DÉCIMALES

206. DÉFINITION. Convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, c'est former, quand cela est possible, une fraction décimale équivalente à la fraction ordinaire : c'est, dans tous les cas, déterminer le plus grand nombre de dixièmes, de centièmes, de millièmes..., contenus dans la fraction donnée.

Il n'existe pas toujours une fraction décimale équivalente à une fraction ordinaire donnée : certaines conditions sont pour cela nécessaires ; elles sont exprimées dans le théorème suivant.

207. Théorème i. Pour qu'une fraction ordinaire irréductible se convertisse exactement en fraction décimale^ c'està-dire pour qu'il existe une fraction décimale équivalente à la fraction ordinaire, il faut et il suffit que le dénominateur de la fraction ordinaire ne contienne pas d'autres facteurs premiers que 1 et 5.

r Cette condition est nécessaire. Supposons, en effet, qu'une fraction irréductible soit équivalente à une fraction décimale, par exemple à 0,629, et, par suite, à ^^ fraction ordinaire x^^\ puisqu'elle est irréductible, son dénominateur (162) est un diviseur de 1000, et ne peut par suite renfermer d'autres facteurs premiers (127) que ceux de 1000. Or 1000, et, en général, une puissance quelconque de 10, est un produit de facteurs 2 et de facteurs 5 : donc le dénominateur de la fraction irréductible ne saurait en contenir d'autres.

2o La condition est suffisante. Considérons, en effet, une fraction ^ qui la remplit, et mettons en évidence les facteurs

138 LIVRE nr. —CHAPlTiJE M.

premiers qui composent son dénominateur :

On peut, sans altérer la valeur de la fraction, multiplier (1 59) ses deux termes par un même nombre, et choisir pour multiplicateur 5% c'est-à-dire celui des deux facteurs du dénominateur dont l'exposant est le plus faible, en Taffeclant d'un exposant égal à la différence des exposants. On a ainsi :

80 9J X 5 "" 2^ X 5* 10* loooo '

et cette fraction est évidemment de forme décimale. C'est ce qu'il fallait démontrer.

208. Ce procédé, pour convertir en fraction décimale une fraction qui remplit les conditions de possibilité, n'est pas la méthode ordinaire; mais il montre clairement que le nombre des chiffres décimaux de la fraction transformée ne peut surpasser le plus grand des deux exposants des facteurs 2 et 5 dans le dénominateur.

On peut prouver d'ailleurs que ce nombre ne saurait être moindre que ce plus grand ex[>osant. Pour qu'il fût moindre, en effet, il faudrait que le numérateur 7 X 5^ fût terminé par un zéro, c'est-à-dire fût divisible par 2 et par 5 ; il faudrait donc que le numérateur primitif 7 fût divisible par 2, ce qui est impossible, puisque -^ est irréductible.

On peut donc énoncer ce second théorème :

Théorème 11. Lorsqu'une fraction ordinaire irréductible se convertit exactement en fraction décimale, le nombre des chiffres décimaux de la fraction transformée est égal au plus grand des exposants dont sont affectés les facteurs premiers 2 et 5 dans le dénominateur.

209. Problème i. Convertir une fraction ordinaire en fraction décimale. Soit d'abord la fraction ordinaire | dont le dénominateur remplit les conditions de possibilité. Pour opérer la conversion, on remarque que l est le quotient de la division du numérateur 7 p;\r le dénomiiiatcur 8 : on est donc

amené à évaluer ce quotient en décimales (505). Or 7 unités valent 70 dixièmes ; et 70 dixièmes, divisés par 8, donnent 8 dixièmes pour quotient, et 6 dixièmes pour reste. De même, 6 dixièmes valent 60 centièmes ; et 60 centièmes, divisés par 8, donnent 7 centièmes pour quotient, et 4 centièmes pour reste. Puis 4 centièmes valent 40 millièmes; et 40 millièmes^ divisés par 8, donnent pour quotient exact 5 millièmes. On a donc:

