Principe IV. On multiplie une fraction par un nombre
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en multipliant le numérateur par ce nombre, sans changer le dénominateur.
Car on multiplie ainsi le nombre des parties par ce nombre,
sans en altérer la içrandeur. Ainsi — vaut 4 fois -•
Il en résulte qu'on divise une fraction par un nombre, en divisant (quand cela se peut) le numérateur par ce nombre.
158. Principe v. On divise une fraction par un nombre, en multipliant le dénominateur par ce nombre.
Car si Ton multiplie, par exemple, le dénominateur par 4^ on exprime que les parties qui composent l'unité sont quatre fois plus nombreuses, et, par suite, quatre fois plus petites, tandis qu'on en prend toujours le même nombre pour composer la fraction. Ainsi -2— est 4 fois plus petit que -•
Il résulte de là qu'on multiplie une fraction par un nombre, en divisant (quand cela se peut) le dénominateur par ce nombre.
i59. Principe vi. On ne change pas la valeur d'une fraction, en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre.
Soit la fraction l : si l'on multiplie ses deux termes par 4, on obtient f|, et cette fraction est équivalente à la première. En effet, multiplions successivement par 4 le numérateur, puis L' dénominateur de ^, et comparons les trois fractions
-» » TJ-..
La seconde vaut (157) quatre fois la première, et la troisième est (158) le quart de la seconde. La troisième est donc équivalente à la première. C'est ce qu'il fallait démontrer.
Il en résulte qu'on ne change pas la valeur d'une fraction, en divisant (quand cela se peut) ses deux termes par un même nombre.
160. Fractions irréductibles. Il existe une infinité de fractions égales entre elles, puisqu'il suffit de multiplier les deux termes d'une fraction par un même nombre entier que!-
conque, pour obtenir une fraction équivalente à 'la première.
On nomme fraction irréductible une fraction dont la valeur ne peut pas être exprimée à Taide de termes plus petits.
IGl. Principe VII. Lorsqu'une fraction est irréductible, ses deux termes sont premiers entre eux.
Car si les deux termes avaient un diviseur commun, en les divisant parce nombre (159), on obtiendrait une nouvelle fraction égale à la première, et dont les termes seraient plus simples: la fraction donnée ne serait donc pas irréductible.
d62. Principe viii. Lorsqu'une fraction n'est pasirréductible, ses deux termes sont des multiples par un même nombre des deux termes de la fraction irréductible équivalente.
Soit une fraction IJ qui n'est pas irréductible; comme on ne peut pas diminuer indéfiniment les termes de cette fraction qui doivent rester entiers, il existe une fraction irréductible équivalente. Soit I cette fraction ; on a :
Si l'on multiplie ces deux fractions égales par 36, les produits
3x36 sont 27 pour la première (153), et — - — pour la seconde (157).
On a donc
Or 27 est un nombre entier : donc 4 divise le produit 3x36. Mais 4 est premier avec 3 (161) : donc 4 divise 36, et Ton a
Par conséquent,
Ainsi 27 et 36 sont les produits de 3 et 4 par le même nombre 9 ; ce qu'il fallait démontrer.
163. Corollaires. 1» Une fraction est irréductible^ quand ses deux termes sont premiers entre eux.
2" Si deux fractions irréductibles sont égales, elles ont dés
DES NOMimES FRACTIONNAIRES. IH
termes identiques, car les termes de chacune sont à la fois multiples et diviseurs des termes de l'autre.
30 Pour former toutes les fractions égales à une fraction donnée, on prend la fraction irréductible équivalente à cette fraction, et on en multiplie les deux termes par la série des nombres entiers i, 2, 3,4--'
