LIVRE I

seur, et l'on continue ainsi, jusqu'à ce que Von ait abaissé successivement tous les chiffres du dividende.

61. Second cas. 2° Le quotient et le dlciseur ont plusieurs chiffres. Par exemple, diviser 4888569 par 5876.

Comme il faut écrire trois zéros à la droite du diviseur pour le rendre supérieur au dividende, le quotient a trois chiffres. Le produit du quotient par le diviseur se compose donc de trois produits partiels, savoir : des produits des centaines, des dizaines et des unités du quotient par 0876. Or le produit des centaines du quotient par 5876 est un nombre exact de centaines qui ne peut se trouver que dans les 4^385 centaines du dividende. On est donc amené à diviser 48385 par 5876, pour avoir le chiffre des centaines. J'ajoute que cette division, que Ton sait elTectuer (57), fournit le chiiîre exactement. En effet, soit 8 le clîiïïre qu'elle donne : dire que 8 est le quotient de la division de 48385 par 5876, c'est dire que l'on a :

(le signe ■< voulant dire inférieur ou au [)]uséj^^ai à); et les deux derniers nouibres diffèrent au moins d'une unité. Donc

8 centaines x5876<^ 4^385 centaines <9 centaines X5876;

et les deux derniers nombres difTèrent au moins d'une centaine. Si donc on ajoute à 4^385 centaines les 69 unités qui complètent le dividende, et qui ne valent pas une centaine^ on aura évidemment

8 cen laines X5876 < 4838569 < 9 centaines x 5876 :

ce qui veut dire que ie dividende vaut i)îus de 5876 fois 8 cen-

faines, et ne vauî pas 0876 l'ois 9 centaines; par suite le quotient vaut plus de 8 centaines;, et n'en vaut pas 9. Le chilfre des centaines du quotient est donc 8. C. Q. F. D.

Le chiffre 8 des centaines étant connu, on multiplie ces 8 centaines par le diviseur, ce qui donne 47008 centaines, et Ton retranche ce produit du dividende. Il reste 1877 centaines, qui, jointes aux 69 unités non employées, fournissent un reste total égal à 137769. Ce reste ne contient plus que les deux autres produits. On raisonne donc sur ce reste, pour trouver les dizaines du quotient, comme on a raisonné sur le dividende pour trouver les centaines. On sépare les 13776 dizaines, et l'on divise 18776 par 5876 d'après la règle du n° 57. Le quotient 2 est le chiffre des dizaines. On multiplie ce chiffre par 5876, et l'on retranche le produit, 11752 dizaines, de 13776. Le reste 2024 dizaines, suivi des 9 unités non employées, ne contient plus que le dernier produit. El en divisant (57) ce nombre 20249 P^'^ ^876, on trouve le chilfre des unités 3. Le quotient est donc 828; et il y a un reste 2621.

Ce raisonnement, qui est général, conduit à la règle suivante : On sépare sur la gauclie du dividende un nombre suffisant pour contenir le diviseur au moins une fois, mais moins de dix fois : ce nombre est le premier dividende partiel, et l'ordre de son premier chiffre à droite est l'ordre des plus hautes unités du quotient. On divise, d'après la règle du no 57, le premier dividende partiel par le diviseur, et l'on obtient le premier chiffre à gauche du quotient. On multiplie le diviseur par ce chijfre, et l'on retranche le produit du premier dividende partiel. A côté du reste, on abaisse le chiffre suivant du dividende, ce qui donne le second dividende partiel, et Von divise ce nombre par le diviseur (57), ce qui fournit le second chiffre du quotient. On multiplie le diviseur par ce second chiffre, et Von retranche le produit du second dividende partiel. A côté du reste, on abaisse le chiffre suivant du dividende, et l'on forme ainsi le troisième dividende partiel, sur lequel on opère comme sur les précédents. On continue ainsi, jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les chiffres du dividende.

62. Remarques, i" Dans la pratique , on fait à la fois la mul-

tiplication du diviseur par le chiffre du quotient, et la soustraction, comme nous l'avons expliqué (n» 58), et comme on le voit dans le second tableau (n° 61).

2° Lorsqu'un dividende partiel ne contient pas le diviseur, le quotient ne contient pas d'unités de l'ordre correspondant. On place donc un zéro au quotient, et Ton abaisse immédiatement le chiffre suivant du dividende, pour former le nouveau dividende partiel, et continuer Topération.

3« Si le diviseur est terminé par des zéros, on les supprime; on sépare sur la droite du dividende un nombre de chiffres égal au nombre des zéros supprimés, et Ton divise seulement la partie qui reste à gauche dans le dividende par le diviseur modifié. On obtient ainsi le quotient cherché. Mais, pour avoir le reste complet, on rétablit, à la droite du reste qu'on vient d'obtenir, les chiffres qu'on a supprimés au dividende.

Par exemple, pour diviser 35874 par 600, on divise 358 par

6, ce qui donne 59 pour quotient et 4 pour reste. Le quotient

de la division primitive est 59, et le reste est 474* En effet,

puisque 358, divisé par 6, donne pour quotient 59 et pour reste

4, on a

et 358 et 6 x 60 diffèrent au moins d'une unité. Par suite 6 centaines X 59 < 358 centaines < 6 centaines X 60,

et la différence est d'au moins une centaine. Si donc on ajoute h 358 centaines les 74 unités qui ne valent pas une centaine, on aura

c'est-à-dire que le dividende primitif est compris entre 59 fois et 60 fois le diviseur primitif, ou que le quotient est compris entre 59 et 60 : il est donc 59.

Quant au reste, puisqu'en retranchant 59 fois 6 de 358 , on obtient 4 pour reste , en retranchant 59 fois 6 centaines de 358 centaines , on obtiendra pour reste 4 centaines; et par suite, en retranchant le même produit de 35874 ? on obtiendra 474- Ce qu'il fallait démontrer.