Soit, en second lieu, la fraction f-f dont le dénominateur ne remplit pas les conditions du théorème i : la conversion est impossible, et la question consiste, dans ce cas, à

trouver le plus grand nombre de dixièmes, de centièmes, de millièmes, etc., contenus dans la fraction. Or, si Ton raisonne comme dans l'exemple précédent, on trouve pour premier chiffre 7 dixièmes; de sorte que la fraction |y contient 7 dixièmes plus |4 de dixièmes. Si Ton ne pousse pas plus loin le calcul, 0,7 est le plus grand nombre de dixièmes contenu dans la fraction. Si Ton poursuit le calcul, on trouve pour second chiffre 2 centièmes, de sorte que |-y contient 72 centièmes plus l'f de centièmes; et si Ton s'arrête, 0,72 est le plus grand nombre de centièmes contenus dans la fraction. Mais si l'on continue, on trouve pour troisième chiffre 9 millièmes; de sorte que 3-5 contient 729 millièmes plus ff de millièmes, et par suite 0,729 est le plus grand nombre de millièmes contenus dans la fraction. On peut poursuivre ainsi le calcul aussi loin qu'on veut; on ne saurait arriver à un reste nul, puisque la conversion est impossible. La fraction décimale est donc illimitée.

Règle. — Pour convertir une fraction ordinaire en fraction

décimale, on divise le numérateur par le dénominateur, ce qui donne les unités ; on écrit un zéro à la droite du reste, on divise le résultat par le diviseur, ce qui donne les dixièmes. On écrit un zéro à la droite du nouveau reste, on divise le résultat par le diviseur^ ce qui donne les centièmes. Et l'on continue ainsi, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste nul^ cas où la transformation est complète, ou jusqu'à ce qu'on ait obtenu les unités décimales d'un certain ordre, auquel cas l'erreur commise est moindre qu'une unité de cet ordre.

210. Théorème m. Lorsque Vonréduit en fraction décimale une fraction ordinaire qui ne remplit pas les conditions du principe i, la fraction illimitée que Von obtient est périodique ; c'est-à-dire qu'à partir d'un certain chiffre, les chiffres décimaux se reproduisent périodiquement dans le même ordre.

Reprenons, en effet, l'exemple précédent, la conversion de |4. Puisque toutes les opérations partielles ont pour diviseur 37, chaque reste est plus petit que 87 ; il ne saurait d'ailleurs être nul; il est donc compris entre o et 87 ; donc, après 36 divisions au plus, et peut-être plus toi, l'un des restes obtenus doit se reproduire. Le dividende partiel qu'a fourni ce reste redevenant le même, le chiffre du quotient ne peut être que celui qu'il a déjà donné, et par suite le reste suivant se reproduit à son tour. Ce raisonnement est général, et Ton voit ainsi clairement que les restes et les chiffres du quotient se reproduisent périodiquement.

Dans l'exemple cité plus haut, après trois divisions seulement, on retrouve le reste 27 : dès lors, le dividende partiel 270 se retrouve le même que la première fois ; et, comme le diviseur ne change pas, le quotient 7 et le reste 11 sont ceux qu'a fournis une division identique. Par suite, le dividende partiel suivant est iio, comme la première fois, et le quotient 2 et le reste 36 se reproduisent nécessairement. Une nouvelle division ramène le quotient 9 et le reste 27. Et la série des trois restes et celle des trois quotients se reproduisent indéfiniment.

211. DÉFINITION. On nomme fraction périodique une îrdiCiion décimale illimitée, dans laquelle certains chiffres, à partir de Tun d'entre eux, se reproduisent périodiquement et indéfini-

ment dans le incme ordre. L'ensemble des chiffres qui se reproduisent se nomme la période.

Une fraction ordinaire irréductible, dont le dénominateur contient d'autres facteurs premiers que 2 et 5, donne naissance (210) à une fraction périodique. Le nombre des chiffres de la période est toujours inférieur au dénominateur.

Une fraction périodique est simple, lorsque la première période commence immédiatement après la virgule. Ainsi

est une fraction périodique simple, dont la période est 729.

Une fraction périodique esimixte, quand la première période

ne commence pas immédiatement après la \irgule : entre la

virgule et la première période se trouvent alors des chiffres qui

se nomment chiffres non périodiques ou irréguliers.

Ainsi

esl une fraction périodique mixte, dont la période est 382 et dont la partie irrégulière est 57.

