V« + VA 2 VA

et, à plus forte raison, s <

Wa/

Aj étant une valeur de A, approchée par défaut. La limite de l'erreur a donc la même expression que dans le cas précédent. Racine cdbique. On a, dans ce cas :

car on sait que (J/a — y^a) (^A^ + J/Aa+ ya^) ,\ — a.

Si l'on remplace, au dénominateur, A par a, ou, en général, par une valeur Aj approchée par défaut, on a :

Ainsi Verreur absolue de la racine cubique d'un nombre approché est moindre cjue Verreur absolue du nombre divisée par trois fois la racine cubique du carré du nombre (approché par défaut).

458. Applications. 1° Exlraire ia racine carrée du nombre 92,528, approché à 0,001 près.

L'erreur de la racine est moindre que

o.ooi

Vo^

, et , à fortiori , que

= o,oooo555.,. On calcule donc la racine par la méthode ordi-

2X9 naire

et l'on trouve 9,61914. . . La racine exacte est donc comprise entre 9,61914 — 0,00006 619,61915 + 0,00006, ou entre 9,61908 619,61921 : elle est donc 9,6191, à moins de 0,0002 près,

2° Extraire la racine cubique du même nombre 92,528, approché à 0,001 près.

L'erreur de la racine est moindre que —3

■j et, à fortiorij que

o.ooi

» ou que

= 0^0000 166. . . On calcule donc la racine cubi-

que, parla méthode abrégée, jusqu'aux cent-millièmes (455).

4800 i25]6o75oo i352

On trouve 4,52297 par défaut. La racine exacte est donc comprise entre 4,52297 — 0,00002 et 4,52298 + 0,00002, ou entre 4,^2295 et 4,523ooj elle est donc 4,523o, à un demi-dix-millième près, par excès.

§ vil. REMARQUE GÉNÉRALE.

459. Application des méthodes abrégées au calcul des nombres approchés. Lorsqu'on a une opération à faire sur des nombres qui ne sont qu'approchés, on détermine d'abord, comme on l'a vu, une limite de Terreur qui afTecte nécessairement le résultat. Puis on cherche à exécuter le calcul demandé par les méihodes abrégées. Mais on ne doit pas se dissimuler qu'en agissant ainsi, on commet une nouvelle erreur qui peut s'ajouter à la première.et que l'erreur totale peut être supérieure à celle que l'on avait en vue. Il importe donc de s'assurer, à posteriori, que l'on obtient le résultat avec l'approximation désirée : et c'est ce que l'on devra constater dans chaque problème.

Exemples : ]o Calculer, à o™,ooi près, le rayon d'un cercle dont la surface est égale à 5oo mètres carrés.

La géométrie démontre la formule S = tiR^, d'où l'on tire :

5oo Si l'on désigne par a l'erreur commise sur le quotient , 1 erreur sur la

racine est (457) moindre que — 7=, ou que ~ ; car yA^ est > lo. . . Il

2 yAj

suffît donc que l'on ait: — <o,ooi, ou a < 0,02.

Si l'on désigne par 6 l'erreur commise sur tz, l'erreur a sur le quotient

5oo , ,„^ . , 5ooe 5ooS . ox n ft'» est (4i7) moindre que — ^, ou que (en prenant tt = 3). Il sultit

5ooS ^ ^ ^ 0,18 ^ o/-

donc quel onait: <o,o2, ou 6 < — — ou e< o,oooJ6.

^ 9 DOO '

Or TT = 3,14159...; on prend, pour valeur de tt, 3,i4i5 qui n'est pas en

erreur, par défaut, de 0,0001 .On divise 5oo par 3,i4i5; et l'on trouve pour

quotient i59,i5. Commelediviseurest trop faible, iequotient complet est trop

5oo X 0,0001 fort; mais l'erreur, de ce coté, est moindre que , ou que 0,01.

En négligeant les chiffres qui suivent les cenlièmes, on fait une erreur, par défaut, moindre que 0,01. Les deux erreurs étant de sens contraire, le quotient est i59,i5 à 0,01 près, par défaut ou par excès.

On prend 169,14 qui est approché par défaut, à 0,02 près; et l'on extrait la racine, à 0,001 près. On cherche les trois premiers chiffres par la méthode ordinaire, et les deux derniers par la méthode abrégée.