X-\ =(jf-l
•2(1 ia
d'où x = q-\ [al
Pour prouver que q est la valeur de .t, à une unité près, il suffit de
montrer que la différence entre — et — est inférieure à i. Or, d'un côté,
2a ia
r étant le reste d'une division dont 2a est le diviseur, le quotient — est
moindre que i. D'un antre côté, si l'on désigne par (2n+i) le nombre des
chiffres de la racine cherchée, n étant alors le nombre des chiffres de la
partie entière de x^ il est visible que a?^ a au plus (50) in chiffres entiers,
tandis que 2a en a au moins (271-4-1) ; par suite, — est moindre que i.
Donc la différence entre • — et — » quel qu'en soit le sens, est inférieure à
2a 2« l'unité : c'est ce qu'il fallait prouver.
452. On peut même, à la vue du quotient q et du reste r, reconnaître si la racine trouvée {a-\-q) est exacte, ou si elie est approchée par défaut ou par excès. En effet, d'après l'égalité [aj, si x est supérieur à q, c'est-àdire si (a + q) est la racine approchée par défaut , on a : r^x^, et, à plus forte raison, r'^q^.
Si ^ est égal à g, c'est-à-dire, sî-(a-l-q) estla racine exacte^ on a: r=x^=q^.
Si enfin x est inférieur à q, c'est-à-dire, si (a -Hq) est la racine approchée par excès, on a : r <^x^, et, à plus forte raison, r <C9'^-
La racine (a-l-cj) est donc approchée par défaut , exacte oxi approchée par excès, suivant que le reste r de la division est supérieur^ égal ou inférieur au carré du quotient.
D'ailleurs, pour obtenir le reste de la racine, on remarque que, si (a-j-g) est la racine approchée par défaut, on a :
N = <r-\-'2nq-{-r, et {a-\-(iy' = a^ -{-2aq-{-q^; donc N — {({-{- qY ~ r ^q^.
Ainsi le reste, dans ce ras, est l'excès du reste de lu division sur le carre du quotient.
Si, au contraire, la racine, approchée par défaut, est seulement (a+g — i),
on a : N = a2+2ag + r, {a-{-q—ïY = a^+9.a (g — i) +((/— i)^
et le reste N — (a + g— i)^ = ?.a + '• — (g— i)"-= ■2a-\-r — g^ + ug— i = r+2 {a-{-q — i)-\-i — q^-
Ainsi le reste, dans ce cas, est égal au reste de la division, 'plus deux fois la racine appi-ochée par défaut, plus un, moins le carré du quotient.
453. Remarque. Si le premier chiffre de la racine est au moins 5, il suffit de calculer la moitié des chiffres par la méthode ordinaire, pour pouvoir obtenir l'autre moitié parla méthode abrégée. En effet, soit dans ce cas, 2nie nombre total des chiffres de la racine entière : a contient n chiffres suivis de n zéros ; et, comme le premier de ces chiffres est au moins 5, aa contient
(an + i) chiffres; d'ailleurs o;^ n'en contient que 2n au plus : donc — <ri ;
aa
et la démonstration (451) s'applique sans modification.
454. Application. Calculer [/i avec une approximation illimitée.
Pour obtenir v 2 avec une approximation donnée, on doit placer, à la droite de 2, deux fois autant de zéros qu'on désire de décimales. Calculons d'abord trois chiffres de cette racine par la méthode ordinaire.
I I 9 Nous trouvons i4i pour racine, et 119 pour reste. Ainsi 141 forme les trois premiers chiffres de la racine de 200000000, et l'on peut calculer les deux derniers par la méthode abrégée. Pour cela, il faut écrire le reste complet qui est 1 190000, 'et le diviser par le double de la racine trouvée prise avec sa valeur relative, c'est-à-dire par 28200.
Nous trouvons pour quolieiiL 4'-^ ei pour reste 56oo. Ce reste étant plus grand que 42^, la racine est approchée par défaut. Ainsi la racine est 14142; et, si Ton retranche 42" de 56oo,on a pour reste 3836.
On connaît les cinq premiers chiffres de la racine de 20000000000000000, et le reste 3836oooooooo ; la méthode abrégée permet d'obtenir les quatre chiffres suivants :
3836ooooooo o 1007 60 I 5 9 o 8 o 176600
Nous trouvons pour quotient i356, et pour reste 68960600. Comme ce reste est plus grand que 1356*^, la racine est encore approchée pardéfaut: elle est i4i42i356 ; et si l'on retranche i356^ de 68960000, on a pour reste 67121264.
On connaît maintenant 9 chiffres de la racine de (2 X lo^^j. qi Iq méthode abrégée donne le moyen d'avoir les huit chiffres suivants. On doit pour cela placer seize zéros à la droite du reste, et huit zéros à la droite du double de la racine, et faire la division.
i436636oooooooooo
Le quotient est 23730960 ; d'ailleurs le reste est plus grand que le carré du quotient : donc le résultat est approché par défaut, et l'on a :
à une unité près du seizième ordre décimal. On pourrait continuer ainsi. 455. Racine cubique abrégée. Pour extraire^ à une unité lyrès^ la racine cubique d'un nombre donnée on commence r opération d'après laméihode ordinaire {^%o); puis, lorsqu'on a ainsi trouvé plus de la moitié des chiffres de la racine, on détermine les autres, en divisant le reste par trois fois le carré de la racine trouvée, racine qu'on a préalablement fait suiv7'e d'aulant de zéros qu'il reste de chiffres à trouver.
Soient N le nombie donné, a la racine trouvée, suivie d'autant de zéros qu'il reste de chiirres à trouver, x le complément de la racine qui se compose de la partie à trouver et, peut-être, d'une partie décimale incommensurable. On a par hypothèse :
Or, si l'on divise (N — cv") par 3a', comme le demande la règle, en désij;nant par q le quotient et par r le reste de la division, on a :
3a^ ~'^"^3a^' Il faut donc que Ton ail :
d où 33=^+^-5 — Hrr-2
3a^ \ a ia^
Pour prouver que q est la valeur de x, à moins d'une unité près, il suffit
de prouver que la différence entre -— , et ( \- ^-^ | est moindre que i .
ja \ a >ja y
Or, r est le reste d'une division dans laquelle Sa" est le diviseur: donc
r -—s est inférieur à i.
(x^ x^ \ hô— 2 )' '^ pourrait arriver qu'elle ne fût pas
nférieure à l'unité; mais celte circonstance se présentera très-rarement. En effet, supposons que les n chiffres de q ne soient pas tous des 9 : d'après la
ormule, la valeur de^ sera inférieure à (lo" — i); puisqu'elle nepeutsurpas- . er q d'une unité. D'ailleurs, a, ayant (an + 1) chiffres, est supérieur à 10^'*.
(OC^ X? \ X^ f X \ ViT'ï \ peut se mettre sous la forme — f ^ + ô~ ) >
die est donc inférieure au produit
qui devient, en développant les calculs,
i---^+Ar)X I i-t
ou effectuant : i — H ^ — .-. tz, ;
