II. OPÉRATIONS SLR LES NOMBRES DÉCIMAUX

194. Addition. On place les nombres à additionner les uns sous les autres, de manière que les unités de même ordre se correspondent; alors les "virgules se correspondent aussi. Puis. en commençant par la droite, on ajoute les chiffres situés dans la même colonne verticale, absolument comme si les nombres étaient entiers, et on reporte les retenues à la colonne suivante: enfin on place la virgule au résultat sous les virgules des différents nombres.

La démonstration de cette règle ne diffère pas de celle qui a été donnée dans le cas des nombres entiers.

Exemple : additionner 37,4 ; 8,47 ', 0,786 ; et 2.

195. Soustraction. On place le peut nombre sous le grand, de manière que les unités de même ordre se correspondent, en atjant soin de compléter par des zéros (190) le nombre supérieur, s'il renferme moins de chiffres décimaux que le nombre à soustraire. Puis on fait l'opération en commençant par la droite,

DES NOMBUES DÉCIMAUX. 4 31

comme si les nombres étaient entiers, et Von place la virgule au résultat sous les virgules des deux nombres.

La démonstration de cette règle ne diffère pas de celle qui a été donnée dans le cas des nombres entiers.

Exemple : de 48,92, soustraire 7^928.

196. Multiplication. La multiplication des nombres décimaux se définit comme celle des fractions ordinaires. Elle comprend deux cas, celui où le multiplicateur est entier, et celui où il est fractionnaire.

Premier cas : le multiplicateur est entier. Soit, par exemple, à multiplier 3,547 P^'^ ^^' ^^ multiplicande se compose de 3547 millièmes, et il s'agit de répéter 86 fois ce nombre de millièmes. Or, la règle de la multiplication est indépendante de la nature de la grandeur qu'exprime le multiplicande (35): il faut donc multiplier 3547 par 86, sans faire attention à l'espèce des unités ; et comme le produit doit exprimer une grandeur de même nature que le multiplicande, on doit lui faire exprimer des millièmes, c'est-à-dire séparer trois cbiffres décimaux sur la droite.

Ce raisonnement conduit à la règle suivante: On multiplie les deux nombres l'un par Vautre, comme si le multiplicande était entier, et Von sépare sur la droite du produit autant de chiffres décimaux qu'il yen a au multiplicande.

197. Second cas: le multiplicateur est décimal. Soit, par ex^împle, à multiplier 48;734 par 3,29. Comme le niulliplicateur se compose de 329 centièmes, le produit est les 329 centièmes du multiplicande. Pour Tobtenir, il faut donc prendre

132 LIVRE ni. — CHAPIÏKE II.

rrabord le centième du mulliplicande, ce qui se fait (191) en reculant la virgule de deux rangs vers la gauche, et donne 0,4^^34 ; il faut ensuite multiplier ce centième par 829, ce qui nous ramène au cas précédent. En supprimant ainsi la virgule au multiplicateur, elen la reculant au multiplicande d'autant de rangs qu'il y avait de chiffres décimaux dans le multiplicateur, on ne change pas le nombre total des chiffres décimaux des deux facteurs.

On conclut de ce raisonnement la règle générale suivante : On opère la muUiplication comme si les nombres étaient entiers, et Von sépare sur la droite du produit autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans les deux facteurs,

198. Remarques. 1° S'il arrivait que le produit obtenu ne contînt pas assez de chiffres pour permettre d'appliquer la règle précédente, on placerait des zéros sur la gauche, en nombre suffisant pour le compléter.

Exemple: multiplier 0,027 P^"^' ^?^7-

Le produit de 27 par 7;est 189 : or, d'après le raisonnement (197), ce produit doit représenter des cent-milhèmes ; il doit donc compter cinq chiffres décimaux, et, par suite, s'écrire 0,00189.

2» On aurait pu déduire la règle générale de la règle relative à la multiplication des fractions ordinaires. Convertissant, en effet, les deux facteurs en fractions ordinaires, et appliquant la règle (176), on a évidemment :

48,734 X 3.,c, ^ 48734 ^ feg ^ 48734 x:h9 ^ . 6033486

ce qui démontre la règle.

199. Division. La division des nombres décimaux se définit comme celle des fractions ou celle des nombres entiers. Elle comprend deux cas : celui où le diviseur est entier, et celui où le diviseur est décimal.

Premier cas : le diviseur est entier. Soit, par exemple, à diviser 37,57 par 58. Le dividende se compose de 3757 centièmes, et il s'agit de partager ce nombre de centièmes en 58 parties égales. Or la règle de la division est indépendante de la nature de la grandeur que l'on divise; mais le quotient exprime des unités de même espèce que le dividende. Il faut donc diviser 3757 par 58, et faire exprimer des centièmes au quotient.

1" CALCUL. 2e CALCUL.

Le quotient est 64, et le reste 4^ : ce qui veut dire que 3757 unités valent 58 fois 64 unités +4^ unités : par suite 3757 centièmes valent 58 fois 64 centièmes, -1-45 centièmes. Le quotient est donc 0,64 et le reste o,45.

Règle. — Onopèrela division, comme si le dividende était entier, et Von sépare sur la droite du quotient autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans le dividende.

200. Remarque. On modifie légèrement cette règle dans la pratique :

On divise d'abord la partie entière du dividende par le diviseur , ce qui donne la partie entière du quotient ; puis abaissant successivement, à droite des restes^ les chiffres décimaux du dividende, on divise les dividendes partiels ainsi obtenus par le diviseur, ce qui donne les chiffres décimaux du quotient, comme on le voit dans le second calcul.

Car le quotient renfermant autant de chiffres décimaux que

134 LIVRE m. — CHAPITRE H.

le dividende, chaque dividende partiel exprime des unités de même ordre que le chiffre du quotient qu'il fournit. Quant au resle, il exprime des unités de même ordre que le quotient obtenu.

