VI. RACINES
478. Théorème x. L'erreur relative de la racine carrée d'un, nombre approché est à peu près égale à la moitié de ferveur relative du nombre ; elle est moindre que la moitié de la limite qu'on subslitve à cette dernière.
ce
Ce théorème eslla conséquence du théorème qui concerne Terreur relative du carré : car si Resl à peu près égale h ->. r, il en résulte qu(> r est à
peu près égale à—.
Théorème xi. U erreur relative de la racine cubique cVun nombre approché est à peu près le tiers de V erreur relative du nombre : elle est inférieure an tiers de la limite qu^on substitue à cette dernière.
Car si on a, à peu près, R=:3 r, on aura, à peu près, t=~ ^.
Théorème xii. L'erreur relative de la racine n^^ d'un nombre approché est à peu près égale à la n"ie partie de l'erreur relative dunombre.
Car si l'on a, à peu près, R= nr, on aura, à peu près, r = -•
479. Applications. Première question : Un nombre est connu avec une approximation indéfinie; combien de chiffres doit-on prendre pour obtenir sa racine n"^^ avec m chiffres exacts?
Pour que la racine présente mchiffres exacts^ il suffit que son erreurrelative
soit moindre que — - : et, pour cela, il suffit (476)que Terreur relaiive du
n . . I nombre soit moindre que , et, à plus forte raison, moindre que .
Il suffit donc toujours de connaître le nombre avec (m + i) chiffres.
Mais il suffit souvent de connaître m chiffres exacts dans le nombre, pour en obtenir m à la racine.
En effet : 1o Racine carrée. Si le nombre commence par un chiffre égal ou supérieur à 5, Terreur relative sur ce nombre est moindre que
- , ; Terreur relative de sa racine carrée est donc (478) moindre que
- : , ou que ; et l'on peut obtenir m chiffres exacts.
2o Racine cubique. Si le nombre commence par un chiffre au moins égal à 4 (ou même seulement par 34), son erreur relative est moindre que
- ^, (ou 7^ ^. 1; et, par suile, l'erreur relative de sa racine cu-
4 lo*" ^ y 34 lo"' ^ J
bique est moindre que — ^ . (ou -— ; ) : elle est donc infé-
^12 IO*"~' \ I02 lO"* ''y
rieure à — -, , et l'on peut obtenir m chiffres exacts.
Il est facile de généraliser.
480. Exemples: !<> Calculer, à on'jooi près.la racine cubique de fy D'après la règle générale^ il faudrait réduire ^^ en décimales, et calculer 9 chiffres
décimaux, pour obtenir les 3 chiffres décimaux de la racine. Mais la fraction décimale commençant par un4> il suffira (479) d'en calculer 3 : on remplacera les six autres par des zéros ; et l'on appliquera la règle ordinaire. On trouve ainsi 0,773, en augmentant le dernier chiffre d'une unité, pour que les erreurs se balancent.
2° Calculer, à 0,01 près, y 59+ \/j9. Pour obtenir deux chiffres décimaux à la racine cherchée, la méthode ordinaire exigerait qu'on eu connût
quatre dans le carré : il faudrait donc préalablement calculer ^39 avec quatre décimales.
Mais remarquons que la racine carrée de 39 vaut 6, ... ; que, par suite,
^9 + V^ — ^^.' ''•'■> ^^^^ 1^ racine cherchée vaut 8,. . . ; elle aura donc
3 chiffres. Et, comme le nombre Bg + yjSg commence par 6, il suffira de l'évaluer avec 3 chiffres exacts (479); or il a 2 chiffres entiers connus : il suffira
donc de calculer \3g à 0,1 près : on trouve y39 = 6, 2. . . ; de sorte que
59 + Y39 = 65,2. . . Pour obtenir les centièmes de la nouvelle racine, on remplace les 3 décimales inconnues par trois zéros; et l'on extrait la racine carrée de (35, 2000, qui est 8,07 par défaut. On prend 8,08 pour valeur approchée.
30 Calculer^ à 0,001 près, V7^+ V74+ V?^- ^^^^^ obtenir trois chiffres décimaux , la méthode générale voudrait qu'on calculât
V74+ y 7^ avec 6 décimales, et par suite y 73 avec 12 décimales.
