I. PRINCIPES SIJB LA DIVISIBILITÉ

76. Principe i. Tout nombre, qui divise séparément les diverses parties d'une somme, divise aussi la somme.

Ex. : 9 divise séparément 36, 54, 72; il doit diviser la somme 36-1- 544- 72. En effet, chacun de ces nombres étant égal à un certain nombre de fois 9, leur somme est, à son tour, un certain nombre de lois 9; elle est donc divisible par 9.

77. Conséquences. II résulte de là i» que tout nombre, qui divise wn autre nombre, divise les multiples de ce dernier. Ainsi 9, divisant 36, divise 3 fois 36. Car 3 fois 36 équivaut à une somme de trois nombres égaux à 36; et 9, divisant chaque partie de la somme, divise la somme.

S* Que tout nombre, divisible par un autre, est divisible par les sous-multiples de ce dernier. Ainsi 36, divisible par 9, est divisible par 3, diviseur de 9. [En effet 3, divisant 9, divise son multiple 36.

78. Principe ii. Tout nombre, qui en divise deux autres, divise leur différence. Ainsi 12 divise 72 et 48: il doit diviser 72 — 48. Car 72 et 48 étant chacun un certain nombre de fois 12, leur différence est aussi un certain nombre de fois 12 : elle est divisible par 12.

On énonce encore ce théorème sous une autre forme, en disant : Tout nombre, qui divise une somme de deux parties et l'une de ces parties, divise l'autre. Plus généralement, tout nombre, qui divise une somme de plusieurs parties et toutes les parties moins une, divise la dernière. Car toutes les parties divisibles peuvent se grouper en un seul nombre, qui est (76) divisible par le diviseur, et l'on retombe sur le cas précédent.

79. Principe m. Si un nombre divise toutes les parties d'une somme, à l'exception d'une seule, il ne divise pas la somme ; et si l'on divise séparément par le diviseur cette dernière partie et la somme totale, les restes des deux divisions sont les mêmes. Ainsi, soit la somme 36 4- 54 4- 81 + 67 ; le nombre 9 divise les trois premières parties; il ne divise pas 67, et le reste de la division de 67 par 9 est 4; il faut prouver qu'en divisant la somme totale par 9, on aura pour reste 4-

En effet, 36, 54 et 81 sont égaux chacun à un certain nombre de fois 9; 67 est égal à un certain nombre de fois 9, augmenté de 4 : donc la somme totale est elle-nième égale à un certain

nombre de t'ois 9, augmenté de 4- Donc cette somme^ divisée par 9, donnera pour reste 4- G. Q. F. D.

80. Corollaire. 11 résulte de là que le reste d\ine division ne change pas, quand on augmente ou quand on diminue le dividende d'un multiple du diviseur.

81. Principe iv. Si deux nombres différents, divisés par le même diviseur, donnent le même reste, leur différence est un multiple du diviseur. Par exemple, 68 et 4i> divisés par 9, donnent pour reste 5 : il faut prouver que leur diflerencc 68 — 41 est divisible par 9.

Le théorème serait évident, si les deux restes étaient nuls; car alors les deux nombres seraient multiples du diviseur, et leur différence (78) le serait également. Or chacun des deux nombres est un multiple du diviseur, augmenté du même nombre 5; et Ton sait (32) que la différence de deux nombres ne change pas, quand on augmente chacun d'eux d'un même nombre. Le théorème est donc démontré.

Réciproquement, si la différence de deux nombres est divisible par un troisième, chacun de ces nombres, divisé par le même diviseur, donne le même reste. Par exemple, /\S — 21 ou 27 est divisible par 9 : il faut prouver que 4^ et 21, divisés séparément par 9, donneront le même reste. En effet, dire que la différence entre 4B et 21 est un multiple de 9, c'est dire que 48 est la somme de 21 et d'un multiple de 9; on ajoute donc à un dividende 21 un multiple du diviseur 9, pour former 48; le reste n'est donc pas changé (80).

82. Principe v. Si l'on divise séparément deux nombres par un même diviseur, le produit des deux nombres, diminué du produit des deux restes, est un multiple de ce diviseur. Par exemple 47^ divisé par 9, donne pour quotient 5 et pour reste 2; 34, divisé par 9, donne pour quotient 3 et pour reste 7; il faut prouver que le produit des deux nombres (47 X 34), diminué du produit des deux restes (2 x 7), est un multiple de 9.

En etî'et, puisque ^7 est un multiple de 9 augmenté de 2, (47 X 34), qui vaut 34 fois plus, est égal à 34 fois le multiple de 9, plus 34 fois 2, c'est-à-dire (77) à un autre multiple de 9 augmenté de (2 x 34) ; et par suite, en divisant (2 x 34)

par 9, on a le même reste (79) qu'en divisant (47 x 34) par 9.

Mais (2X34) = (34X2). Or 34 étant égal à un multiple de 9, augmenté de 7, (34 X 2) est égal à un autre multiple de 9, augmenté de (7 X 2). Et par suite , en divisant (7X2) par 9, on a le même reste qu'en divisant (34 X 2) par 9.

Donc enfin, en divisant par 9 les trois produits (47 X 34), (2X34) et (2X7), on obtient le même reste : donc (81) la différence entre (47 X 34) et (2 x 7) est divisible par 9. Ce qu'il fallait démontrer.