Après avoir obtenu pour quotient 0,64, on a encore o,45 à partager en 58 panties égales. La partie complémentaire du quotient serait donc i| de centième ; et par conséquent, en la négligeant, on commet une erreur moindre qu'un centième.

201. Valeur approchée du quotieîst. Si Ton veut obtenir en fraction décimale une valeur plus approchée du quotient, on remarque que 40 centièmes équivalent à 4^0 millièmes, et que 4^0 millièmes, divisés par 58, donnent 7 millièmes pour quotient et 44 millièmes pour reste. De même 44 millièmes équivalent à 44o dix-millièmes, et 44^ dix-millièmes, divisés par 58, donnent 7 dix-millièmes pour quotient et 34 dixmillièmes pour reste. Et ainsi de suite.

Ainsi, dans le cas où, après avoir épuisé tous les chiffres du dividende^ la division laisse un reste, on écrit un zéro à la droite de ce reste^ et Von divise le résultat par le diviseur y ce qui donne un nouveau chiffre du quotient On écrit un nouveau zéro à la droite du nouveau reste ; on divise le résultat par le diviseur ^ et Von obtioit un nouveau chiffre du quotient. Lorsqu'on s^ arrête après un certain nombre d'opérations, l'erreur commise au quotient est moindre quune unité de Vordre de son dernier chiffre.

On peut donc obtenir ainsi, ou la valeur exacte du quotient (si l'on arrive à un reste nul), ou une valeur aussi approchée qu'on le désire.

202. Avant de passer au second cas, où le diviseur est décimal, nous avons besoin de généraliser un principe déjà dé-

montré pour les nombres entiers. Ce principe est le suivant: On n'altère pas le quotient complet d\ine division, en multipliant le dividende et le diviseur par un même nombre.

Le dividende est, en effet, par définition, le produit du diviseur par le quotient. Multiplier le dividende par le nombre choisi, c'est donc mulliplier par ce nombre le produit du diviseur par le quotient ; or ce produit de trois facteurs s'obtient (183) en multipliant par le quotient le produit du diviseur par le nombre. Donc le produit du dividende par le nombre est égal au produit de deux facteurs, dont Tun est le produit du diviseur par le nombre, et dont Tautre est le quotient : en d'autres termes, en divisant le produit du dividende et du nombre par le produit du diviseur et du nombre, on obtient le quotient qu'on avait obtenu en divisant le dividende par le diviseur. Ce qu'il fallrit démontrer.

203. Second cas : le diviseur est décimal. V Si le dividende contient plus de chiffres décimaux que le diviseur, on supprime la virgule au diviseur, et on l'avance au dividende, vers la droite, d'autant de rangs qu'il y avait de chiffres décimaux au diviseur. On multiplie ainsi le dividende et le diviseur par un même nombre ; et l'on ne change pas la valeur du quotient (202). Oîi a alors à diviser un nombre décimal par un nombre entier : on applique, en conséquence, la règle du premier cas (200).

2o Si le dividende et le diviseur contiennent le même nombre de chiffres décimaux, on supprime les deux virgules, ce qui n'altère pas le quotient (202); puîs on opère la division d'après la règle des nombres entiers. On la continue d'après la règle (201).

3° Si le dividende contient moins de chiffres décimaux que le diviseur, on écrit, à la droite du dividende, assez de zéros pour que le nombre des chiffres décimaux soit le même départ et d'autre; puis on supprime les virgules, et l'on applic[ue la règle (2o).

En résumé, on voit que, dans chaque cas, on s'arrange pour que le diviseur soit entier, et qu'il ne soit pas terminé par des zéros.

Exemples : Soieni à diviser i" 3^5672 par 2.47; 2" 72,436 par 3,729; 3° 0,4 par 2,536,

Dans le premier exemple, on a supprimé la virgule au diviseur, on l'a avancée de deux rangs au dividende : puis on a fait la division, et, après avoir obtenu les centièmes, on a poussé l'opération jusqu'aux dix-millièmes. Le quotient approché est de 1,4442, et l'erreur est moindre qu'un dix-millième.

Dans le second exemple, on a simplement supprimé les virgules, opération qui a multiplié les deux nombres par 1000^ et n'a pas altéré le quotient. Puis on a fait la division, qui a donné 19, et on a }>oussé l'approximation jusqu'aux centièmes. Le quotient approché est 19,42, et l'erreur est moindre qu'un centième.

Dans le dernier exemple, on a écrit deux zéros à la droite du dividende 0,4, afin que le nombre des chiffres décimaux fût porté à trois comme dans le diviseur. Puis on a supprimé les virgules et effectué la division. Le quotient ne renfermant pas d'unités, on a procédé immédiatement à l'approximation. On a trouvé G, 157 pour quotient approché. L'erreur est moindre que un millième.

204. Remarque. On aurait pu déduire les règles précédentes de la règle générale relative à la division des fractions ordinaires (181). Mais le raisonnement direct nous a paru préférable.

205. DÉTERMINATION d'UN QUOTIENT A UNE APPROXIMATION DON- NÉE EN DÉCIMALES. La règle générale de la division permet de calculer une valeur approchée du quotient à une appioxima- Won donnée d'avance en décimales. Veut-on, en effet, obtenir

DES NOMBRES DÉCIMAUX. i37

un quotient à moins d'un millième près, on effectue la division, et Ton pousse le calcul jusqu'à ce qu'on ait obtenu au quotient le chilTre des millièmes : alors on s'arrête, car on sait (201) que l'erreur commise sur le quotient ne vaut pas un millième.

§ m. CONVERSION DES FRACTIONS ORDINAIRES EN FRACTIONS