MULTIPLICATEUR, OU LES DEUX FACTEURS
lo Mullii)lier 4200 par 28. Le multiplicande contenant 42 centaines, le |)roduit contiendra 28 fois 42 centaines; on l'obtiendra donc en répétant 28 fois 42, ce qui donne 1176, et en faisant exprimer des centaines au produit, ce qui donne 117600.
2" Multiplier 42 par 2800. Il faut additionner 2800 nombres égaux à 42. Si Ton partage l'opération en 100 additions partielles contenant chacune 28 nombres, on en conclut qu'il faut d'abord multiplier 42 par 28, ce qui donne 1176; puis répéter 100 fois ce résultat, ce qui donne 117600.
30 Multiplier 4200 par 280. Le multiplicande contenant 42 centaines, le produit se compose de 280 fois 42 centaines, ou (2°) de 11760 centaines, ou enfin (1°) de 1176000 unités.
On conclut de là la règle générale suivante \Si des zéros terminent le multiplicande ou le multiplicateur, ou les deux fadeurs^ on les néglige; et après l'opération, on écrit ces zéros à la droite du produit,
A3. Produit de plusieurs facteurs : puissances. Le produit 2X7x4x12x5 est le nombre que Ton obtient en multipliant d'abord 2 par 7, puis le produit par 4, puis le nouveau produit par 12, et enfin ce dernier par 5. Le résultat 336o est le produit des facteurs 2, 7, 4? 12, 5.
Si les facteurs sont égaux à un même nombre, le produit prend le nom de puissance du nombre. Ainsi 7X7 est la 2^ puisï^ance ou le carré de 7; 'jX'jX'j est la 'à" puissance ou le cube de 7; en général, le produit de plusieurs facteurs égaux est une puissance de l'un d eux dont le degré est égal à leur nombre. On indique une {)uissance d'un nombre en plaçint le degré ou Vexposant à la droite et au-dessus du nombre : 7' est la cinquième puissance de 7.
44. Usage de la multiplication. Le principal usage de la multiplication consiste à trouver la \aleur de plusieurs grandeurs égales, quand on ( on naît la valeur de l'une d'elles. Par exemple, un mètre d'étolîe coule i5 francs, 24 mètres de la même étoffe coûteront 24 fois i5 francs : il faudra donc, pour avoir le prix de 24 mètres, multiplier i5 francs par 24; on trouvera 36o fi'ancs.
45. Multiplication dans un système quelconque. Trouver, par exemple, le produit des nombres 4*86 et PyS écrits dans le système duodécimal :
Il faut savoir par cœur les produits deux à deux des onze premiers nombres. H faut, en outre, savoir transformer, sans mettre la plume à la main, un nombre qui ne surpasse pas onze fois onze, et extraire les dou^ zame.s qu'il renferme. La théorie ne diffère pas, d'ailleurs, de celle qui est relative au système décimal.
Dans l'explication qui va suivre, nous écrirons, pour plus de commodité, chaque produit élémentaire dans le système décimal, et nous le transformerons immédiatement dans le nouveau système. On multiplie d'abord 4a86 par 3, en disant : 3 fois 6 font i8, ou i douzaine el 6 unités, ce qui s'écrit i6 dans le système duodécimal ; on pose 6 el on relient i; 3 fois 8 font 24j g'' I font 25, ce qui s'écrit 21; on pose i, et on retient 2 ; 3 fois a font 3o, et 2 font 32, ce qui s'écrit 28 ; on poàe 8, et on relient 2 ; 3 fois 4 font 12^ et 2 font 14, ce qui s'écrit 12 ; on po^^e 2, puis i. On
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multiplie de même 4ao(S pin- 7 et par [3, ce qui donne 5>x?.p6 et 45996; et Ton DJodle les prodniis parliels. Le produit lotnl est 4893176.
§ ïi. PRINCIPES RELATIFS A LA rflULÏlPLlCATION,'
16. Principe i. /.e produit de plusieurs facteurs est indépendant de Vordre des facteurs. Pour démontrer ce théorème, on distingue plusieurs cas.
1° Le produit de deux facteurs ne dépend pas de Vordre des facteurs. Ainsi 7x4=4x7. En etT(.'t,, multiplier 7 par 4? c'est répéter 4 ^o\s le nomJ)re 7, et, pnr suite, c'est répéter 4 fois chacune des unités qui composent 7. C'est donc rendre chacune de ces unités égale à 4*, et comme il y en a 7, le produit renferme 4 répété 7 fois, ou 4x7. Donc 7x4=4x7.
