IV. Réduire au plus petit dénominateur commun les fractions

V. Une lige est partagée en trois parties : la première a 9 mètres; la dernière vaut la prem.ière augmentée de la moitié de la seconde; et la seconde vaut la somme des deux autres. Quelle est la longueur de la lige?

(R. : 72 mètres.)

VI. Une femme porte des oranges au marché : elle vend d'abord la moitié du nombre de ses fruits, pins la moitié d'un. Puis elle vend la moitié de ce qui lui reste, et la moitié d'une orange. Ensuite elle vend la moitié du nouveau reste, plus la moitié d'une orange. Après une quatrième et une cinquième vente, faites dans les mêmes conditions, il ne lui reste rien. Quel était le nombre de ses oranges ?(R. : 3i oranges.)

VII. Un bassin peut être rempli par une première fontaine en 10 heures^ et par une autre en i5 heures. En combien de temps sera-t-il rempli par les deux fonlaines coulant ensemble? (R. : 6 heures.)

VIII. Kn conservant les données précédentes, on suppose qu'un robinet coulant seul viderait le bassin en 5 heures. En combien de temps le bassin supposé plein serait-il vidé, les deux fonlaines et le robinet coulant ensemble? (R. : 3o heures.)

IX. Un renard, poursuivi par un lévrier, a 60 sauts d'avance; il fait 9 sauts pendant que le lévrier n'en fait que 6 ; mais 3 sauts du lévrier valent 7 sauts du renard. Combien le lévrier fera-t-il de sauts, avant d'atteindre le renard? (R. : 72 sauts.)

X. Un réservoir plein d'eau peut être vidé par deux robinets d'inégales grandeurs. On ouvre le premier robinet, et l'on fait couler le quart de l'eau. Puis on ouvre le second, et on les laisse couler tous les doux. Le

DES NOMBRES FRACTIONNAIRES. i23

réservoir achève de se vider ; il emploie pour cela ^ d'heure de plus que le premier n'a mis de temps pour vider le quart de Peau. Si Ton eut ouvert les deux robinets dès le commencement, le réservoir eût élé vidé un quart d'heure plus lût . Combien de temps faudrait-il au premier robinet, s'il était seul ouvert, pour vider le réservoir? (R. : 4 heures.)

XI. Une balle élastique, abandonnée à l'action de la pesanteur, sans vitesse initiale, rebondit à une hauteur égale aux 7 de la hauteur dont elle est tombée; après avoir rebondi 4 lois, elle s'élève à la hauteur de 75 mètres. De quelle hauteur est-elle tombée primitivement ? (R. : 388m ^.)

XII. Trois ouvriers, A, B,C, se présentent pour exécuter un ouvrage : associés deux à deux, A et B le feraient en 12 jours, A et G en 16 jours, et B et C en 24 jours. On demande combien de temps ils eniploieront en travaillant tous les trois, et combien chacun d'eux mettrait de temps , en travaillant seul, pour exécuter l'ouvrage? (R. •• Les trois ouvriers mettraient 10 jours 3 j A mettrait seul 19 jours {, B 82 jours, C 96 jours.)

XIII. Deux mortiers lancent des bombes sur une ville assiégée. Le premier en a lancé 36, avant que le second ait commencé son feu, et il en envoie 8 dans le même temps que le second en envoie 7; mais le second dépense en 3 coups la même quantité de poudre que le premier en 4 coups. On demande combien de bombes doit lancer le second mortier pour dépenser la même quantité de poudre que le premier. (K. : 189 bombes.)

XIV. Dans le trajet d'une voiture, on a remarqué que la roue de devant, dont la circonférence est de 5 pieds |, a fait 2000 tours de plus que la roue de derrière, dont la circonférence est de 7 pieds g. Quelle est, en pieds, la longueur du chemin parcouru? (R. : 89900 pieds.)

XV. Les deux aiguilles d'une montre marquent midi; quand se rencontreront-elles pour la première fois; combien de fois, et à quelles heures se rencontreront-elles dans les 12 heures suivantes? (R. : Elles se rencontreront 11 fois, à 1^ 5"' —^y à 2'' io"i ~, et ainsi de suite, à des intervalles égaux.)

XVI. Un maîireadeux journaliers qu'il paie au même prix : il donne à l'un, pour 56 jours de travail, 4 boisseaux de blé et 56 francs; il donne à l'autre, pour 84 jours, 7 boisseaux ^ et 69 francs. A combien estime-t-il le boisseau de blé? (R. : 10 francs.)

XVII. Trouver une fraction dont la valeur se réduit à t si l'on diminue les deux termes de 3 unités, mais devient J sil'on ajoute 5 aux deux termes.

124 LIVRE m. — CHAPITRE I.

XVIII. Si deux fractions sont irréductibles, leur somme ne peut être un nombre entier si elles n'ont pas le même dénominateur.

XIX. Si trois fractions sont irréductibles, leur somme ne peut être un nombre entier, si chacun des dénominateurs n'est pas diviseur du produit des deux autres. (On s'appuie sur la théorie des nombres premiers.)

XX. Prouver qu'aucun nombre entier, mis à la place de la lettre x, ne