S II. PRINCIPES RELATIFS A LA DIVISION
66. Principe i. Pour diviser un produit de plusieurs fadeurs par l'un deux, il suffit de supprimer ce facteur.
Par exemple^ le quoUent de la division par 12 du produit
8x12x7X9 est 8x7X9.
En effet (46)
Or multiplier par 12 le produit 8X7X9, puis diviser le résultat par 12, c'est faire deux opérations qui se détruisent. Donc le quotient est 8 X 7 X 9.
67. Principe ii. Si, dans un produit , on considère un des fadeurs comme étant lui-même un produit de deux facteurs, pour diviser le produit par lun de ces derniers facteurs, il suffit de le supprimer.
Par exemple, dans le produit 8x 12X7X9, 12 est égal à 4 X 3; pour diviser le produit par 4 il suifll de supprimer ce facteur, et le quotient est 8 x 3 X 7 X 9.
En effet, en appliquant le principe (49, io),
et d'après (66), le quotient de ce dernier produit par 4 est 8x3X7X9-
68. Principe m. Si Von multiplie par un même nombre le dividende et le diviseur d'une division , le quotient de la nouvelle division est le même que le quotient primitif; mais le reste, s'il y en a un , est le produit du reste primitif par le multiplicateur.
Par exemple, en divisant 57 par 6, on a pour quotient 9 et pour reste 3 : il faut prouver qu'en divisant (57x8) par (6xB), on a encore pour quotient 9, mais que le reste est (3 X 8). On a, en effet :
Or, on multiplie ^'] par 8 , en multipliant par 8 les deux parties qui composent ce nombre; donc :
(57X8) = (6X9X8)-f-(3x8), ou (57x8) == (6 X 8 X 9) + (3 X 8).
Cette égalité montre que le nouveau dividende {57 X 8) contient 9 fois le nouveau diviseur (6x8); mais qu'il ne le contient pas Eo fois, puisque Texcès (3x8) est moindre que ce diviseur (6x8). Le quotient est donc 9, et le reste (6x8). C'est ce qu'il fallait démontrer.
69. Principe iv. Vour diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs, il suffit de le diviser successivement par chacun de ces facteurs.
Supposons d'abord que chacune des divisions successives se fasse sans reste. Par exemple: on divise successivement 1080 par 5 , puis le quotient 216 par 6 , puis le quotient 36 par 4 ce qui donne 9 : il faut prouver que 9 est le quotient de la division de 1080 par (5 X 6 x 4)-
En effet, par hypothèse, 1080 =: 5 X 216;
donc (48) 1080 = 5 X 6 X 36.
Or 36 ^ 4 X 9,
donc (48) 1080 = 5x6x4X9;
donc en divisant 1080 par le produit (5x6x4)^ on obtient le quotient 9. Ce qu'il fallait démontrer.
Supposons, en second heu, que certaines divisions laissent des restes. Par exemple: on divise 569 par 4^ piiis le quotient entier 142 par 5, puis le nouveau quotient entier 28 par 3, ce qui donne 9 pour dernier quotient entier. Il faut prouver qu'en divisant 569 par (4x5x3), on aura encore 9 pour
d'où, à fortiori,
puis
donc
quotient entier. En ell'et ;, d'une part, on a, par hypothèse :
Par conséquent , si l'on divise 569 par le produit 4x5x3, le quotient est au moins 9.
D'autre part, 569, divisé par 4^ donnant pour quotient 142 et pour reste un nombre i plus petit que 4, 569, est moindre que 4 X 143. De même 142 est moindre que 5 X 29; et comme la différence est d'une unité au moins, on peut dire que
donc 4 X 143 < 4 X 5 X 29,
et, par suite, 56g < 4 X 5 X 29.
De même 28 est moindre que 3 x 10, et la différence est d une unité au moins; donc 29 ^ 3 x lOj?
donc 4 X 5 X 29 < 4 X 5 X 3 X 10,
donc 569 < 4 X 5 X 3 X 10.
Par conséquent, si l'on divise 569 par le produit 4 X 5 x 3, le quotient est moindre que 10. Ainsi le quotient est au moins 9, et ne vaut pas 10: donc le quotient entier est 9. Ce qu'on voulait prouver.
70. Principe v. Le nombre des chiffres du quotient est toujours égal à l'excès du nombre des chiffres du dividende sur le nombre des chiffres du diviseur y ou à cet excès augmenté d'une unité.
On sait, en effet, que lorsqu'on a séparé sur la gauche du dividende le premier dividende partiel, le chiffre des unités de ce nombre représente des unités de même ordre que le premier chiffre à gauche du quotient ; il y a donc, à droite du premier dividende partiel, autant de chiffres qu'il y en a à droite
48 LIVRE ï.— CHAPITRE V.
du premier chiffre du quotient. Le nombre des chiffres du quotient surpasse donc d'une unité le nombre des chiffres du dividende qui suivent le premier dividende partiel. Par conséquent;, si le premier dividende partiel contient autant de chiffres que le diviseur, le nombre des chiffres du quotient surpasse d'une unité la différence des nombres de chiffres du dividende et du diviseur; et s'il en contient un de ])lus, le nombre des chiffres du quotient est égal à cette différence. G. Q. F. D. Par exemple, dans la division de 7364291 par 378, le premier dividende partiel a autant de chiffres que le diviseur, et en laisse 4 après lui; le nombre des chiffres du quotient est 5 (ou 7 — 3+1). Au contraire, dans la division de 7364291 par 978, le premier dividende partiel a un chiffre de plus que le diviseur, et en laisse 3 après lui. Le nombre des chiffres du quotient est 4 (ou 7 — 3).
