IV. APPENDICE

219. On éU'ud aisément la nomenclature et les propriétés des fractions décimales à un système quelconque de numération, Considérons, pour fixer es idées, le système duodécimal.

On nomme fraction duodécimale une fraction dont le dénominateur est une puissance quelconque de la base douze. Si l'on partage Tunité en j)ailies égales, de douze en douze fois plus petites, un nombre duodécimal quelconque pourra toujours êlreconsidéiv'î comme composé de parties duodécimales de l'unité, et le nombre des parties de chaque ordre sera inférieur à douze ; or. pourra, par suite, écrire un pareil nombre sans dénominateur.

Les principes relaiils aux fractions duodécimales s'énoncent et se démontrent comme les principes aiialogues relatifs aux fractions décimales.

Les opérations, en vertu de raisonnements qui restent les mêmes, se ramènent aux opérations sur les nombres entiers.

La conversion des fractions ordinaires en fractions duodécimales s'opère d'après la règle du n» 209 ; le raisonnement ne change pas. Mais les règles pour revenir des fractions duodécimiiles périodiques aux fractions génératrices, et les trois principes des no* 207, 214 et 215, ainsi que leurs réciproques, reçoivent dans leur énoncé une légère modification, parce qu'ils 5e rapportent aux diviseurs de la base. Nous nous contenterons de donner ces règles et ces énoncés, en laissant au lecteur le soin facile de les démontrer.

Règles : 1» Pour former la fraction génératrice d'une fraction périodique simple, on prend pour numérateur la période, et pour dénominateur un nombre formé d'autant de P(onze) qu'il y a de chiffres dans la période.

2o Pour former la fraction génératrice d'une fraction périodique mixte, on fait passer successivement la virgule à droite et à gauche delà première période, on retranche l'un de l'autre les entiers ainsi obtenus, et Ton donne à celte différence pour dénominateur un nombre formé d'autant de p qu'il y a de chiffres d^ns la période et d'autant de zéros qu'il y a de chiffres duodécimaux irréguliers.

Principes : 1° Pour qu'une fraction ordinaire irréductible se convertisse en fraction duodécimale limitée, il faut et il suffît que son dénominateur ne contienne pas d'autres facteurs premiers que ceux de la base, qui sont 2 et 3.

Gomme la base contient deux facteurs 2 et un fadeur 3, il faudra, pour évaluer le nombre des chiffres duodécimaux de la fraction transformée, distinguer deux cas. Si l'exposant de 3, dans le dénominateur, est égal ou

DES NOMBRES DÉCIMAUX. 1 iO

supérieur à la moitié de Texposant de ?. , l'exposant, de 3 est le nombre d«'S chiffres duodécimaux demandé. Mais si l'exposant de 3 est inférieur à celte moitié, c'est cette moitié, prise au besoin par excè?, qui fournit le nombre des chiffres duodécimaux. Par exemple, si le dénominateur est .î'X3*, la fraction a 4 chiffres duodécimaux : mais si le dénominateur est i^yc^^, elle en a 5.

2° Pour qu'une fraction irréductible donne naissance à une fraction périodique simple^ il faut et il suffit que son dénominateur ne contienne ni facteur 2 ni facteur 3.

3° Pour qu'une fraction irréductible donne naissance à une fraction périodique mixte, il faut et il sufiit que son dénominateur contienne le facteur 1 et le facteur 3 ou l'un d'eux, et en outre d'antres facteurs premiers. Et le nombre des chiffres duodécimaux de la partie irrégulière se détermine parla règle qui donne le nombre total des chiffres duodécimaux dans le cas où la fraction est limitée.

EXERCICES

I. Trouver les fractions irréductibles, génératrices des fractions périodiques suivantes :

R.: 10 li, 20 ^ 30 5i^.