CHAPITRE V DE LA DIVISION

51. DÉFINITION. La Division est une opération par laquelle, éiant donnés deux nombres, appelés Tun dividende et l'autre diviseur, on cherche un troisième nombre appelé quotient, qui, multiplié par le diviseur, reproduise le dividende.

On indique une division, en séparant les deux nombres par deux points. Ainsi 28:4 exprime le quotient de la division de 28 par 4. Ce quotient est 7; car 4 fois 7 font 28. On peut ainsi regarderie dividende 28 comme un produit dont le diviseur et le quolient sont les facteurs.

52. Usages de la division. La division se présente dans deux sortes de questions : nous le montrerons par des exemples.

1° Sachant que 7 mètres coûtent 28 francs, on demande le prix d'un mètre. Puisque 7 mètres coûtent 28 fr., un mètre coûte 7 fois moins; donc, pour obtenir le prix cherché, il faut partager 28 fr. en 7 parties égales. Or ce partage se fait en divisant 28 par 7 : car, si l'on connaissait le prix du mètre, en le multipliant par 7, on retrouverait le prix des 7 mètres ou 28 fr. Le prix cherché est donc un nombre tel que, multiphé par 7, il donne pour produit 28 : il est donc le quotient de la division de 28 par 7.

La division a donc pour but, dans ce cas, de partager un nombre appelé dividende en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans un autre nombre appelé diviseur. C'est de ce point de vue que viennent les mots dividende, diviseur, division. On remarquera que, dans celle opération, le quotient 4 mesure une grandeur de la même nature que le dividende 28, et que le diviseur 7 est abstrait. Le quotient est donc le multiphcande, él le diviseur est le multiplicateur du produit."

2" Sachant quun mMre coule 7 francs , combien aura-t-on de mètres pour 28 fr. ? Puisqu'un mètre coûte 7 francs, autant de fois 7 francs seront contenus dans 28 fr., autant on aura de mètres pour ce prix. Le nombre de mètres cherché s'obtiendra donc en cherchdini combien de fois 2.S coniieni 7. Or cette recherche se fait en divisant 28 par 7 : car, si l'on connaissait le nombre de mètres cherché, en multipliant 7 fr., prix du mètre, par ce nombre, on obtiendrait le prix total 28 fr. Le nombre que Ton cherche est donc tel que, multipliant 7, il reproduit 28 : il est donc le quotient de 28 par 7.

La division a donc pour but, dans ce cas, de chercher combien de fois un nombre appelé dividende en contient un autre appelé diviseur. C'est de ce point de vue que vient le nom de quotient, donné au résultat de la division. On remarquera que, dans ce second cas, le dividende et le diviseur représentent des grandeurs de même espèce, et que le quotient est abstrait. Le dividende est donc ici le multipKcande, et le diviseur est le multipHcateur du produit.

Pour démontrer la règle de la division, nous raisonnerons sur des nombres abstraits, et nous nous appuierons indifféremment sur l'une ou l'autre des définitions qui précèdent.

53. Quotient entier , reste. Le plus souvent, il n'y a pas de nombre entier qui, multiplié par le diviseur, reproduise le dividende. Par exemple, si l'on a à diviser 38 par 5, le quotient vaut plus de 7, et il ne vaut pas 8. Dans ce cas, on se borne à chercher le plus grand nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende. Ainsi : 38 contient 5 fois 7; et comme 5 fois 7 ne font que 35, on dit qu'il y a un reste 3. Le nombre 5 s'appelle le quotient entier ou la partie entière du quotient.

11 est évident que le dividende se compose du produit du diviseur par le quotient et du reste; et que le reste doit être moindre que le diviseur. Cette égalité s'écrit ainsi :

54. Nombre des chiffres du quotient entier. U est utile, avant de commencer une division, de connaître le nombre J des chiffres que le quotient entier doit avoir. Voici une règle

très-simple pour Toblenir. Soit à diviser 7853265 par 859. Si l'on écrit successivement un zéro, deux zéros, trois zéros à la droite du diviseur, on remarque que le résultat est toujours contenu dans le dividende : donc le dividende vaut plus de mille fois le diviseur, et le quotient entier est au moins 1000. Mais si l'on écrit un quatrième zéro, le résultat surpasse le dividende; donc le dividende ne vaut pas dix mille fois le diviseur, elle quotient entier est inférieur à 10000. Ce quotient a donc 4 chiffres.

Ainsi, on écrit à la droite du diviseur assez de zéros pour que ce nombre devienne supérieur au dividende ; et le nombre de zéros ainsi ajoutés est le nombre des chiffres du quotient entier.

55. Nous distinguerons deux cas dans la division : 1^ le cas où le quotient n'a qu'un chiffre ; 2^ le cas où il en a plusieurs. Dans chacun de ces cas, nous examinerons d'abord le cas où le diviseur n'a qu'un chiffre, puis celui où il en a plusieurs.

