Deuxième cas. Soient deux nombres 58437 et 35 128 dont
on demande la différence. Si l'on peut soustraire respectivement les unités, les dizaines, les centaines, etc., du plus petit nombre, des unités, des dizaines , des centaines, etc., du plus grand, le nombre formé de ces différences partielles sera évidemment le reste cherché. Pour opérer plus facilement , on place le plus petit nombre sous le plus grand , de manière que les unités de même ordre se correspondent.
Puis on dit : de 7 unités ôtez 3 unités , reste 4 unités; de 3 dizaines ôtez 2 dizaines , reste i dizaine ; de 4 centaines ôtez
1 centaine, reste 3 centaines ; de 8 mille ôtez 5 mille, reste 3 mille; de 5 dizaines de mille ôtez 3 dizaines de mille, reste
2 dizaines de mille. Le reste est 233i4.
Cette règle est générale et n'a pas besoin d'autre démonstration.
32. Troisième cas. Il peut arriver que certaines soustractions partielles soient impossibles. La règle , dans ce cas, est fondée sur ce principe évident:
La différence de deux nombres nest pas changée , quand on augmente chacun des deux nombres de la même quafitité.
Soient, comme exemple , les deux nombres 4^072 et 28346.
On ne peut pas soustraire 6 unités de 2 unités; on augmente ces 2 unités de 10 unités , ce qui donne 12 unités , et rend la soustraction possible; il reste 6 unités. Et comme 10 unités valent i dizaine, on corrige l'erreur commise, en augmentant d'une dizaine le plus petit nombre ; il suffit, pour cela, d'augmenter d'une unité le chiffre 4 des dizaines. On retranche alors 5 dizaines de 7 dizaines : il reste 2 dizaines. On ne peut pas retrancher 3 centaines de o centaines : on ajoute en conséquence dix centaines à o centaines, et on retranche
3 centaines de lo centaines: le reste est 7 centaines. Mais, pour corriger Terreur, on augmente de 10 centaines le nombre inférieur en ajoutant i au cliiCfre des mille. Comme on ne peu! retrancher 9 mille di3 5 mille, on ajoute encore 10 mille aux 5 mille, ce qui en donne i5 , et Ton retranche 9 mille de i5 mille; le reste est 6 mille. Puis, pour corriger la nouvelle erreur, on ajoute i dizaine de mille aux 2 dizaines de mille du plus petit nombre, et l'on retranche 3 dizaines de mille de
4 dizaines de mille : le reste est i dizaine de mille. On trouve ainsi pour reste 16726.
Cette explication est générale, et donne la règle générale suivante : On retranche successivement les unités, les dizaines, les centaines, etc., du plus petit nombre, des unités, des dizaines, des centaines, etc., du plus grand; et Von écrit les restes sous les chiffres qui les ont fournis. S'il arrive qu'une soustraction partielle soit impossible, on augmente de 10 le chiffre supérieur , ce qui rend la soustraction possible; et l'on ajoute i au chiffre inférieur de la colonne suivante , avant de le soustraire du chiffre supérieur correspondant.
33. Preuve de la soustraction. On vérifie une soustraction de deux manières: 1° On ajoute le reste au plus petit nombre; la somme doit reproduire le plus grand ; 2° on soustrait le reste du plus grand nombre; la différence doit reproduire le plus petit.
La preuve de l'addition peut se faire aussi par la soustraction. On ajoute tous les nombres à l'exception d'un seul, et l'on retranche cette somme de la somme totale. La différence est évidemment le nombre que Ton a isolé.
34. Soustraction dans un système quelconque. Nous nous bornerons à donner un exemple pris dans le système duodécimal :
On dira : de 3 ôtez 8, impossible ; ajoutant douze, de i3 ôtez 8, reste 7 ; de a ôtez 6, reste 4 ; de 10 ôiez 2, reste a ; de 17 ôtez 10, reste 7 ; de 5 ôtez 3, reste 2.
18 LIVRE I.— CHAinïKE 111.
EXERCICES
I. Faire les soustractions suivantes dans le système décimal : 3548 5ooo4 7830246 672300456
II. Faire les souslraclions suivantes dans le système dont la base est sept 3542 65oo6 30045 ^^5 432105462
(Rép. : Les résulials sont : 56i^ 25460, 46o6o3, 346o2i2o5.) US. Faire les soustractions suivantes dans le système dont la base tsineuf: 4865 5672305 3670004 6720035876
(Rép. : Les résultats sont: 187O, 4705763,, 2716548, 6666871608.)