71. Principe vi. Pour diviser une puissance d'un nombre par une autre puissance du même nombre^ on soustrait l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende.
Par exemple : 7^ : 7^ = 7*.
En effet, le dividende est le produit de 9 facteurs 7, le diviseur est le produit de 6 facteurs 7; le quotient s'obtient (66) en supprimant ces 6 facteurs ; il est donc le produit de 3 facteurs 7.
§ m. PASSAGE d'un système DE NIHMÉRATION A €N AUTRE.
72. Premier problkml. Un nombre c^A écrit dans le système décimal: on demande de l'écrire dans un a idre système.
Par exemple» écrire le nombre 4874'-^- (base dix) dans le système dont la base esl douze.
le nombre est 24^ 5 a.
Puisque, dans le nouveau système, il faut \x unités d'un ordre pour former une unité de l'ordre supérieur , autant de fois 48742 contiendra 12, autant il y aura d'unités du second ordre. On divise donc 48742
par 12, et l'on trouve 4o(m douzaines et lo unités de reste. Le chiirrc des unités du nombre est donc a. De même, autant de fuis 4061 contiendra 12, autant il y aura d'unités du troisième ordre: on divise donc 4061 par 12, et l'on trouve 338 unités du troisième ordre, et 5 douzaines de reste. Le chiffre des douzaines du nombre est donc 5. En divisant de même 338 par 12, on trouve 28 unités du quatrième ordre, et 2 centaines de reste. Le troisième chiiïre est 2. Enfin, en divisant 28 par 12, on trouve 2 unités du cinquième ordre, et 4 niille de reste. Le quatrième chiffre est 4, et le cinquième est 2. Le nombre cherché est 2425a.
Rf-.GLE. On divise U nombre donné 'par la base du nouveau système, puis le quotient par celte b isc, puis le nouveau quotient par la même base, et Von continue^ jusqu'à ce qu on obtienne un quotient moindre que la base. Les restes successifs qiie Von obtient et le dernier quotient, écrits en allant de droite à gauche, sont les chiffres du nombre cherché.
Les calculs se font dans le système décimal.
73. Second problème. Un nombre est écrit dans un système quelconque : on demande de l'écrire dans le système décimal.
Soit, par exemple, le nombre ci.y/[^2, écrit dans le système duodécimal. Puisque, dans ce système, une unité du 5"»e ordre vaut 12 unités du 4"^i 10 uniiés du 5""" ordre valent 10 fois 12 ou 120 unités du 4"*^. Eu leur ajoutant les 7 unités du 4™^ ordre que renferme le nombre, on a un total de 127 unités du 4*"* ordre (écrites dans le système décimal). De même, puisqu'une unité du 4""^ ordre vaut 12 unités du 3«"ej 127 unités du 4"^* ordre valent 127 fois 12, ou i524 unités du 3™^ ordre ; lesquelles, augmentées des 4 unités de même ordre du nombre, forment un total de 1628 unités du 3m^ordre. De même ces i528 unités du S^e ordre valent i528fois 12 ou i8336 unités du 2me ordre : en ajoutant les 11 douzaines du nombre, on a 18347 unités du 2me ordre. Enfin celles-ci valent 18347 ^^^^ i^» ^^ 220164 unités simples, auxquelles on ajoute les 2 unités du nombre. Le nombre cherché est 220166.
Règle. On multiplie le premier chiffre à gauche du nombre par la base du système dans lequelil est écrit, et on ajoute au produit le chiffre suivant. On multiplie la somme par la base, et Von ajoute au nouveau produit le chiffre suivant. On multiplie la nouvelle somme par la base, et l'on ajoute encore au produit le chiffre suivant du nombre. On continue ainsi^ jusqu'à ce qu'on ait ajouté le dernier chiffre du nombre.
Les calculs se font dans le système décimal.
74. Troisième problème. Un nombre est écrit dans un système quelconque : on demande de récrire dans un autre système.
Par exemple, le nombre 4p3a est écrit dans le système duodécimal : on propose de récrire dans le système dont la base est neuf.
On peut, en appliquant successivement les deux règles précédentes, faire passer d'abord le nombre du système duodécimal dans le système décimal (73), puis le faire passer de ce dernier dans le système dont la base est neuf (7î).
Mais on peut opérer le passage directement, en appliquant l'une quelconque des deux règles.
4Xi3=53, 534-1-^ = 65; 65Xi3 = 866, 866 + 3=870; 70X13 = 12680, 12630 + 11 = 12641;
Dans le premier cas, on divise par la nouvelle base, en opérant dans le système dont la base est douze. Les restes successifs et le nouveau quotient fournissent le nombre 12641.
