Énoncer un nombre décimal écrit. Soil le nombre

On devrait, d'après ce qui pn'icède, énoncer successivement chaque chiffre décimal, en lui donnant le nom de Tordre décimal qu'il représente, et dire : 28 unités, 6 dixièmes, 7 centièmes, 2 millièmes, 3 dix-millièmes, etc. Mais on peut, comme dans le cas des nombres entiers, grouper 1(,'S chiffres trois p;ir trois, à partir de la virgule. En effet, i dixième valant 10 centièmes, 6 dixièmes valent 60 centièmes; et, par suite, 6 dixièmes et ycentièmes valent 67 centièmes. De même, i centième valant 10 millièmes, 67 centièmes valent 670 millièmes; et, par suite, 67 centièmes et 2 millièmes valent 672 millièmes. On verra de même que 3 dix-millièmes, 4 cent-millièmes et 5 millionièmes valent 345 millionièmes. Le nombre donné peut donc s'énoncer 28 unités, 672 millièmes, 345 millionièmes, 8 dix-miUionièmes.

Ce raisonnement est général, et conduit à la règle suivante : Pour énoncer tm nombre décimal écrit, on partage la partie décimale en tranches de trois chiffres, à partir de la virgule, en allant de gauche à droite; on énonce la partie entière, comme Von sait; et, à la suite, on énonce succemvement chaque tranche décimale comme un nombre de trois chiffres entiers, en donnant à la première le nom de millièmes^ à la seconde le nom de millionièmes, etc., à la dernière le nom de V ordre de son dernier chiffre.

Le même raisonnement prouve que Von peut énoncer séparément la partie entière et la partie décimale comme deux nombres entiers, en donnant à la seconde le nom de l'ordre de son dernier chiffre, et dire 28 unités, 6723458 dix-millionièmes.

On peut enfin énoncer ensemble les deux parties comme un seul nombre entier, en donnant encore au résultat le nom de l'ordre du dernier chiffre décimal; et dire 286723458 dixmillionièmes.

188. Écrire un nombre décimal énoncé. Si le nombre est énoncé par classes de trois ordres, on écrit chaque classe à son rang, comme si elle était seule, en remplaçant par des zéros les

ordres qui manquent. Ainsi 3 unités, 29 millièmes, 4^0 millionièmes, 6 cent-millionièmes, s'écrit 3,02940006.

Si le nombre est énoncé comme un nombre entier, on Vécril comme on écrit un nombre entier ; et l'on place la virgule de manière à faire exprimer au dernier chiffre à droite l'ordre d'unités qu'il doit représenter. Ainsi 3548 millièmes s'écrit 3,548. De même 38 cent-millièmes s'écrit o,oo()38.

189. Écrire un nombre décimal sous forme de fraction ORDINAIRE. On supprime la virgule, et on donne pour dénominateur au nombre entier que Von obtient l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y avait de chiffres décimaux. Ainsi, 3,48 s'écrit

— ^ ; car il \aut (187) 348 centièmes. De même o,oo38 s'écrit

lOOOO

490. Principe i. On n'altère pas une fraction décimale en écrivant ou en supprimant des zéros à sa droite.

Ainsi les fractions 3,84 ^^ 3,84oo sont équivalentes : car elles renferment le même nombre d'unités, le même nombre de dixièmes, le même nombre de centièmes.

191. Principe 11. Lorsque, dans un nombre décimal y on avance la virgule d'un, de deux, de trois... rangs vers la droite, on multiplie le nombre par 10, par 100, par 1000. . .

Considérons, en effet, la fraction 3,7892, et avançons la virgule d'un rang vers la droite; ce qui donne 37,892. Chaque chiffre, dans le nouveau nombre, a uue valeur relative dix fois plus grande : le 2 exprime des millièmes au lieu d'exprimer des dix-millièmes; le 9, des centièmes au lieu de millièmes, efainsi de suite. Ce nombre a donc une valeur 10 fois plus grande que le premier.

On prouve de même, que les nombres 378,92 et 3789.2 valent, l'un 100 fois, l'autre 1000 fois le nombre primitif.

Il résulte de là qu'en reculant la virgule d'un, de deux, de trois rangs vers la gauche, on divise le nombre par 10, par ioo, par 1000.

Remarque. Supprimer la virgule dans un nombre décimal, c'est la reporter après son dernier chiffre adroite : c'est donc

DES NOMBRES DECIMAUX. 129

miilliplier le nombre par lo; par loo ou par looo, selon que ce nombre contient un, ou deux, ou trois chiffres décimaux. Si, par exemple, dans le nombre 53,478, on supprime la virgule, et qu'on écrive 53478, le nombre exprime des unités, au lieu d'exprimer des millièmes; il est 1000 fois plus grand que le premier.

192. Princu»e ni. Bans un nombre décimal, une unité décimale d'un certain ordre est toujours plus grande que le nombre formé par l'ensemble des chiffres qui la suivent.

Soit, par exemple, le nombre 3,87925673 ; il s'agit de

montrer que Fensemble des chiffres, quels qu'ils soient, qui suivent le chiffre des milUèmes 9, ne vaut pas i millième. Et, en effet, supposons que ces chiffres aient leur plus grande valeur absolue, et soient tous des 9, et évaluons leur somme. Le premier chiffre exprime 9 dix-millièmes ; il manque i dixmillième ou 10 cent-millièmes pour former i millième. Le chiffre suivant exprime 9 cent-millièmes; il manque donc encore i cent-milhème ou lomilhonièmes, pour que la somme forme i millième. Le chiffre suivant n'ajoute à la somme que 9 millionièmes. En continuant ainsi, on voit que l'on n'ajoute jamais à la somme déjà formée que les j\ de ce qu'il faudrait lui ajouter pour compléter le millième : la somme, quelque loin qu'on la prolonge, ne vaudra donc jamais i millième. C'est ce qu'il fallait démontrer,

193. Corollaire. Il résulte de \h, que deux fractions décimales ne peuvent représenter le même nombre que si elles sont identiques. Car si, à partir d'un certain ordre, les chiffres de même rang venaient à différer, ne fût-ce que d'une unité, cette différence ne pourrait être détruite par une différence, en sens contraire , entre les chiffres suivants.

On voit encore que, si, dans un nombre décimal, on supprime tous les chiffres qui suivent un certain ordre, Terreur que Von commet est moindre qu'une unité du dernier ordre conservé. Par exemple, si, dans le nombre 3,782965. . . on supprime tous les chiffres qui suivent 2, et que l'on écrive 3,782, on commet une erreur par défaut^ moindre qu'un millième; car tous les chiffres supprimés ne valent pas un millième.

Si, après avoir supprimé ces chiiîres, on augmente d'une unité le dernier chiffre conservé, et qu'on écrive 3,783, on fait une erreur par excès, qui est aussi moindre qu'un millième. Car, d'une part, on ajoute i millième^ et de l'autre on retranche un nombre plus petit qu'un millième. Le résultat est donc plus grand que le nombre donné; mais il n'en diflère pas d'un millième.

D'ailleurs le premier des chiffres supprimés étant 9 dix-miliièmes, l'erreur par défaut vaut plus de 9 dix-millièmes, tandis que l'erreur par excès ne vaut pas i dix-millième. Par conséquent, le nombre 3,783 est plus approché que 3,782, du nombre exact 3,782960