lo
et, sous cette forme, ce produit est visiblement inférieur à l'unité. Ainsi, toutes les fois que les chiffres du quotient q ne seront pas tous des g, l'expression sera plus petite que V unité, et (a+ q) sera la racine approchée, à une unité près.
D'un autre côté, si le premier chiffre de a est plus grand que i, on a :
rt>2.io2'', et par suite — <- ; et comme on a: i H-r^ < 2, on en conclut
« 2 Sa
X^ f ly \
que le produit — ( i + t- ) ^'^^ inférieur à i.
Il n'y a donc d'incertitude que dans le cas très-exceptionnel où, le premier chiffre de a étant i, les chiffres de q sont tous des 9. Quand ce cas se
présentera, on calculera directement une limite de la différence entre
et
» et Ton verra si Ton peut compter sur l'approximation de-
mandée.
456. Application. Extraire, à une unité près^ la racine cubique de 96428639457679. On cherche les trois premiers chiffres par la méthode ordinaire (323).
On trouve 458. Le reste est 356727457679. D'ailleurs le triple carré de la racine 45800 est 6292920000; et l'on doit, pour compléter laracine, trouver le quotient entier, du reste par ce triple carré c'est-à-dire, effectuer le quotient 356727457679 : 6292920000.
On peut employer, pour celte recherche, la méthode de division abrégée (444). Mais, ipour être assuré d'obtenir ainsi le quotient par défaut qu'exige le théorème, il est bon de calculer un chiffre de plus.
On divise donc, d'après la règle abrégée, 35672 par 6292; et l'on trouve pour quotient 567, à moins d'une unité près. On est donc assuré que 56 est le quotient par défaut cherché. La racine cubique est par suite 45856.
457. Seconde question. Un nombre est connu avec ime approximation déterminée: avec quelle approximation peut-on calculer sa racine?
Racine carrée. Soit un nombre A; soient a sa valeur approchée par défaut, et a son erreur absolue ; on a A=a4-a ; Terreur e sur la racine est
En multipliant y/ \—\/a par v/A + v^a, on obtient (A — a) ou a: donc
et si l'on remplace, au dénominateur, 1/A pnr \/a qui est plus petit, on a;
Va
Ainsi Verreur absolue de la racine carrée d'un nombre approché est moindre que Verreur absolue du nombre divisée par le double de la racine carrée du nombre {app^^oché par défaut).
Si A était approché par excès, de sorte qu'on eût A = a — a, l'erreur serait
