Première transformation. Réduire un nombre entier en

fraction d'espèce donnée.

Par exemple : réduire 7 en neuvièmes. Puisqu'une unité vaut 9 neuvièmes^ 7 unités valent 7 fois 9 ou 63 neuvièmes; ce que l'on écrit y.

Règle, — Pour réduire un nombre entier en fraction, on le multiplie par le dénominateur désigné, et Von prend le produit pour numérateur.

Exemples: 8 vaut -^> 17 vaut ^.

465. Seconde transformation. Extraire d'un nombre fractionnaire les unités qu'il renferme.

Soit, par exemple, le nombre ^. Puisqu'il faut 9 neuvièmes pour composer une unité, autant de fois 9 neuvièmes sont contenus dans 37 neuvièmes, autant il y a d'unités dans cette fraclion. Or, 37 contient 4 fois 9, et il reste i. Donc 37 neuvièmes valent 4 unités plus un neuvième, ou %- = 4 S*

Règle. — Pour extraire d''un nombre fractionnaire les unités qu'il renferme, on divise le numérateur par le dénominateur ; le quotient fournit les unités, et le reste devient le numérateur d'une fraction complémentaire à laquelle on donne pour dénominateur le dénominateur de la fraction,

Exemples : -^ =r: 7 -j- -p» — -^ = o -i-—. . i^ i5 49 49

166. Troisième transformation . Réduire une fraction à saplus simple expression, — Pour réduire une fractionà saplus simple

expression, c'est-à-dire pour trouver la fraction irréductible équivalente, on cherche le plus grand commun diviseur des deux term.es; puis on divise les deux termes par ce plus grand commun diviseur, et l'on prend les deux quotients pour termes de la fraction réduite.

Car les deux quotients étant premiers entre eux (105), la nouvelle fraction est irréductible (163) ; elle est d'ailleurs équivalente à la fraction donnée (1 59).

Exemples :

J- = -; le plus grand commun diviseur est 12.

^ = ôî ie plus grand commun diviseur est 288.

Quelquefois, on supprime, à mesure qu'on les rencontre, les facteurs comm>uns aux deux termes, en commençant par les plus petits.

Exemple :

On s'arrête^ lorsqu'on rencontre deux quotients correspondants, premiers entre eux.

467. Quatrième transformation. Transform,er une fraction donnée en fraction d'espèce donnée.

Par exemple : transformer f| en vingt-quatrièmes. On peut d'abord réduire la fraction (166) à sa plus simple expression; elle devient |. Pour qu'une fraction nouvelle soit égale à |, il faut et il suffit (16St) que ses deux termes soient des multiples par un même nombre de 2 et de 3. Or^ 24 vaut 8 fois 3 ; donc le numérateur nouveau doit être égal à 8 fois 2., ou à 16; et la fraction transformée est g-f .

Ce raisonnement est général; il montre que, pour que la transformation réussisse., il faut et il suffit que le dénominateur nouveau soit un multiple du dénominateur de la fraction donnée, préalablement réduite à sa plus simple expression. Et l'on conclut la règle générale suivante ;

DES NOMBRES FRACTfONNAIRES. 113

Pour transformer une fraclion en fraction d'espèce donnée, on réduit la fraclion, s'il y a lieu, à sa plus simple expression : on divise alors le dénominateur que Von veut avoir par le dénominaleur de la fraclion réduite, et l'on multiplie le numérateur par le quotient. Le produit obtenu est le numérateur de la fraclion transformée.

468. Cinquième transformation. Réduire des fractions au même dénominateur.

do Cas de deux fractions. Pour réduire deux fractions au même dénominateur, c'est-à-dire pour obtenir deux fractions équivalentes aux premières^ et ayant un dénominateur commun, on multiplie les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre.

Ainsi, d'après cette règle, les deux fractions

— et ô deviennent : -y. et — r.* 12 8 90 90

Les nouvelles fractions sont équivalentes aux premières, puisqu'on a multiplié les deux termes de chacune par un même nombre : elles ont d'ailleurs le même dénominateur, puisqu'il est le produit des deux dénominateurs primitifs.

"2"* Cas de plusieurs fractions. Pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur, on multiplie les deux termes de chacune par le produit effectué des dénominateurs de toutes les autres.

Les nouvelles fractions, en effet, sont équivalentes aux premières, puisqu'on a multiplié les deux termes de chacune par un même nombre; elles ont d'ailleurs le même dénominateur, puisqu'il est le produit des dénominateurs primitifs.

Exemple : les fractions

9 21 12 lô

deviennent

2X2ixi2Xi5 4x9X12X15 5x9X21x1 5 11x9X21X12 9X2iXi2Xi5' 21x9x12x15' 12x9X21X15' 15x9X21X12'

ou -2^, ^480^ 1417^^ 24948 34020 34020 34020' 34020*

in LIVRE 111.— CHAPITRE 1.

169. Remarque. Lorsqu'on a obtenu un dénominateur commun pour les fractions proposées, on peut en obtenir immédiatement une inflnilé d'autres : il suffit de multiplier par un même nombre entier quelconque les deux termes des fractions nouvelles; car, par cette opération, on ne change pas leurs valeurs, et elles ne cessent pas d'avoir un dénominateur commun. Mais il est souvent possible de donner aux fractions un dénominateur commun plus simple que le produit de leurs dénominateurs ; et il est utile d'obtenir, dans chaque cas, le dénominateur minimum. C'est la question que nous allons traiter.

170. Réduction de plusieurs fractions au plus petit dénominateur commun. Reprenons les fractions

9 21 ' 12* là

Elles sont irréductibles; si elles ne Tétaient pas, on devrait commencer par les réduire à leur plus simple expression.

Dans cet état de choses, pour qu'une fraction soit égale à ;, il faut (162) que son dénominateur soit un multiple de 9 : et de même, pour que d'autres fractions soient égales respectivement à -^i, xïf 45J il faut que leurs dénominateurs soient respectivement multiples de 21, de 12 et de i5. Par conséquent, pour que les nouvelles fractions soient équivalentes aux fractions données, il faut que leur dénominateur commun soit multiple commun à 9, 21, 12 et i5.

D'autre part, celte condition est suffisante; car, si Ton choisit un multiple commun à tous les dénominateurs, par exemple 2^20, on peut transformer (167) chaque fraction en une fraction équivalente, ayant ce multiple commun pour dénominateur.

Ainsi, pour qu'un nombre puisse servir de dénominateur commun, il faut et il suffit qu'il soit multiple commun à tous les dénominateurs. Il suit de là que le plus petit dénominateur commun est le plus petit multiple commun à tous les dénominateurs.

Règle. — Pour réduire des fractions au plus petit dénominateur

commun^ on réduit d'abord les fractions à Icur.phis simple expression, s'il y a lieu ; puis on cherche le plus petit multiple commun aux dénominateurs des fractions réduites : c'est le dénominateur commun. On divise ensuite ce nombre par chacun des dénominateurs, et Von multiplie chaque numérateur par le quotient correspondant. Les produits sont les numérateurs des fractions transformées.

On dispose ordinairement le calcul de la manière suivante :

Fractions i)roposées : -'-•>

Facteurs premiers : 3%

Plus peiit multiple coni:nun :

Uuotienls : 140,

Fractions transformées : -— r-