56. Premier cas. 1» Le quotient et le diviseur n'ont qu'un chiffre.

Par exemple : diviser 56 par 8. Comme 56 est moindre que 80, le quotient n'a qu'un chiffre, et il n'y a pas de règle pour l'obtenir : il est indispensable de savoir le résultat par cœur. Il est facile d'ailleurs de le trouver dans la table de multiplication, puisqu'elle contient les deux nombres, l'un comme produit, l'autre comme facteur. Le quotient est 7.

On verra de même que /\i, divisé par 5, donne pour quotient 8 et pour reste 2.

57. Premier cas. 2|o Le quotient n'a qu'un chiffre^ le diviseur en a plusieurs. Par exemple : diviser 3749 par 687. Comme 3749 est moindre que 6870, le quotient n'a qu'un chiffre. Le dividende 3749 contient le produit du diviseur 687 par ce chiffre inconnu; et ce produit se compose des produits partiels des 6 centaines, des 8 dizaines et des 7 unités du diviseur par le quotient. Or le produit des 6 centaines par le quotient est un nombre entier de centaines qui ne peut se trouver que dans les 37 centaines du dividende; si donc ces 37 centaines ne contenaient pas autre chose que ce produit, en divisant 37

:]6 LIVKE 1. — CHAPITRE V.

centaines par 6 centaines^ on aurait, le nombre cherctié. Mais ces 37 centaines peuvent renfermer des centaines provenant des deux autres produit et du reste, s'il y en a un. Il en résulte qu'en divisant 37 centaines par 6 centaines, on s'expose à trouver pour quotient un chiffre plus fort que te chiffre cherché, et qu'il devient nécessaire de Vessayer.

On divise donc 37 par 6; le quotient est 6. Pour essayer ce chiffre, on multiplie le diviseur 687 par 6 ; et comme le produit 4122 est supérieur au dividende, on en conclut que 6 est trop fort. On essaye le chiffre inférieur 5, en multipliant 687 par 5 ; et comme le produit 3435 est inférieur au dividende, on en conclut que 5 est le chiffre du quotient. En soustrayant 3435 de 3749, on obtient le reste 3i4. On dispose ordinairement l'opération comme on le voit ci-dessous :

Le raisonnement qui précède, étant général, conduit à la règle pratique suivante :

On divise par le premier chiffre à gauche du diviseur Vensemble des chiffres de même ordre dans le dividende : on multiplie le diviseur par le chiffre obtenu; et si le produit peut se retrancher du dividende, ce chiffre est le quotient cherché. Si la soustraction est impossible, le chiffre est trop fort : on le diminue d'une unité, on recommence l'essai, et l'on continue ainsi, jusqu'à ce qu'on obtienne un produit que l'on puisse retrancher du dividende.

58. Remarques. 1° Lorsque le nombre des chiffres du diviseur est considérable, on peut abréger notablement l'essai du quotient, en le commençant par la gauche. Soit, par exemple, ù diviser 36678259 par 7938594. On divise 36 par 7. Pour essayer le quotient 5, on doit chercher si ion peut retrancher du dividende 5 fois le diviseur. Or 5 fois 7 millions font 35 millions, qui, retranchés de 36 millions, donnent pour reste I million. Après cette soustraction, le dividende se réduit à 1678259. Or 5 fois 9 centaines de mille font 45 centaines de

mille, qui ne peuvent se soustraire de 16 centaines de milie : donc, à fortiori, le produit du diviseur total par 5 ne pourra {)as se soustraire du dividende, et le chiffre 5 est trop fort. Pour essayer 4, on dit : 4 l'ois 7 ndHions donnent 28 millions, qui, soustraits de 36 millions, laissent pour reste 8 millions : le reste total est donc 8678209. Or 4 fois 9 centaines de mille donnent 36 centaines de mille, lesquelles peuvent se retrancher de 86 centaines de mille, et laissent un reste supérieur à 9 centaines de mille. On est dès lors certain que le chiffre 4 n'est pas trop fort; car ce reste, suivi du chiffre 7, sera nécessairement supérieur de plus de 9 dizaines de mille au produit partiel suivant, et les soustractions suivantes seront toutes possibles. On comprend comment ce procédé dispense de calculer le plus grand nombre des produits partiels.

2° Lorsqu'on a trouvé le véritable chiffre du quotient, on multiplie le diviseur par ce chiffre, et Ton retranche le produit du dividende pour obienir le reste. Dans la pratique, on faii. simultanément la multiplication et la soustraction. Ainsi, reprenons rexemj)le précédent :

On dit : 4 fois 4 font 16; de 19 reste 3, et je retiens i : 4 fois 9 font 36, et i donne 37; de 45 reste 8, et je retiens 4 : 4 fois 5 font 20, et 4 font 24 ; de 32 reste 8, et je retiens 3 : 4 fois 8 font 32 , et 3 font 35; de 38 resîe 3, et je retiens 3. Et ainsi de suite. La méthode consiste, on le voit, à ajouter à chaque chiffre du dividende assez de dizaines pour rendre la soustraction possible, et à corriger Terreur en ajoutant le même nombre d'unités au produit partiel suivant; ce qui augmente les deux nombres d'un même nombre,et ne change pas le reste (32). 59. LwHTE DU NOMBRE DES ESSAIS. Lorsqu^ou divise par le premier chiffre à gauche du diviseur le premier ou les i\t\\\ premiers chiffres à gauche du dividende, on obtient un chiffre qui est une limite supérieure du quoiient.Si Ton divise le même dividende partiel par le diviseur partiel augmenté d'une unité, ou obtient wnelmnivÂnférieuredn quotient. Ainsi, soit ta diviser

