CALCUL

On trouve 171 unités, el le reste est 1,7864989. On doit diviser ce reste par le diviseur, et trouver 4 chiffres décimaux. Gomme le diviseur commence par 4, il suffit d'y prendre cinq chiffres sur la gauche, et de prendre 6 chiffres sur la gauche du reste. On divise donc 1,78649 par 4,5659, par la méthode abrégée; et l'on trouve pour complément du quotient 0,3912.

447. Seconde question. Deux nombres sont connus avec une approximation déterminée : avec quelle approximation peut-on calculer le quotient de la division du premier par le second?

Premier cas : le dividende seul est approché. Soient A et B les deux nombres exacts, a la valeur, approchée par défaut, du dividende, et a l'erreur

îibsolue. On a :

A a a et par suite b"^ B~^ B'

Or - est le quotient exact, - est le quotient approché : donc ^ est l'erreur du quotient.

Ainsi, quand le dividende seul est approché, ^erreur absolue rfu quotient

est le quotient de la division de V erreur absolue du dividende par le diviseur.

Exemple : •>'-,7i8 est approché à 0,001 près : 5,7 5 est un diviseur exact :

1 erreur du quotient est moindre que - — r->el par conséquent que 0,0002.

En divisant ^,718 par 5,75, on trouve o,47'.>.7... pour quotient brut. Le quotient exact est donc compris entre 0,4727 — 0,0002 et 0,4727+0,0002, c'est-à-dire entre 0,4725 et 0,4729. Donc il est 0,478, à un demi-millième près, par excès.

Second cas : le diviseur seul est approché. Soient A et B les deux nombres,

b la valeur du diviseur, approchée par défaut^ (3 l'erreur absolue : — est le

quotient exact, -est le quotient approché par excès : si l'on désigne par s

l'erreur absolue du quotient, on a :

A A __ A(B — /0 A (3 ' ~ b~B Bl Bb'

Si l'on remplace, dans le dénominateur, B par b qui est plus petit, on

augmente la fraction; et par suite s < -~ ■>

Ainsi, quand le diviseur seul est approché^ Vcrreur absolue du quotient est moindre que le produit du dividende par V erreur du diviseur, divisé par le carré du dicisear {pris par défaut).

On arriverait à la même règle, dans le cas où le diviseur ssrail approché par excès.

Exemple : Trouver le rayon d'un cercle dontia circonférence a 10 mètres de longueur. On sait que le rayon est égal au quotient de la demi-circonlérence par le nombre tt, et que tt: — 3,i4i5, à moins de 0,0001 près, par défaut. On a donc à diviser 5 par 3, 141 5. L'erreur du quotient est infé-

rieure à — ——^ ,ou a o,oooo555.., el par suite a 0,00006. Or, en eiiec-

luanlla division, on trouve i^SgiSjà moinsde 0,0001 près, par défaut. Le quotient exact est donc compris entre 1,591 5 — 0,0006 et 1,5916, ou entre 1,5909 et 1,5916. Ainsi le rayon vaut i'»,59i, à moins de on»,ooi.

Troisième cas. I» Le dividende et le diviseur sont approchés, le premier par défaut^ le second par excès. On a :

A a \b — na A {i]-h p) — B (A— a) A[5 + Ba

erreur = 3 -

B h nij i>i^ ^'^

Si l'on remplace, au dénominateur, 6 j3ar B qui est plus petit, on a

Ap4-Ba

Ainsi, dans ce cas, V erreur absolue du quolîent est inférieure à la somme des produits de chacun des deux nombres par terreur de l'autre, divisée par le carré du diviseur (pris par défaut) ; elle est par défaut.

On démontre la même règle, dans le cas où le dividende est approché par excès elle diviseur p'jr défaut: seulement terre <r est par excès.

2° Le dividende ei le diviseur sont approchés tons deux par, défaut, ou tous deux par excès. Un calcul analogue montre que, dans ce cas, le numérateur de l'erreur est la différence des produits A [3, B a^ au lieu d'en être la somme. On peut donc dire encore que terreur absolue est moindre que la somme de ces produits dtvi-éc par le carré du diviseur [pris par défaut). C'est donc là la règle générale.

Dans les applications, on augmente les nombres qui figurent au numérateur de la formule, et l'on diminue ceux qui figurent au dénominateur ; on obtient ainsi une limite supérieure de l'erreur/plus éloignée, mais plus simple.

Exemple : On mesure une circonférence, et on la trouve ég;»le à 37^,452 h cm, CCI près : calculer la longueur de son diamètre, sachant que 7î =z 3,i4i6o, à o,ooooi près, par excès. Le diamètre cherché est égal à

• . Dans ce cas, on a a < 0,001, [3 < 0,00001. On peut prendre, au

numérateur de l'erreur, A^ = 40, et B^ = 8,2 : d'où A^p < 0,0004, et

B^a < 0^0082; donc i^ijP + B^a < o,oo36. On prend pour tt, au dénomi-

1 I -» n o.oo36

nateur, la valeur 3 ; et 1 on a e < — , ou s < 0,0004. Or le quotient

brut est 11,9213, à 0,0001 près, par défaut : donc le quotient exact est compris entre 11,9213 — 0,0004 et 11,9214 +0,0004, c'est-à-dire entre 11,9209 et 11,9218 Le diamètre vaut donc ii'n,92i, à o'",ooi près.