QUI NE SONT PAS ENTIERS

dSO. DÉFINITIONS. Lorsqu'une grandeur ne contient pas exactement son unité, il faut, pour la mesurer, partager l'unité en un certain nombre de parties égales; s'il arrive que Tune de ces parties soit exactement contenue dans la grandeur, le nombre qui résulte de la comparaison se nomme nombre fractionnaire ou fraction.

Exemples : trois quarts, cinq septièmes.

Tl peut arriver que, quelque petites que soient les parties égales de Tunité, la comparaison laisse un reste : alors il n'y a pas de commune mesure entre la grandeur et son unité. Nous dirons plus loin comment, dans ce cas, on définit la mesure de la grandeur, qui porte le nom de nombre incommensurable.

106 LIVRE m. — CHAPITRE ï.

451. Définitions. Une fraction ordinaire est la collection de plusieurs parties égales de Tunité. Elle comprend deux termes : le dénominateur qui indique en combien de parties égales Tunité a été partagée, et le numérateur, qui indique combien de ces parties ont été réunies pour former la fraction.

Exemple : On a partagé Tunité en sept parties égales, et Ton en a pris quatre. La fraction est quatre septièmes.

On écrit une fraction en plaçant le dénominateur sous le numérateur, et en les séparant par une barre horizontale. Exemple : }.

On énonce une fraction en nommant d'abord le numérateur, puis le dénominateur dont on fait suivre le nom de la terminaison ième. Exemple : f s'énonce quatre neuvièmes.

Il y a exception pour les dénominateurs 2, 3, 4 ; au lieu d'appeler les parties deuxièmes, troisièmes, quatrièmes, on les nomme demis, tiers, quarts,

152. Remarques. 1» Une fraction peut être considérée comme une grandeur rapportée à une espèce particulière d'unité. Ainsi f indique une grandeur composée de cinq septièmes de l'unité. A ce point de vue, deux fractions sont dites de même espèce, quand elles ont le même dénominateur. Exemples : ^^ i^ ^. Des fractions sont dites d'espèces différentes, quand elles n'ont pas le même dénominateur. Exemple : J, vi-* A-

2° Une fraction est plus petite que Vunilé, quand le numérateur est moindre que le dénominateur. Exemples : |, f, rî ; car la fraction comprend moins de parties qu'il n'en faut pour composer l'unité.

Une fraction est égale à Vunité, quand le numérateur est

égal au dénominateur. Exemples : |, y, {}; car la fraction compte autant de parties qu'il en faut pour composer Tunité.

Une fraction est supérieure à Vunité^ quand le numérateur surpasse le dénominateur. Exemple : ^, f, ^; car la fraction comprend plus de parties qu'il n'en faut pour former l'unité. Dans ce cas, la fraction prend le nom de nombre fractionnaire.

i I. PRINCIPES SUR LES FRACTIONS.

153. Principe i. Une fraction peut être considérée comme le quotient de la division de son numérateur par son dénominateur. Par exemple, f est le quotient de la division de 5 par 9. En effet, si Ton partage une unité en neuf parties égales, le quotient, qui est Tune des parties, est, par définition, un neuvième : donc si Ton partage cinq unités en neuf parties égales, le quotient est cinq neuvièmes, ou g.

Ou bien : si Ton multiplie ^ par 9, le produit est 9 fois 5 neuvièmes, ou (46) 5 fois 9 neuvièmes, ou (152) 5 fois Funité, ou 5 unités. Donc f est un nombre tel que, multiplié par 9, il reproduit 5 : donc il est le quotient de la division de 5 par 9. Ce qu'il fallait démontrer.

Ce dernier raisonnement démontre que : lorsqu'on multiplie une fraction par son dénominateur, on obtient pour produit son numérateur.

15-4. Corollaire. Le théorème précédent permet d'exprimer complètement le quotient de la division de deux nombres entiers. Soit, par exemple, 58 unités à diviser par 6 : le quotient est 9 unités, et il reste 4 unités à partager en 6 parties égales. Or le quotient de 4 par 9 est f . Le quotient complet demandé est donc 9-hf.

Ainsi, on exprime le quotient complet d\ine division, en ajoutant au quotient entier une fraction qui a pour numérateur le reste et pour dénominateur le diviseur.

155. Principe ii. On augmente une fraction en augmentant son numérateur , ou en diminuant son dénominateur.

108 LIVRE m. —CHAPITRE I.

Car, en augmentant le numérateur, on augmente le nombre des parties dont se compose la fraction, sans changer leur grandeur.

En diminuant le dénominateur^ on exprime que chaque partie a une valeur plus grande, puisqu'il en faut moins pour former l'unité ; mais on ne change pas le nombre de celles qui composent la fraction, laquelle devient, par conséquent, plus grande qu'elle n'était.

Il résulte de là qu'on diminue la valeur d'une fraction en diminuant son numérateur ou en augmentant son dénominateur.

156. Principe m. Lorsqu'on ajoute un même nombre aux deux termes d'une fraction^ on augmente la fraction si elle est moindre que Vunité ; on la diminue si elle est plus grande que l'unité.

Soit une fraction J ; elle est moindre que l'unité, et elle en diffère de |. Si l'on ajoute un même nombre, 5, par exemple, k ses deux termes, elle devient J-f; elle reste moindre que l'unité, et elle en diffère de -fj. Or -^ est (155) inférieure à | ; donc la nouvelle fraction {f est plus grande que la première |.

Soit maintenant une fraction ^; elle est plus grande queTunité, et elle la surpasse de |. Si l'on ajoute 5 aux deux termes, elle devient f| ; elle reste supérieure à l'unité, mais elle n'en diffère que de -^ : donc la nouvelle fraction ff est plus petite que la première |.

Ce raisonnement est général; car, quelle que soit la fraction considérée, la différence entre le numérateur et le dénominateur ne change pas (32), puisqu'on ajoute un même nombre aux deux termes ; et, par suite, en comparant séparément les deux fractions avec l'unité, on obtient pour différences deux fractions qui ont le même numérateur.

On peut énoncer les deux parties du théorème, en disant que la fraction, dont on augmente les deux termes d'un même nombre, se rapproche de l'unité.

Il en résulte quune fraction s'éloigne de l'unité, lorsqu'on diminue ses deux termes d'un même nombre.