Si l'on considère une fraction ordinaire |y et la fraction périodique 0,729729729... à laquelle elle donne naissance, on sait (209) que, quel que soit le nombre des chiffres décimaux que Ton écrive, la fraction décimale ainsi obtenue n'est pas égale à la fraction ordinaire, mais que leur différence est moindre qu'une unité du dernier ordre conservé. Il en résulte que, plus on prend de périodes, et moins la valeur de la fraction décimale ainsi limitée diffère de celle de la fraction ordinaire ; et, comme la valeur de Funité décimale diminue indéfiniment, à mesure que son ordre s'élève, on peut prendre un assez grand nombre de périodes, pour que l'erreur soit aussi petite que Ton veut. C'est ce qu'on exprime en disant que la fraction ordinaire est la limite vers laquelle tend la valeur de la fraction périodique, lorsque Ton écrit un nombre de périodes de plus en plus grand. C'est dans ce sens que l'on écrit :

J45 LIVRE m.— 'CHAPITRE II.

212. Problème ii. Èlant donnée une fraction périodique simple, former la fraction ordinaire qui lui a dominé naissance. Soit la fraction illimitée :

Conservons seulement les dix premières périodes, et désignons par fia. valeur delà fraction ainsi limitée :

Multiplions cette fraction par 1000, c'est-à-dire de manière à faire passer la virgule à droite de la première période, nous aurons :

et la partie décimale ne contiendra plus que neuf périodes. Retranchons maintenant f de 1000 f : comme les neuf premières périodes de la fraction [i] ont respectivement les mêmes valeurs relatives que les neuf périodes de la fraction [2], elles disparaissent par la soustraction;, et nous avons pour reste :

999 f = 729 — 10"^ période.

Par suite :

729 10'"'' période.

ce qui veut dire que la fraction f, ou Tensemble des dix premières périodes de la fraction périodique , a une valeur moindre que m, et que la différence est égale à la 999""" partie de la dernière période. Cette différence est extrêmement petite.

Si, au lieu de prendre 10 périodes, on en prend toc, Tensemble de ces 100 périodes est, d'après le même raisonnement, moindre que Jf^; mais la différence est égale à la 999™^ partie de la centième période, c'est-à-dire beaucoup plus petite que la précédente.

En poursuivant ce raisonnement, on reconnaît aisément que, si Ton augmente indéfiniment le nombre des périodes que l'on considère, on obtient des fractions croissantes, toujours moindres que Jlf , mais qui peuvent en différer d'aussi

DES NOMBRES DECIMAUX. 143

peu qu'on veut. On doit tlonc regarder J'jiJ comme la limite vers Ia(|Melle tend la valeur de la fraction périodique, lorsqu'on prend un nombre de périodes indéfiniment croissant; m est donc (211) la fraction ordinaire qui a donné naissance à cette fraction périodique.

Ce raisonnement général conduit à la règle suivante : Pour former la fraction ordinaire génératrice d'une fraction périodique simple, on prend pour numérateur la période et pour dénominateur un nombre formé d'autant de g qu'il y a de chiffres dans la période.

Exemples : les fractions périodiques simples

0,484848...., ^5,472472472...., 36,363636...., oui |)0ur fractions génératrices respectives

AS ^Ano. 0/^36

— , j - •» Jo —

On remarquera que la fraction périodique 0,99999.... a pour

limite - ou i, et ne résulte pas de la conversion d'une fraction

ordinaire en fraction décimale.

213. Problème m. Étant donnée une fraction périodique mixte, former la fraction ordinaire qui lui a donné naissance.

Soit la fraction illimitée

Conservons seulement les dix premières périodes, et désignons par fl'à valeur de la fraction ainsi limitée :

Mulliplions cette fraction par loooo, c'est-à-dire de manière à faire passer la virgule à droite de la première période : nous aurons

loooo f ■= 35842, 842842... .842. [2]

Multiplions ensuife la môine fraction par 10, c'est-à-dire de manière à faire passer la virgule à gauche de la première pé-

riode ; nous aurons ;

Retranchons maintenant 10 f de loooo/*; comme les neut premières périodes de la fraction [3] ont respectivement les mêmes valeurs relatives que les neuf périodes de la fraction [2], elles disparaissent par la soustraction; et nous avons pour reste

gggo f = 35842 — 35—10^ période,

., . 35842 — 35 10^ période

et par suite /= •;

ce qui veut dire que la fraction décimale, limitée aux dix

, . 1 , . , 358zt2 — 35 premières périodes, a une valeur moindre que — ^^ ;

mais que la différence est la 9990^^ partie de la dixième période, nombre assurément fort petit.

