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et par suite

ce qui exige^

Ainsi le nombre des divisions ne peut pas atteindre sept fois la moitié du nombre des chiffres du plus petit des deux nombres.

Exemple : Si le plus petit des deux nombres est 840, comme 2^ = 5ia, et 2^° = 1024, le nombre des divisions est au plus égal à 9. D'après la seconde règle, le nombre des divisions est inférieur à 4 fois 3 ou à 12 ; d'après la dernière, il est inférieur à moitié de 21 ; il est donc au plus égal à 10. Ces deux dernières règles sont plus faciles à appliquer que la première , mais elles donnent des limites plus éloignées.

lOi. Principe iiî. Tout nombre qui divise deux nombres divise leur plus grand commun diviseur, et réciproquement. Soient, en effet, les deux nombres 5832 et 774 (exemple n** J02). On sait que tout nombre qui divise deux nombres divise (98, corollaire) le reste de leur division. Par suite, tout nombre qui divise 5832 et 774 divise le reste 4i4 • divisant 774 et 4i4> il divise le second reste v36o. Il divise par la même raison tous les restes conséculifs ; il divise donc le dernier, qui est le plus grand commun diviseur. C. Q. F. D.

La réciproque est évidente (77), puisque les deux nombres sont multiples de leur plus grand commun diviseur.