IV. Pourquoi commence-t~on par la droite l'opération de la soustraction ?
V. Une personne est née en 1792 : quel est son âge en 1867? Une autre est née en 1775 : quel est son âge en 1867 ? (Rép. : 75 ans, 92 ans.)
YI. Sont nés à Paris, en iS65, 27927 garçons et 27169 filles ; sont morts à Paris, pendant la même année, 2644^ personnes du sexe masculin et 24976 personnes du sexe féminin. Quel est l'excès des naissances sur les décès pour l'un et pour l'autre sexe? Quel est raccroissement total de la population parisienne ? (Rép. : 1482, 2193, 3673.}
VIL Le nombre des naissances, eu France, pendant l'année i863, a été de 5i858i pour le sexe masculin, et de 4942 13 pour le sexe féminin. Le nombre des décès a été de 453o75 pour le sexe masculin, et de 439295 pour le sexe féminin. Calculer l'accroissement de la population de la France, d'abord en séparant les sexes: calculer l'accroissement total. (Rép.: 655o6, 54918, 120424.)
VllL Pour ajouter à un nombre la diiïérence de deux autres, il suffit d'ajouter à ce nombre le premier de ceux-ci, et d'en relrancber ensuite le dernier.
IX. Pour soustraire d'un nombre la diiïérence de deux autres, 11 suffit d'ajouter à ce nombre le dernier de ceux-ci, cl d'en retrancijcr ensuiic le })rcniler.
35. DÉFINITIONS. La muUipUcation est une opération qui a pour but, deux nombres étant donnés, de répéter l'un deux, appelé multiplicande , autant de fois qu'il y a d'unités dans l'autre, appelé midliplicateur.
Le résultat se nomme produit; le multiplicande et le multiplicateur sont les facteurs du produit.
Le signe de la muUiplicalion est X. Ainsi 12 X7 exprime le produit de la multiplication de 12 par 7.
Le multiplicande représente toujours une grandeur d'une certaine nature, le multiplicateur est essentiellement abstrait, et le produit mesure toujours une grandeur de même nature que le multiplicande. Ainsi 1.2 mètres répétés 7 fois donnent 84 mètres; 12 heures répétées 7 fois donnent 84 heures. Et le résultat s'obtient par la même règle , quelle que soit la nature de la grandeur représentée par le multiplicande.
La multiplication n'est qu'une addition dans laquelle tous les nombres à ajouter sont égaux. xVinsi multiplier 12 par 7^ c'est additionner 7 nombres égaux chacun à 12. Mais lorsque le multiplicateur est un [)eu considérable, l'addition entraîne^ rait des calculs fort longs; et c'est pour les abréger que l'on donne la règle de la multiplication.
36. Nous distinguerons cinq cas : I" produit de deux nombres d'un seul chilfre; ^'^ produit d'un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul; 3° produit d'un nombre quelconque par l'unité suivie de plusieurs zéros; 4° produit d'u:î nombre quelconque par un chiffre significatif suivi d'un ou de plusieurs zéros; 5" [U'oduit de deux nouibrei; quelconques.
37. Premier CAS. Par exemple, multiplier 7 par 4- D'après la définition, il faut additionner 4 nombres égaux à 7.
Il n'y a pas d'autre règle pour ce cas. Aussi est-il indispensable de savoir par cœur les produits deux à deux des nombres d'un seul cliiffre. Ces produits sont consignés dans une table, dite table de Pgthagore, que l'on construit de la manière suivante:
TABLE de multiplication.
On écrit les 9 premiers nombres sur une première ligne horizontale. On forme la seconde en ajoutant à eux-mêmes les nombres de la première, de sorte que chacun des nouveaux nombres est double de celui qui est au-dessus de lui. On forme la troisième ligne en ajoutant chacun des nombres de la seconde à celui qui lui correspond dans la première, de sorte que chacun des résultats vaut trois fois celui qui est au-dessus de lui dans la première. On continue ainsi à ajouter chacun des nombres de la dernière ligne calculée avec celui qui lui
correspond dans la première, jnsqu'à ce qu'on ait obtenu une ligne contenant 9 fois les nombres de la ligne su[)érieure.
Pour se servir de cette table, ()ar exemple, pour nmlti plier 7 par 4, on prend le inulliplicande 7 dans la ligne supérieure, et l'on descend jusqu'à la ligne (jui commence à gaucbe par le multiplicateur 4. Le produit 28 se trouve dans la case correspondante.
38. Deuxième cas. Par exemple, multiplier 7486 par 4. Répéter 4 fois 7486, c'est additionner 4 nombres égaux à 7486.
