VI. RACINES

450. Première question. Un nombre est donné avec une approximation illimitée : trouver sa racine carrée, cubique, etc., à une unit<iprès d'un ordre donné.

On a vu (352) que^ pour extraire une racine d'un nombre à une unité près d'un ordre donné, on doit multiplier le nombre par une puissance convenable de lo ; puis extraire, à une unité près, la racine du produit, et enfin faire exprimer au résultat les unités de l'ordre considéré. Le problème général se ramène donc toujours à l'extraclion de la racine, à une unité près ; et nous n'aurons à nous occuper que de ce cas.

451. Racine CARRÉE ABRÉGÉE. Pour extraire, à une unité près, la racine carrée d'un nombre donné, on commence Vopêralion, d'après la méthode ordinaire (290) ; puis, lorsqu'on a ainsi trouvé plus de la moitié des chiffres de la racine, on détermine les autres, en divisant le reste par le double de la racine trouvée, suivie d'autant de zéros qu'il reste de chiffres à trouver.

Désignons par N le nombre donné, par a la racine déjà trouvée, suivie

d'autant de zéros qu'il reste de chiffres entiers à trouver, par x le complément de la racine, qui se compose de la partie entière encore inconnue et peut-être d'une partie décimale incommensurable. On a, par hypothèse :

dou =07 H •

Mais si l'on divise le reste (N — a^) par 2a, comme le demande l'énoncé, en désignant par q le quotient entier et par r le reste de cette division,

on a :

H faut donc que l'on ait :