Dans le second cas, on multiplie par la base du premier système, c'està-dire p^r douze, en opérant dans le nouveau dont la base est neuf: ainsi douze s'écrit i3. Les multiplications et addition^s successives fournissent le même nombre 12641,
EXERCICES
L Effectuer les divisions suivantes sur des nombres éciils dans le syslème décimal :
(Rép. : Les quotients sont : 126, 852, 792 ; et les restes sont : 23, i57, 1257.)
IL Effectuer les divisions suivantes sur des nombres écrits dans le système duodécimal :
1» 3p7a:7P, 2" 489ap.2 : [35 3, 3» 2 7597.28^3 : api a^.
(Rép.: Les quotients sont 1" 60, 2" 4P7, 3" 2a()9, et les restes sont Pia, 2''5i5, 307P830)
IIL Kflecluer les divisions suivantes sur des nombres écrits dans le système dont la bsse est trois:
DE LA DIVISION. Si
(Uép.: Les quotients sont 1° o.i, 2" jîoi, 3" r r i 2, cl les restes sont l'' i o, 2" 200, *>" 11?..)
IV. Écrire, dans le système dont la base est huit, les nombres suivanls qui sont, écrits dans le syslè'ne décimal :
(Rép.: On trouve 5 47, i 4(^11, i 3 6 2 00.)
V. Écrire dans le système décimal les nombres suivants qui sont écrits dans le système dont la base est cinq :
(Rép.: On trouve 097, 55o, 8694.)
VI. Faire passer dans le système dont la base est nmf les nombres suivants, qui sont écrits dans le système dont la base est huit :
(Rép.: On trouve 460, 47 4 5, 355 120 6.)
Vil. La lumière parcourt en 8 minutes 18 secondes la distance de 371 16000 lieues de 4 kilomètres qui sépare le soleil delà terre. Quelle distance parcourt-elle en une seconde ? (R.: 7453o lieues.)
VIII. Une locomotive parcourt, sur un chemin de fer, 5o kilomètres par heure; combien d'années mettrait-elle à atteindre le soleil, en conservant la même vitesse ? (R.: 339 ^"s, i5 jours.)
IX. Deux wagons partent en même temps de deux lieux distants de 640 kilomètres, et vont à la rencontre l'un de l'autre. Le premier parcourt 45 kilomètres par heure, le second n'en parcourt que 35. On demande après combien de temps ils se rencontreront, et quel chemin chacun d'eux aura parcouru ? (R.: 8 heures ; 36o kil. et 280 kil.)
X. Deux wagons parlent de deux villes distantes de 820 kilomètres ; ils vont dans le même sens. L'un a une vitesse de 60 kilomètres h l'heure, l'autre une vitesse de 40 kilomètres. Ce dernier ne part que 3 heures après le premier ; on demande à quelle distance de son point de départ il sera rejoint par l'autre, et quel chemin chacun d'eux aura parcouru? (Rép,: 1280 kil. Le premier aura parcouru 2040 kil.)
XL Une fontaine fournit 4^2 litres d'eau en 3 heures ; une autre en fournit 736 en 8 heures ; une troisième en fournit 927 en 9 heures. Combien mettront-elles de temps, en coulant ensemble, à remplir un réservoir contenant i5368 litres? (R.: 4^ h. 20 m.)
XII. Si la première fontaine était remplacée par un robinet d'égale capacité destiné à vider le réservoir, pendant que les deux autres continueraient
à le remplir, en combien de temps le réservoir serait-il rempli? (Rép.; 3oi h. 20 m.)
XIII. La somme des chiffres, dans un nombre de deux chiffres, est i5 : en renversant les deux chiffres, on forme un nouveau nombre qui surpasse le premier de 27. Quel est le nombre? (R.: 69.)
XIV. Un père propose le problème suivant : ma tille a trois fois l'âge qu'elle avait, lorsque mon fils avait l'âge actuel de ma fille ; et quand ma fille aura l'âge actuel de mon fils, ils auront ensemble 60 ans. Quels sont les âges actuels du fils et de la fille ? (R.: aSansetiS ans.)
XV. Partager iioo fr. entre quatre personnes, de manière que la première ait autant que la seconde et la troisième ensemble, que la seconde ait autant que la troisième et la quatrième ensemble, et que la part de la troisième soit double de celle de la quatrième. (R.; Les parts sont Soofr., 3oo fr., 200 fr., 100 fr.)
XVI. On divise séparément un nombre donné par deux nombres entiers consécutifs. Prouver que, pour que le quotient entier soit le même dans les deux opérations, il faut et il suffit que ce quotient soit plus petit que le reste de la première division.
XVII. Lorsqu'une division se fait sans reste, on peut faire la preuve en divisant le dividende par le quotient ; on trouve pour quotient le diviseur. Lorsqu'il y a un reste, peut-on dire qu'en divisant le dividende par le quotient, on trouvera pour quotient le diviseur, et pour reste le reste primitif?
XVIII. Quand deux nombres entiers sont tous deux pairs ou tous deux impairs, la demi-somme de leurs carrés est la somme de deux carrés.
