On multiplie d'abord 3,i4i59 par 1,414^1 >

Ce premier produit est donc 4,443, d'après la règle. On multiplie ensuite 4,443 par 0,006981 (en plaçant le chiffre des unités sous le chiffre des millionièmes du multiplicande^ puisqu'on demande des dix-millièmes). On obtient ainsi 0,080790 : on supprime les deux derniers chiffres, et le produit demandé est 0,0808.

443. Seconde question. Deux nombres sont connus avec une approximation déterminée : avec quelle approximation piul-on calculer leur produit?

Premier cas : Un seul fadeur est approché. Soient A et B les deux facteurs, a la valeur, approchée par défaut, de A, et a Terreur absolue. On a :

d'où A = « + a,

AB^aB + aB.

Or AB est le produit exact, aB le produit approché : donc aB est l'erreur du produit.

Ainsi, quand un des facteurs seid est approché, terreur absolue du produit est le produit du fadeur exact par l'erreur de l'autre.

Exemple : 8,141 est approché à 0,001 près, par défaut; 5,36 est exact : l'erreur absolue du produit est inférieure à un millième de 5,36, ou à o.oo536. Or le produit brut est 16,88576 ; donc le produit vrai, supérieur à celui-ci, est inférieur à i6,88576 + o,oo536, ou à 16,84112. Donc 16,84 est sa valeur approchée, à 0,01 près.

3i(> CHAPITIIE 1.

Second cas : 1 ° Les deux facteurs sont approchés par défaut. On a :

A = a + a, B = 6 4- [3, d'où AB = ab + a[5 -h (6 + p) a,

ou A!> = «Z? + rt[î4-Ba.

Le produit ab est approché par défaut; par suite l'erreur absolue est a.3-}- Ba. Si l'on remplace a par A, l'erreur est plus petite que Ap + Ba.

Ainsi, quand les deux facteurs sont approchés par défaut, l'erreur absolue du produit est moindre que la somme des pi'oduits de chacun d'eux par terreur de Vautre.

2° Uun des fadeurs est approzhè par défaut, Vautre par excès. Ou a ;

A = a H- a, B= b — % d'où AB = «^ — a[^-l-Ba,

ou AB=a6 + 6a — A|3.

Si le produit ab est approché par défaut, l'erreur absolue est, d'après la première formule . Ba — aP; elle est donc moindre que Ba^ et, à plus forte raison, que Ba-}- A[^. Si le produit ab est approché par excès, l'erreur absolue est, d'après la seconde formule, Ap — hx : elle est donc moindre que Ai3, et, a fortiori^ que Ap -j- Ba.

Aiusi, dans ce cas, V erreur absolue d a produit est, comme dans le premier, moindre que la somme des produits de chaque facteur par V erreur de L autre.

3" Les deux fadeurs sont approchés par excès. On a :

d'où AB = a& — a^ — Ba.

Le produit ab est approché par excès, et l'erreur absolue est a^-\- Ba. Si l'on remplace B par b, qui est pins grand, l'erreur est plus petite que f,|5 l 5a. Or a et b sont les valeurs des deux facteurs, approchét^s par excès. On peut donc dire que, dans ce cas, V erreur absolue du produit est moindre que la somme des produits de chaque facteur par Verreur de Vautre, pourvu que l'on prenne les facteurs par excès.

Il est visible que, dans les deux autres cas^ on peut, sans altérer la foriuule, remplacer les deux facteurs par des valeurs approchées par excès. Par conséquent, si l'on désigue par A^ et B^ ces valeurs, et par s l'erreur commise, on a, dans tous les cas :

£ < A,[5 + Bj a.

ÎSOTî: ïlli M- s APPIIOXIMATIOKS. 317

Cas de plusieurs facteurs. Soient, A, B, C, I) les f;icleiirs, a, h, c, d leurs valeurs approchées données, a, p, y, S les erreurs absolues, el Aj, Bj, Cj, D , les valeurs de ces facteurs, approchées par excès, que l'on choisit comme on veuf.

Si, dans le produit X\], on remplace A et B par a ei h, Terreur du produit est inférieure à aBj -f- pAj = <?.

Si, dans le produit ABC, on remplace AB par ab et C par c, l'erreur est moindre que çCi H-yAjBi, ou que aBjCj + pAjCj --hyA,Bj =9'.

Si, dans le produit ABCD, on remplace ABC el D par abc et d, l'erreur est moindre que

9'D, + oAiBiCi, ou que aB^C^ + ?A,G,Di + tAiB,D, + 6A,BiC,.

Et ainsi de suite.

L'erreur absolue du produit est moindre que la somme des produits qu'on obtient en multipliant terreur de chaque facteur par le produit de tous les autres pris par excès»

Exemples. 1» On a mesuré les dimemions d'un champ rectangulaire, et Von a trouvé pour longueur i58ni,7 et pour largeur 37»!, 28 : ces mesura sont approchées à une unité près de l'ordre de leur dernier chiffre : on demande li surface du champ.

La géométrie montre qu'il faut faire le produit des deux dimensions. Or, dans ce cas^, on a a <^ 0,1, p <; o,ot j et l'on peut prendre Aj = i58^8, et

B, — 37,29. Donc l'erreur e < '- 1 — ^^, ou e < 1,588 + 3, 720, ou

enfin s ■< ^,317. On remarquera, que cette manière de calculer l'erreur du

produit revient à additionner les deux nombres comme s'ils étaient entiers

(en augmentant chacun d'eux d'une unité), et à séparer, sur ia droite de la

somme, autant déchiffres décimaux qu'il y en avait dans les deux nombres.

Le produit brut est 6916,336. Donc le produit exact est compris entre 59i6;,336 — 5,3i7 et 5916, 336+ 5, 317, c'est-à-dire entre 5911,019 et 6921,653. L'aire demandée est donc égale à 6920 mètres carrés, à 10 mètres carrés près.

2° On a mesuré les trois dimensions d'une chambre ; on a trouvé : longueur = 6^,47, largeur = 4^,38, hauteur = 2in,i5. Chacune des mesures est obtenue ci cm, 01 près. Quelle est la capacité de la chambret La géométrie apprend que, pour l'obtenir, il faut faire le produit des trois dimensions. Or, dans ce cas, on a : a < 0,01, p < 0,01, y < 0,01 ; et l'on peut prendre A^ = 6,5, B^ = 4,4, Cj = 2,2. D'où AjBj = 28,60,

AjCi = 14, 3o, el BjCi = 9,68. Par suite e < s < o,5258.

ou

Or le produit brut est 60,927990. Donc le produit exact est compris eutre 60,927990 — 0,5208 et 60,927990 + o, 0258, ou entre 60,402190 6161,453790. Donc le volume demandé est 61 mètres cubes, à i mètre cube près.