I2'^XI2'^=I

En effet (48) :

12-^XI2^ = (I2XÏ2XI2XÏ2XI2)X(I2XI2XI2) ^12X12X12X12X1 '^-Xl 2X12X12=1 2*.

40 Pour éler>er à une certaine puissance un produit de plusieurs facteurs, il suffit d'élever chaque facteur à cette puissance el de faire le produit des facteurs.

En effet (48), (46):

(3X7Xi2j'^= (3X7Xi2)x(3X7Xi2)x(3X7Xi2)X(3X7Xi 2) = 3X7X 1 2X3X7X 1 2 x3X7X 1 2X3X7X 1 2 = 3x3x3x3X7X7X7X7X 1 2X 1 2X 1 2X 1 2 = 3'X7'Xi2^

50 Pour élever un nombre à des puissances successives, il suffit de l'élever à une puissance unique dont l'exposant est le produit des exposants des puissances.

En effet (3o) : {fY=fxfxf = rj

50. Principe m. Le nombre des chiffres d'un produit de deux facteurs est égal au nombre des chiffres du multiplicande augmenté du nombre des chiffres du multiplicateur, ou à cette somme diminuée d^une unité.

Prenons, en effet, deux nombres, l'un de 4 chiffres, l'autre de 3 chiffres. Le multiplicande ayant 4 chiffres est plus petit que 10*; le multiplicateur ayant 3 chiffres est plus petit que lo"^; le produit est donc moindre que io*Xio% ou que lo"^ : il a donc au plus 7 chiffres, c'est-à-dire autant que les deux facteurs.

D'un autre côté, le multiplicande ayant quatre chiffres est au moins égal à 10'^ ; le multiplicateur ayant trois chiffres est au moins égal à 10^ : le produit est donc au moins égal à 10^X10% ou à 10^, ou à looooo : il a (!onc au moins 6 chiffras.

30 LiVllE 1. — CHAPiTUE IV.

c'est-à-dire autant qu'il y en a dans les deux facteurs, moins un. C'est ce qu'il fallait démontrer.

On étendra facilement ce théorème au cas de plus de deux facteurs.

EXEUCICES.

I. Effectuer les mullipiicalions suivantes sur des nombres écrils dans le système décimal :

(Rép. : 1649172, 35705-^768, 4'-'-2o82939o4, 687787146808208091,)

H. Effectuer les r.i-.ihiplications suivantes sur des nombres écrits dans le système duodécimal:

(R. : Les produits sont : 9a98oo, 476t)P^iio, 58^9^66771^92, et 5iaa9092 6aiaP768.)

ÎII. Effi'ctuer les muliiplications suivantes sur des nombres écrits dans le système dont la base est sept :

362 6 5o43 35604^5 65ooo432

323 6o35 63oo43 6 4ooo3

(R. : Les produits sont : 2656i6, 556o5323i, 334533r3o53oi, et 62061003411626.)

IV. L'année 1868 aura 366 jours, le jour se compose de 24 heures, riicure de 60 minutes, !a minute de 60 secondes. Combien y aura-t-il de sicoudes dans l'année 1868? (Rép.: 31622400 secondes.)

V. La distance au soleil de l'étoile la plus voisine est 206265 fois la distance de la terre au soleil : cette dernière vaut 23280 fuis le rayon éq'iatorial de la terre, lequel a une longueur égale à 6377398 iiiètrei. Quelle Cbt, en mètres, la dislance de l'éloile au soleil ?

iRép.: 3o6233o348438i6oo mètres.)

VL Une locomotive parcourt 775 mètres en une minute : combien de mètres aura-t-elle parcourus après 3 heure:} 28 minutes? {I\ép.: 161200 mètres )

VII. La lumière met 8 minutes i8 secondes à venir du soleil à la leirc ; elle parcourt 298000 kilomètres par seconde : calculer la distance de la terre au soleil. (R»;p.: 148404000 kilom.)

VIII. Le rayon du soleil vaut log Ibis le rayon de la terre. On sait que les volumes de deux sphères sont entre eux comiiie les cubes de leurs rayons ; et Ton demande combien de fois le vo'.ume du soleil contient celui de la terre. (R.: 129J029 fois.)

IX. Une personne veut distribuer à quelques pauvres une certaine somme d'argent: elle calcule que, si elle donnait 2 francs à cliacuii., il lui resterait 2j francs ; mais que, pour donner à cliacun 3 francs, il lui manquerait i5 francs. Quel est le nombre de pauvres à secourir, et quelle est la somme destinée à cet usage? (R.: 4» pauvres, io5 fr.)

X. Une personne met une pendule en iolerie : en iixant le prix du billet à 5 francs, elle n'obtient pas le prix qu'elle désire; il manque 90 fr. En le fixant à 6 francs, il ne manque plus que 10 francs. Quel est le prix delà pendule''' Quel est le nombre des billets émis?(R.: 490 fi'* > 80 billets.)

XL Une personne achète i3 kilogrammes de café et 12 kilogrammes de sucre ; elle paye pour cet achat 63 francs. Une autre fois, elle achète aux mêmes prix 14 kil. de café et i3 kil. de sucre, et elle paye 63 fr. Quels sont les prix du kil. de café et du kil. de s^cre ? (R.: 3 fr., 2 fr.)

XII. Un père a aujourd'liui 42 ans, et son fils en a 12. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il double de Tàge du fds ? (R.: 18 ans.)

XIII. Un enfant est né le i5 février iBji. Combien a-t-il vécu de jours au i^' mai 1867, sachant que les mois de janvier, mars, mai^ juillet, août, octobre et décembre ont 3i jours, que ceux d'avril, juin, septembre et novembre en ont 3o, et que février^ qui en a 28 ordinairement, en a eu 29 dans les années 18^2, i8j6, 1860 et 1864. (R. : 0918 jours)

XIV. Le carré d'un nombre de plusieurs chiiFres est terminé par le chiffie qui termine le carré de ses unités.

XV. Si deux nombres entiers diffèrent de 2 unités, leur produit est inférieur d'une uuilé au carré du nombre intermédiaire,

XVL Pour multiplier la sonnne de deux nombres par la sonniie de deux autres, il suffit de niuliiplier chacune des parties du multiplicande par chacune des parties du multiplicateur, et d'ajouler les quatre produits.

XVIÎ. Pour multiplier la somme de deux nombies par la diiférence de deux autres, il suffit de multiplier chacune des parties du multiplicande [)ar chacun des iKjuibies du muliiplicateur succe."sivcme;il, et de retrancher

la somme des deux derniers produits de l;i somme des deux premiers.

XVIII. Pour multiplier la différence de deux nombres p;>r la difTérence de deux autres, il sufOl de muhiplier d'abord le premier par le premier et le second par le second d;ins les deux facteurs, puis le premier par le second et le second par le premier, et de retrancher la somme de ces deux derniers produits de la somme des deux premiers.

XiX. Le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence des carrés des deux nombres.

XX. Le produit d'une suite de m nombres dont le premier est 2, et dont chacun surpasse le précédent de 4, est égal au produit d'une autre suile lie m nombres consécutifs croissants, dont le premier est w + i: c'est-à-dire

2 X 6 X loX i4 . . . X (4»n - 6) X (4w— 2) . =(m+i)X(m + 2)X. .-Xlam— i)X2m.

(R.: On vérifie que le théorème est vrai pour m = 2 ou 3 ; puis on prouve que, s'il est vrai pour un nombre n, il est vrai pour n-\- 1.)

Dli LA DIVISION. 33