Mais on remarque que V73 = 8,..., que 74 + V?^ = 82,..., que
V 74 + v/73 = g,.., ({uey6 + V74 + v/73 = 84 , . . . , et que, par suite, la racine cherchée = 9,. . . ; elle doit donc avoir 4 chiffres en tout; et comme le nombre commence par 8, il suffit d'évaluer ce nombre avec
4 chiffres exacts. On en connaît la partie entière 84; il suffit d'évaluer
V 74 + V 73 avec deux chiffres décimaux. Or cette racine a une partie entière 9 : elle aura donc trois chiffres; et comme 74+ V'7^ commence par 8, il suffit d'évaluer 74 + sfjS avec 3 chiffres, c'est-à-dire de calculer les dixièmes seulement deY73. On trouve sjy'i = 8,5... Par conséquent, 74 + \lr3 = 82,5. . . Pour avoir la racine de 82.5. .. avec 2 chiffres décimaux, on écrit 3zéros à la droite, etl'on trouYeV82j5ooo = 9,o8...
Donc 75 4- V74 4- s/y^ = 84,08.. . Et, pour obtenir la racine cherchée, on place 4 zéros à la droite de ce dernier nombre; et l'on trouve 9,169. , .
On a donc y 70 + V74 + V;^ =
9,170, a 0,001 près.
4" Calculer, h un centimètre près^ le périmètre d'un polygone régulier de 20 côtés, inscrit dans un cercle dont le rayon est égal à i mètre.
On calcule d'abord le côté du polygone, à 2^ de centimètre près, c'està-dire un demi-millimètre près. La formule est c= y 2 — \ -a^S -{-\J 1,2^.
Or, il est facile de voir que cette racine n'a pas de partie entière, mais qu'elle a des dixièmes: elle a donc 4 chiffres. Il suffit, par suite, d'évaluer
■2 — V •-i;,5 H- Yi,25 avec cinq chiffres exacts ; et, pour cela, on devra
évaluer 2,5 + '1,2 5 avec 6 chiffres. On calcule donc s/i^^l) avec cinq décimales, et Ton trouve i,ii8o3...Parsuite,2,5+i,ii8o3...=3,6ii8o3.. On extrait la racine dece résultat, qui est i,9oo47.Puis2 — 1,0047=0,09953. On extrait, avec quatre décimales, la racine de ce dernier nombre: on trouve o. 3 1 54. Enfin on multiplie ce résultat par 20, on supprime le dernier chiffre, on augmente l'avant-dernier d'une unité ; et on trouve que le périmètre cherché est égal à 6™,3i.
481. Applications. Seconde question : Un nombre est connu avec une approximation déterminée : avec quelle approximation peut-on obtenir sa racine ?
Si l'on connaît m chiffres dans un nombre approché, son erreur relative
est moindre que — ^^j : l'erreur relative de sa racine n"»« est moindre que I I
— r; elle est à fortiori moindre que , : on peut toujours compter
sur (m — i) chiffres exacts dans la racine.
Mais si la racine a un premier chiffre inférieur à n, cette racine, limitée à m chiffres, est moindre que n. lo"*"* : donc l'erreur absolue de la racine est moindre que i. On peut donc^ dans ce cas, compter sur m chiffres exacts. C'est ce qui arrivera, lorsque le premier chiffre d'une racine carrée sera moindre que 2, lorsque le premier chiffre d'une racine cubique sera moindre que 3, etc.
482. Exemples. 1» La surface d'un cercle est 54^ mètres carrés, à I mètre carré près: à quelle approximation peut-on obtenir son rayon R?
La formule est
L'erreur relative de 542 étant moindre -^ ^, l'erreur relative du quo-
tient ne pourra être moindre; et, par suite, on ne pourra obtenir le quo-
lient avec plus de trois cliiffres exacts ; et encore faudra-l-il pour cela
prendre, pour le diviseur tt, une valeur suffisamment approchée. Prenons par exemple ti, par excès, égal à 3, 1:42, Terreur relative du quotient sera
• f • .1,1 , I /i I N 7 II
inférieure a ——-i-- -, ou a— J 7+5- ' ou a / „, ou à .*