Un raisonnement identique à celui du n° précédent montre

évidemment que cette fraction — est la limite versla-

(juelle converge la fraction périodique mixte , lorsqu'on prend un nombre de périodes de plus en plus grand ; elle est donc la fraction ordinaire génératrice de cette fraction périodique.

Ce raisonnement est général, et conduit à la règle suivante :

Pour former la fraction génératrice d'une fraction périodique mixte, on fait passer successivement la virgule à droite et à gauche de la première période ; on retranche l'un de l'autre les deux nombres entiers que Von obtient ainsi (en négligeant les périodes décimales), et Von donne à cette différence pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres daîis la période, et d'autant de zéros qu'il xj a de chiffres décimaux irréguliers»

Exemples : Les fractions périodiques mixtes

DES ÎSOMBUES DÉCIMAUX. 145

ont respectivement pour fractions génératrices

On remarquera que la fraction périodique mixte o,479999---

dont la période est 9^ a pour fraction génératrice

ou ^^ —^ ou encore -^ ^ -^s c.-a.-d. ^,

ou 0^48- Celte fraction périodique ne résulte donc pas de la conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale.

214. Théorème iv. Lorsqu'une fraction ordinaire irréductible se converlit en fraction périodique simple, son dénominateur ne contient ni facteur 2 ni facteur 5.

Supposons, en effet, qu'une fraction ordinaire irréductible donne naissance à la fraction périodique simple 0,432432432...;

elle estéquivalenle (212) à la fraclion ordinaire =^—^; et, comme

elle est irréductible, son dénominateur est (162) un diviseur de 999, et ne peut être, par suite, divisible ni par 2 ni par 5. Ce qu'il fallait démontrer.

215. Théorème V. Lorsqu'une fraction ordinaire irréductible se convertit en fraction périodique mixte, son dénominateur contient les facteurs 2 et 0 ou l'un d'eux, et des facteuî's étrangers.

Supposons , en effet, qu'une fraction ordinaire irréductible donne naissance à une fraction périodique mixte 0,65347347347....; elle estéquivalenle (213) à la fraction ordinaire — ^—^ » et par suite identique (163) à celle qu'on

obtient en réduisant cette dernière à sa plus simple expression. Or celte réduction ne peut pas faire disparaître à la fois tous les facteurs 2 et tous les facteurs 5 que renferme le dénominateur : il faudrait, pour que cela fût possible, que le numérateur 65347 — 65 fût divisible par 2 et par 5, et par conséquent par 10; il faudrait donc qu'il fût terminé par zéro, ce qui exi-

146 LIVRE m. — CHAPITRE II.

gérait que le dernier chiffre 7 de la période fût le même que le dernier chiffre 5 de la partie irrégulière ; et si cela était, c.-à-d. si 5 était remplacé par 7, la fraction périodique serait 0,6734734734....; la période serait 734, et la partie irrégulière se réduirait au chiffre 6. Si donc on a bien fait commencer la première période où elle commence en réalité, il n'est pas possible que le numérateur soit divisible par 10. Il résulte

de là, que la réduction de la fraction — ^ à sa plus sim-

pie expression laissera dans le dénominateur tous les facteurs 2 ou tous les facteurs 5 qu'il renferme. Ces facteurs se trouvent donc aussi dans le dénominateur de la fraction irréductible donnée. Il est d'ailleurs nécessaire qu'on y rencontre d'autres facteurs premiers que 2 et 5 : sans quoi la fraction irréductible se convertirait (207) en fraction décimale limitée. Le théorème est donc démontré.

216. Le raisonnement qui vient d'être développé prouve que, lorsqu'une fraction ordinaire irréductible se convertit en fraction périodique mixte, et qu'on revient de la fraction périodique à la fraction génératrice en appliquant la règle générale (213), le dénominateur de la fraction irréductible contient autant de facteurs 2 ou de facteurs 5 qu'il y a de zéros dans le dénominateur de la fraction génératrice. Or ce nombre de zéros, on le reconnaît aisément, est égal au nombre des chiiTres décimaux irréguliers qui précèdent la première période. On peut donc affirmer le théorème suivant :

Théorème vi. Lorsqu'une fraction ordinaire se convertit en fraction périodique mixte, le nombre des chiffres décimaux qui précèdent la première période est égal au plus grand des exposants des facteurs 2 et j que renferme son dénominateur.