R.: 40 12 %, 1 30 7 II

74 28 in

III. Une tige de fer, à la température de 25°, a une longueur égale à 4™, 528 ; on la chauffe, et la température s'élève à 600 : quelle est alors sa longueur, sachant que le coefficient de dilatation linéaire du fer est 0,0000118. (R. : 4'"j52987.)

IV. Une certaine masse de gaz est renfermée dans un ballon, à la température de 15° , sous la pression de om,76o. On porte la température à 40" : quelle est alors la pression supportée par le gaz? On sait que le coeffuioni de dilatation des gaz est 0,00367. (R. ; o™ 8>97.'!

V. Un corps pèse dansrair2497 grammes; il pèse dans l'eau 2275 grammes ; on demande quel est son volume? (R. : i52 centimètres cubes.)

VI. Si la seconde pesée du corps avait lieu dansValcool, dont la densité est 0,792, quel serait le volume du corps? (R. : 192 centimètres cubes.)

Vil. Le maître maçon, 12 maçons et 4 manœuvres ont coûté 196 fr. 65^; le maître maçon reçoit 3 fr. 45c par jour, chaque maçon reçoit i Ir. 25c, et chaquemanœuvre o fr. 85c. Combien de jours ont-ils travaillé? (R. : 9 jours.)

VIII. Pour évaluer la capacité de trois tonneaux A, B, G, on remplit A avec le contenu de B (qui est plein), et il reste dans B les 0,1 25 de ce qu'il contenait. On remplit ensuite B avec le contenu de G (qui est plein aussi), et il reste dans G les 0,2 de ce qu'il contenait. Enfin pour remplir G avec le contenu de A, il manque 32 litres, 4. Quelles sont les capacités des trois tonneaux? (R. : 751, 6; 86I, 4; 108I.)

IX. Une personne a à distribuer à trois compagnies d'ouvriers une somme totale de 6364 fr. 80c. Si elle donnait 2 fr. 40c à chaque homme de la première compagnie, chacune des deux autres ne recevrait que i fr. 20c par homme. Si elle distribuait les 2 fr. 40c à chaque homme de la seconde compagnie, chacune des deux autres recevrait o fr. 8oc seulement par homme. Et si elle donnait les 2 fr. 40c aux hommes de la dernière compagnie, elle ne pourrait donner que o fr. 6oc à chaque homme des deux premières. De combien d'hommes se compose chaque , compagnie? (R. : 780 hommes, 1716 hommes, 2028 hommes.)

X. Une personne dépose à la poste la sçmme de 591 fr. o5c : la poste retient le centième de la somme qu'elle transmet, pluso fr. 20c pour droit de timbre. Quelle somme recevra le destinataire de l'envoi? (R. : 585 fr.)

XI. On enroule sur une aiguille cylindrique un fil d'épaisseur constante, et on trouve que 200 tours juxtaposés recouvrent les o,3 de la longueur de l'aiguille. On enroule ensuite sur la même aiguille un autre fil d'épaisseur constante, et l'on trouve que 3oo tours juxtaposés recouvrent les 0,48 delà longueur de l'aiguille. On demande il» quel est celui des deux fils dont le diamètre est le plus peiit; 2° quel est le diamètre de chacun d'eux en fraction décimale de la longueur de l'aiguille; 3*^ quelle est la plus petite longueur de l'aiguille que puissent recouvrir des nombres entiers de tours des deux fils? (R. : Le premier fil est le plus fin : les diamètres sont o,ooi5 et 0,0016; i5 tours du premier et 16 tours du second recouvrent 0,024 de l'aiguille.)

XII. La fraction périodique o, 536536536, .. a pour limite ; prouver

au' elle a aussi pour limite , ou , . . . fractions que 1 on

obtient en prenant pour période l'ensemble de deux, de trois périodes. Prouver a priori que ces fractions sont égales.

XIII. La fraction périodique mixte 0,43729729729... a pour limite

48729 — 43 ^ , „ . ... 4372972 — 4372 «Prouver qu elle a aussi pour limite — —^^ ? traction

que l'on obtient en prenant pour période 972, et pour partie non périodique 4872. Prouver a priori que ces deux fractions sont égales.

(On cherche, dans ces deux problèmes, à mettre en évidence des facteurs communs aux deux termes.)

XIV. Lorsqu'on réduit en décimales une fraction irréductible dont le dénominateur est un nombre premier, si la période a un nombre pair de chiffres, en ajoutant un chiffre de la première moitié avec le chiffre de même rang de la seconde moitié, on a pour somme 9 ; en ajoutant les restes correspondants, on a pour somme le dénominateur. Par exemple, y, réduit en décimales, donne pour période 142837, et pour restes 3, 2, 6, 4» 5, I ; et l'on voit que

1+8 = 4 + 5 = 2+7 = 9, et que 3 + 4 = 2 + 5 = 6 + 1=7.

(On sépare les deux moitiés de l'opération, et l'on cherche à applique! la théorie des nombres premiers.)

XV. Toutes les fractions irréductibles qui ont le même dénominateur, étant réduites en décimales, fournissent des périodes qui ont le même nombre de chiffres.

(On compare ces fractions à celle qui a le même dénominateur, et qui a l'unité pour numérateur.)

iri^ LIVRE III. — CHAPITRE III.