41678 par 5986. Le quotient de 41 par 5 est 8, limite supérieure; le quotient de 4i par (5+i) ou 6 est 6, limite inférieure. En efîet on divise, dans ce dernier cas, /[i mille, nombre inférieur au dividende 41678, par 6 mille, nombre supérieur au diviseur 6986 : le chiffre trouvé ne peut être qu'inférieur au quotient inconnu. Par conséquent, le quotient cherché vaut au moins 6 et au plus 8. Si donc 8 et 7 sont trop forts, il n'est pas nécessaire d'essayer 6 : on est certain qu'il est le chiffre cherché, et Ton n'a eu que deux essais à faire.

60. Second CAS. \o Le quotient a plusieurs chiffres, et le diviseur nen a quun seul. Par exemple, diviser 58725 par 9.

Comme il faut écrire 4 zéros à la droite du diviseur 9 pour le rendre supérieur au dividende, le quotient a 4 chiffres. Le produit du quotient parle diviseur se compose donc de 4 produits partiels, c'est-à-dire de 9 fois les mille, 9 fois les centaines, 9 fois les dizaines et 9 fois les unités du quotient. Or le premier produit, ou 9 fois les mille du quotient, forme un nombre de mille qui ne peut se trouver que dans les 58 mille du dividende. Et j'ajoute que, si l'on divise 58 par 9, le quotient 6 est le chiffre exact des mille du quotient. En effet, dire que 58 contient 9 fois 6, c'est dire que 58 est compris entre 9 fois 6 et 9 fois 7; il peut être égal à 9 fois 6, mais il est inférieur à 9 fois 7, au moins d'une unité. Par suite 58 mille sont compris entre 9 fois 6 mille et 9 fois 7 mille, et ils diffèrent de ce dernier produit d'un mille au moins. Si donc on ajoute à 58 mille les 725 unités qui complètent le dividende, et qui ne valent pas un mille, le résultat 58725 est toujours inférieur à 9 fois 7 mille, et il devient ou reste nécessairement plus grand que 9 fois 6 mille. Le quotient entier est donc au moins 6 mille, et n'atteint pas 7 mille : le chiffre des mille est donc 6. Ce qu'il fallait démontrer.

Puisque le quotient contient G mille, le produit de ces () mille par le diviseur se compose de 54 mille, lesquels, retranchés des 58 mille du dividende, donnent pour reste 4 mille. Si l'on ajoute à ces 4 mille les 725 unités non employées du dividende, le reste total 47^5 ne contient plus que les trois autres produits partiels. On raisonne donc sur ce reste, comme on a raisonné sur le dividende primitif. Le produit des centaines du quotient par 9 ne peut se trouver que dans les 47 centaines du reste; et, en divisant 47 par 9> on obtient 5, chiffre exact des centaines du quotient. Le produit 9 fois 5 centaines, ou 45 centaines, étant soustrait de 47^5, le reste 225 ne contient plus que les deux derniers produits. En divisant de même 22 par 9, on obtient le chiffre 2, chilîre exact des dizaines du quotient; puis, en retranchant 9 fois 2 dizaines de 225, et en divisant le nouveau reste 45 par 9, on obtient le chiffre exact 5 des unités du quotient. Le quotient cherché est donc 6525; et comme 9 fois 5 font 45, le reste est nul, et la division se fait exactement.

Dans la pratique, on n'écrit pas, après chaque multiplication partielle, le reste total sous le précédent. Ainsi, après avoir retranché 54 mille de 58 mille, on ne place à côté du reste 4 que le chiffre 7 du dividende, seul chiffre nécessaire pour déterminer le second chiffre du quotient. De même, après avoir retranché 45 centaines de 47 centaines, on n'écrit, à côté du reste 2, que le chiffre suivant 2, et ainsi de suite. Cette simphfication est indiquée dans le second des tableaux ci-dessus.

Le raisonnement qui précède, étant général, conduit à la règle suivante : On divise par le diviseur le premier ou les deux premiers chiffres à gauche du dividende, ce qui donne le premier chiffre du quotient; on multiplie le diviseur par ce chiffre^ et Von retranche le produit du dividende partiel. A côté du reste, on abaisse le chiffre suivant du dividende ; on divise ce second dividende partiel par le diviseur, ce qui donne le second chiffre du quotient. On multiplie le diviseur par ce chiffre^ et Von retranche le produit du second dividende partiel. A côté du second reste, on abaisse le chiffre suivant du dividende : on obtient ainsi le troisième dividende partiel, que Von divise par le divi-