2» Dans un produit de trois facteurs, on peut intervertir Vordre des deux derniers. Ainsi :
En effet, 12x4 exprime 4 douzaines, et, par suite, 1 2X4x3 exprime 3 fois 4 douzaines; mais (i«) 3 fois 4 douzaines valent 4 fois 3 douzaines, ou i2X3x4-Donc i2X4x3m2x3x4-
3° Dans un produit d'un nombre quelconque de facteurs, on peut intervertir Vordre des deux derniers, Ainsi :
En efiet, pour effectuer ces produits, il faut, dans Y un comme dans Tautre cas, multiplier d'abord 3 par 5, puis le résultat par 7; ce qui donne io5. On a donc, dans le premier cas, à multiplier io5 par 2, puis par 8; tandis que, dans le second, on doit multiplier io5 par 8, puis par 2. Et Ton a vu (2°) que ces deux produits sont égaux. Donc, etc.
40 Dans un produit de plusieurs fadeurs, on peut intervertir deux facteurs consécutifs quelconques. Ainsi :
En effet, les 2 produits 3x6x8x5 et 3x6x5x8 sont égaux (3'*); el l'égalité ne cesse pas d'avoir lieu, quand on multiplie chacun d'eux par 2, puis par 7. Donc, etc.
5" Enfin, dans un produit, on peut intervertir (es facteurs d'une manière quelconque. Ainsi :
En effet, dans le premier prodiîit, 3X7X5X2X8x4, o]i peut intervertir 5 et 2, et écrire 3X7X2X5x8x4- On pent , dans ce dernier, intervertir 7 et 2, et écrire 3X2X7X5x8x4- Et Ton peut encore ici intervertir 3 et 2, ce qui donne 2X3X7X5x8x4- Maintenant que 2 est au premier rang-, comme on le voulait, et que 3 se trouve de lui-même au second ranp, on peut amener 4 au troisième, en le permutant successivement, par le même procédé, avec 8, avec 5 et avec 7. Le produit est alors 2X3x4X7X5x8. Enfin, en permutant 7 et 5, on a 2X3x4x5x7X8, c'est àdire le produit des facteurs dans l'ordre désiré. Ce procédé étant évidemment général, le théorème I est démontré.
Al. CoROLLAîRE : PREUVE DE LA MULTIPLICATION. Le premier cas de ce principe montre que. pour l'aire la preuve de la multiplication, on peut prendre le multiplicateur pour multiplicande et le multiplicande pour multiplicateur, et recommencer Topération. Les produits partiels ne seront pas les mêmes; mais on devra retrouver le produit total.
48. Principe ïi. Pour multiplier un nombre par un produit effectué de plusieurs facteurs, on peut le multiplier successivement par chacun d'eux. Par exemple, 60 est égal au produit 4x3x5. Il faut prouver que
Multiplier 49 par 60, c'est additionner 60 nombres égaux à 49. Or on peut partager cette série de nombres en 5 groupes contenant chacun (4x3) nombres; et Ton peut subdiviser chacun de ces groupes en trois groupes renfermant chacun 4 nombres. Chacun de ces derniers groupes équivaut à 49x4 • par suite, chacun des premiers, valant 3 fois plus, équivaut à 49X4x3. Et le total, c'est-à-dire le produit est 5 fois plus grand, et est égal à 49X4x3x5. Ce qu'il fallait prouver.
On peut aussi s'appuyer sur le théorème précédent (46). En
effet, d'après ce théorème, 49x60=160x49. Or le produit 60x49 ne dilîère pas du produit 4x3x5x49 *• car, pour effectuer ce dernier, on niuliiplie 4 P'ir 3, puis le résultat par 5, ce qui donne 60; puis on niulliplie 60 par 49- Oo a donc aussi 49X6o=3x4x5'x495 ou, en intervertissant les facteurs,
49. Conséquences, i" Pour multiplier un produit par un autre, il suffit de faire le produit de tous les facteurs. Ainsi, en convenant qu'un produit entre parentlièses est considéré comme effectué, on a :
(3X7X1 i)X(6X9X4)=^3X7Xi 1x6x9x4.
En effet, d'abord on peut supprimer la seconde parenthèse, et écrire :
(3X7Xii)X(6x9X4)=(3X7Xi 0x6x9x4,
en vertu du principe précédent (48). Puis on peut supprimer la première parenthèse, et écrire :
(3X7Xii)x6x9X4=3X7Xï 1x6x9x4; *
car, pour effectuer Fun ou l'autre de ces produits, il faut commencer par multiplier 3 par 7 et le résultat par 11. La proposition est donc démontrée.
Le même raisonnement prouve que, réciproquement, on peut, dans un produit de facteurs, remplacer quelques-uns d'entre eux par leur produit effectué. Exemple:
3x5X7XiiXi3xi7Xi9==3x5x(7XiiXi3)Xi7Xi9.
2" Pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier l'un des facteurs par ce nombre. Ainsi :
En effet, d'après les principes précédents (48), (46) :
De même (i2X7)x5=i2X(7X5).
En effet(48): (i2X7)x5— i2X7X5=ii2X(7X5).
3" Pour muUipHer une puissance d'un nombre par une autre puissance du même nombre, on ajoute les exposants. Ainsi :
