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est o,oi; et l erreur relative est :: ou

3 1 , 2 5 3 1 2 5 Si Ton dit que l'erreur relative, commise sur un nombre, est , l'er-

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reur absolue est égale au nombre multiplié par ; elle est le millième

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du nombre.

Dans un calcul approximatif bien fait, l'erreur relative est toujours une petite fraction.

Ordinairement, on ne connaît exactement ni les nombres, ni les erreurs absolues; on ne connaît donc pas non plus les erreurs rt^latives; et l'on se

borne à déterminer des limites supérieures de ces erreurs. Pour avoir une limite supérieure de l'erreur relative, on prend une limite supérieure de Verreur absolue et une limite inférieure du nombre. En effet, si l'on substitue au nombre A une valeur Aj, approchée par défaut, et à Terreur

absolue a une valeur a^, approchée par excès, on a : r < -^^ puisque

Pour avoir, au contraire, une limite supérieure de Verreur absolue, on prend une limite supérieure du nombre et une limite supérieure de Verreur relative. En effet, si Ton substitue à un nombre A une valeur approchée par excès A^, et à l'erreur relative r une valeur approchée par excès r^, on a : a < Al r^ , puisque a = A ?*.

Mais on peut substituer à ces méthodes générales des règles plus simples que nous allons faire connaître.

461 . Théorème i. Si, dans un nombre approchéf on sait que m chiffres consécutifs sont exacts, à partir du premier chiffre significatif de gauche, l 'erreur relative est moindre qu'une fraction qui a pour numérateur Cunité et pour dénominateur le nombre formé par Vensemblle des m chiffres {pris abstraction faite de la virgule).

Par exemple, on sait que, dans le nombre 827,42567, les cinq premiers

chiffres sont exacts; Terreur relative est moindre que - — — . En effet,

désignons par A le nombre exact, par a l'erreur absolue, et par r Terreur

relative ; on a ici, par hypothèse^ oj < 0,01, et A > 827,42 ; donc r est

0,01 plus petit que — , ou

tn '•<3^ C.Q.F.D.

(On verrait de même que, si le nombre 57829568 a 4 chiffres exacts,

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a < loooo, et A > 57820000; d ou r < tt— ^ , ou r <^-^^-— .

462. Corollaires. Si Ton remplace, par des zéros, au dénominateur de la limite [1], tous les chifTres'qui suivent le premier, on â, à fortiori :

-; et, en général,

ou r < :r r

en désignant par k le premier chiffre significatif à gauche du nombre donné. Ainsi Verreur relative est moindre qu'une fraction qui a pournumé-

râleur Cnnilé, et pour dénominateur le premier chiffre du nombre suivi de («n— i) zéros.

Si le premier chiffre significatif du nombre est au moins 2, on ne diminue pas la frocliOR [2] en remplaçant A; par 2 : donc

[3] r < ■. , ou r < — -

Ainsi, l'erreur relative est moindre qu'une demi-unité du [m — i)*"' ordre décimal.

Enfin, le premier chiffre k étant toujours au moins égal à i, on a, dans

tous les cas : r < r» W

Ainsi, lorsqu'un nombre approché contient m chiffres exacts, l'erreur relative est toujours moindre qu'une unité du (m — i)'^^ ordre décimal.

Ces diverses limites vont toujours en grandissant; elles sont d'autant plus simples, qu'elles sont plus éloignées de la valeur de l'erreur relative. On emploie la première, quand les w chiffres sont connus; la seconde, quand on connaît seulement la valeur du premier chiffre; la troisième, quand on sait que ce premier chiffre est au moins 2 ; la quatrième, quand on ne sait rien sur la grandeur de ce chiffre.

Remarque. Lorsqu'on connaît une limite supérieure de Terreur absolue, on en conclut aisément le nombre des chiffres exacts du nombre ; et le théorème précédent fournit des limites de l'erreur relative.

463. Théorème ii. Si l'erreur relative d'un nombre approché est m,oindre

que ■ — - , et même que — r —y, k étant le premier chiffre significatif

à gauche^ on peut compter sur V exactitude des m premiers chiffres ; ou du moins C erreur absolue est moindre qu'une unité de l'ordre du m"*^ chiffre. Par exemple : on sait que l'erreur relative sur le nombre 59, 4^26785. *.

est moindre que — r-» ou même seulement que -; ; il faut prouver que

les 5 premiers chiffres sont exacts. En effet, dire que Terreur relative est

moindre que -; r» c'est dire que Terreur absolue est moindre que -:

du nombre : mais le nombre lui-même, commençant par un 5, estplus petit que () dizaines ou que 6. lo'^ millièmes : donc Terreur absolue est moindre

que de G.io'* millièmes, ou que i millième. Donc les cinq premiers

chiffres son; exacts, dans le sens que nous avons expliqué (433).

Remarque. Lorsqu'on connaît une Umite supérieure de Terreur relative,

ce théorème faii connaître le nombre des chiffres exacts du nombre approché, cl une limite supérieure de l'erreur absolue.

Si donc le nombre est approché par excès, on supprime tous les chiffres cjui suivent lem'm&, et qui ne valent pas une unité de Tordre du dernier chiffre conservé. Si, ou contraire, le nor)ibre est approché pi r défaut, 07i augmente d'une unitéj après In suppression, le dernier chiffre conservé. Car, dans l'un comme dans l'autre cas, les deux erreurs commises sont de sens contraire, et leur différence est moindre qu'une unité de Tordre du dernier chiffre conservé.

464. Corollaires. 4° Lorsqu'on a besoin de connaître un nombre avec m chiffres exacts, on fait eu sorte que Terreur relative soit inférieure à

, ou seulement à —, ^ -r, k étant le chiffre de ses plus hautes

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unités (463).

2° Lorsqu'on veut que Terreur relative d'un nombre soit moindre que

, on calcule exactement les (?n + i) premiers chiffres du nombre. Et

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ces (m-1- i) chiffres suffisent, si le premier est k, pour que Terreur relative soit inférieure à , (461).