Réciproques des théorèmes iv et v

4o Lorsque le dénominateur cVune fraction irréductible ne contient ni facteur 1 ni facteur 5, la fraction réduite en décimales SB convertit en une fraction périodique simple.

En effet, d'une part, elle ne peut se transformer en fraction décimale hmitée, d'après le théorème i (207); d'autre part, elle ne peut se convertir en fraction décimale périodique mixte.

DES NOMBRES DECIMAUX. d47

d'après le théorème v (215). 11 faut donc qu'elle donne naissance à une fraction périodique simple.

2° Lorsque le dénominateur d'une fraction irréductible renferme les facteurs premiers 2 et ^ ou Vun d'eux, et en outre d'autres facteurs premiers, la fi^action, réduite en décimales, se convertit en une fraction périodique mixte.

En effet, d'une part^ à cause de la présence des facteurs étrangers, elle ne peut se convertir en une fraction décimale limitée, d'après le théorème i (207); d'autre part, à cause de la présence des facteurs 2 ou 5, elle ne peut se transformer en fraction périodique simple, d'après le théorème iv (214). 11 faut donc qu'elle donne naissance à une fraction périodique mixte.

218. Conséquence. On peut, en rapprochant les théorèmes i (207), IV (214), V (215) et les réciproques (217), prévoir la forme de la fraction décimale à laquelle donne naissance une fraction irréductible quelconque.

Il ne peut, en efTet, se présenter que trois cas.

io Si le dénominateur de la fraction irréductible ne renferme pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5, la fraction donne naissance à une fraction décimale limit;ée (th. i, n» 207).

2° Si le dénominateur ne renferme ni facteur 2, ni facteur 5, la fraction donne naissance à une fraction périodique simple (r^ réciproque, Uo 217).

3° Si le dénominateur renferme les facteurs 2 et 5 ou Tun d'eux, avec d'autres facteurs premiers, la fraction donne naissance à une fraction périodique mixte (2® réciproque, n° 217).

3 7 II Exemples : Les trois fractions ^-» ~, — donnent nais- ^ 40 33 112

sance, la première à une fraction décimale hmitée, la seconde à une fraction périodique simple, la troisième à une fraction périodique mixte. De plus, la première a trois chiffres décimaux, parce que 40 contient trois facteurs 2 ; la dernière a quatre chiffres irréguliers, parce que 112 contient quatre facteurs 2.

\ i'S LlViiE ili. — CHAPlTUJb; ii.