MULTIPLICATION ABRÉGÉE

OiO CUAIMTHE I.

On a d'abord multiplié 7,8486 par 4 mille ; ce qui a donné 3 13944 dixièmes, que l'on a soustrait des 359872 dixièmes du dividende. Puis on a multiplié 7,848 par 5 centaines; ce qui a donné 39240 dixièmes, que l'on a retranché des 46928 dixièmes composant le reste. On a multiplié ensuite 7,84 par 8 dizaines; et Ton a soustrait le produit 6272 dixièmes du second reste, 6688 dixièmes. Et enlin on a multiplié 7,8 par 5 unités; et l'on a retranché ce dernier produit, valant 390 dixièmes, des 416 dixièmes du reste; il est resté 2,6. En résumé, on a multiplié le diviseur par le quotient trouvé, pour obtenir, non le produit complet, mais le produit qu'aurait fourni la multiplication abrégée, si Ton avait voulu calculer les dixièmes. Et c'est ce produit incomplet que l'on a retranché du dividende.

Par conséquent, si l'on représente le dividende complet par D, le produit incomplet par P, et le reste complet 2,6534678... par R, on a :

Désignons par d le diviseur complet, et par q le quotient trouvé 4585 ; appelons c l'erreur commise dans le produit, dételle sorte que

P =^ dq — f,

il en résulte que D = dq — c + R;

et, par suite, en divisant par d,

ur — est le quotient exact : pour prouver que q est le quotient approché, à moins d'une unité, il suffit de prouver que la différence des fractions

- et - est moindre que i.

Or, d'un côlé 2,6, étant le reste d'une division dont 7,8 est le diviseur,

est, plus petit que ce diviseur; et la différence est au moins de 0,1 : donc,

si l'on ajoute à 2,6 les chiffres non employés au dividende, dont l'ensemble

ne vaut pas 0,1, le nombre 2,6534678 ou R est inférieur à 7,8, et par

suite à d : donc -- est plus petit que i.

D'un autre côté, on sait que l'erreur e, commise dans la multiplication abrégée (438), est moindre qu'un nombre de dixièmes égal à la somme des chiffres du multiplicateur (4-1- 5 -f 8 + 5); or chacun de ces chiffres est moindre que 10, et leur somme moindre que 4 fois 10; donc l'erreur e est moindre que 4 fois 10 dixièmes, ou 4 unités. Mais d, ayant pour partie entière un nombre au moins égal à 4 unités, est plus grand que 4 unités :

donc - est moindre que t. Ce dernier raisonnement est général; car si le

quotient a n chilTres, Terreur e est inférieure à n fois lo dixièmes, ou à n

unités ; et la partie enlièrc du diviseur d est, d'après la règle, au moins

égale à n.

11 (' Ainsi chacune des fractions — cl - est inférieure à l'unité : donc leur

[[ cl

différence, quel qu'en soit lo sens, est inférieure à i. Donc q est le quotient

approché, à moins d'une unité, par défaut ou par excès. C. Q. F. D.

445. Remarque. U [leui arriver qu'un des dividendes partiels vaille plus de lo fois le diviseur correpponda)tt : dans ce cas, on augmente d'une unité le chiffre que Von vient d'obtenir, et l'on remplace par des zéros tous ceux qui restent à trouver.

En efTet, soit à diviser, à moins de o, i près, 83,48295934. - . . par 0,2782784^65. . . .; ou, ce qui est la même chose, soit à diviser, à moins d'une unité près, 834,8295934. . . • par 0,2782784265. . . Le quotient aura 4 chiffres ; et d'après la règle et le raisonnement (444), on devra prendre, au diviseur, 27 suivi de 4 chiffres, puis au dividendes chifTres; et l'on aura à diviser 83482,9 .... par 27,8278 ....

Le premier chiffre du quotient est 2; et le reste 278273 est moindre que le diviseur 278278; mais, lorsqu'on supprime le dernier chiffre 8, le dividende partiel 278273 est supérieur à 10 fois le diviseur restreint 27827 : le quotient nouveau est donc 10. Ecrivons ce quotient (10), comme s'il n'avait qu'un seul chiffre; et continuons l'opération. Le nouveau reste 3 ne peut avoir qu'un seul chiffre; car, puisque l'on a, par liypolhèse:

278270 ^ 278273 <[ 278278, on en conclut: 278273 — 278270 <] 278278 — 278270;

c'est-à-dire que le reste 3 est inférieur au chiffre supprimé 8. Or les diviseurs restreints, que l'on doit employer successivement, ont tous au moin? deux chiffres, puisque le dernier se compose lui-même de la partie séparée 27 et du chiffre suivant 8. Donc les chiffres, qui restent à trouver au quotient, sont des zéros; et ce quotient est 2 (10) 00, c'est-à-dire 3ooo, ou plutôt 3oo,o.

La démonstration du n" 444 s'applique d'ailleurs, sans modification, à ce

cas , puisqu'elle est fondée sur ce que la somme des chiffres du quotient est moindre que dix fois leur nombre, condition qui est réalisée ici.

446. 11 peut arriver aussi, lorsque les nombres sont donnés exactement, que le diviseur ne contienne pas assez de chiffres, pour que l'on puisse appliquer immédiatement la règle de division abrégée. Dans ce cas, on est obligé de calculer, par la méthode ordinaire, les premiers chiffres du quotient.

Diviser, par exemple, à o,oooi près, 782,5678689 par 4,56597. Le quotient doit avoir 3 chiffres entiers et4 chiffres décimaux, c'est-à-dire 7 chiffres. Il faudrait donc pouvoir en séparer 9, sur la gauche du diviseur : comme ce dernier n'en contient que 6, on calcule les trois premiers chiffres du quotient, par la méthode ordinaire.