LIVRE V
démontré pour les nombres commensurables, il s'étend tout naturellement, et sans démonstration nouvelle, aux nombres incommensurables (^2l5).
Jo On a vu (49,4") qu'une puissance d'un produit est égale au produit des puissances de même degré de ses facteurs : quC;, par exemple :
(5X7Xii)^ = 5^X7'X II'.
Ce principe est vrai dans le cas où les facteurs sont incommensurables, îl en résuUe immédiatement, que la racine d'un produit est égale au produit des racines de même indice de ses facteurs, et qu'on a, par exemple :
Eq effet, si Ton élève au cube y 8 x 27 X 64 on obtient
8x27x64*. et si Ton élève au cube le produit \/8 X '^^27 X\/64y on obtient encore 8 X 27 x 64, en vertu du principe cidessus visé.
1" On a vu (49, 5°) que, pour élever un nombre à des puissances successives, il suffit de l'élever à une puissance unique dont l'exposant est égal au produit des exposants primitifs ; et ({u'on a, par exemple :
Ce principe est vrai dans le cas où le nombre est incommensurable, ïl en résulte immédiatement que, pour extraire d'un nombre diverses racines successives, il suffit d'extraire du nombre une racine imique dont l'indice est le produit des indices primitifs; et qu'on a, par exemjde :
En effet, si l'on élève y i5o à la 12e puissance, on obtient i5o.
Et si l'on élève aussi y Vi5o à la i2e puissance, ce qui peut se faire, d'après le principe ci-dessus rappelé, en l'élevant successivement au cube et à la quatrième puissance^ on obtient encore i5o.
DES CAKRÉS ET DES RACINES CAIUlÉES. 18"
CPrAPITRE PREMIER DES CARRÉS ET DES RACINES CARRÉES.
§ l. FORMATION DES CARRÉS.
278. RÈGLE. Le carré d'un nombre se [orme en multipliant ce nombre par lui-même. 11 n'existe pas de règle particulière pour le calculer.
Si le nombre est entier, on applique la rcî^le de la multiplication des nombres eniiers. Le carré de 36 est 1296.
Si le nombre est fractionnaire, on applique la règle de la multiplication des fractions, c'est-à-dire que l'on forme séparément les carrés du numérateur et du dénominateur. Le carré
,5 .25 de - est^«
7 49 On conclut de cette règle, que le carré d'une fraction irréductible est une autre fraction irréductible; car les deux termes de la fraction irréductible étant premiers entre eux, il en est de même (121, 2o) de leurs carrés.
279. Les carrés des neuf premiers nombres entiers sont renfermés dans le tableau suivant :
Nombres 123456789 Carrés i 4 9 16 25 3649 64 81
Le carré d'un nombre composé de V unité suivie de plusieurs zéros se compose de F unité et d'un nombre double ds zéros.
Exemple : 1000' = loooooo.
Le carré d'un nombre formé par un chiffre quelconque suivi de plusieurs zéros est égal au carré de ce chiffre suivi d'un nombre double de zéros.
Exemple: 400^^^=16000000.
280. Principe. Lorsqu'un nombre est décomposé en deux parties, son carré se compose : 1^ du carré de la première partie; 2^ du double produit de la première par la seconde; 3° du carré de la seconde.
Considérons, en effet, un nombre 24 comme composé de deux parties, 18 et 6'; et multiplions (18 4-6) par (18 + 6.)
Il faut d'abord multiplier (18 H- 6) par 18, ce qui donne 18^ 4- (18x6), puis multiplier (184-6) par 6, ce qui donne (i8 x6) 4- 6- ; il faut enfin ajouter les deux résultats, et Ton a :
281. Corollaire. Lorsqu^un nombre est décomposé en dizaines et unités, son carré se compose de trois parties, qui sont : r le carré des dizaines; 2" le double produit des dizaines par les unités; 3" le carré des unités.
Exemple : 3f = (3diz.)' + (2f. 3 diz.X7)-H7'.
Il faut remarquer avec soin : 1» que le carré des dizaines est un nombre entier de centaines, que Ton obtient en faisant le carré du nombre des dizaines ; ainsi, le carré de 3 dizaines ou de 3o est 900 ou 9 centaines.
2*^ Que le double produit des dizaines par les unités est un nombre entier de dizaines, que Ton obtient en multipliant le double du nombre des dizaines par le chiffre des unités. Ainsi, 2 fois 3 dizaines X 7 = 6dizainesX7 = 42 dizaines,
282. Autre corollaire. La différence entre les carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit, plus un.
Soient, en effet, deux nombres entiers consécutifs : 17 et 18. On peut considérer 18 comme égal à (174- 1), et par suite (280), i82commeégal à (17^ 4-2 fois 17 X i 4- i^), ou simplement à (ir72 j 2fois 1^4-1). D'oi^i l'on voit que le carré de 18 surpasse celui de 17 de 2 fois 17 4- 1 ; ce qu'il fallait démontrer.
Remarque. Comme 2 fois 17 -i- i 1= ï7-I-(i7+i) ou 17 + 18, on peut dire que la différence entre les carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à la somme de ces deux nombres,
§ II. extraction de la racine carrée d'un nombre entier.
283« Principe. Lorsqu'un nombre entier n'est pas un carré parfait, c'est-à-dire n'est pas le carré d'un autre nombreentier^ il n existe pas de nombre fractionnaire, dont le carré reproduise le nombre donné.
Par exemple, 0 n est pas un carré parfait; et il faut prouver
que Ton ne peut pas exprimer la racine carrée de 5 sous forme
fractionnaire. Supposons, en effet, que la racine carrée de 0
puisse être égale à la fraction 2} ou à ~, fraction que Ton peut
toujours supposer irréductible ; il faudrait alors que o fût égal
i5 lo^
au carré de — ou à — ^ » fraction nécessairement (278) irréduc-
tible, ce qui est impossible. La racine carrée de 5 n'est donc
pas commensurable.
28-4. DÉFINITION. Lorsqu'un nombre n'est pas un carré parfait, on nomme racine de ce nombre, à moins d'une unité près par défautf la racine du plus grand carré entier que renferme le nombre.
Exemple: 12 n'est pas un carré parfait, mais il est compris entre 9 et 16, qui sont les carrés de 3 et de 4 ; 3 est donc la racine du plus grand carré entier contenu dans 12; c'est la racine de 12, à moins d'une unité près par défaut.
Le problème que nous allons résoudre, dans ce paragraphe, consiste à déterminer la racine exacte d'un nombre entier, quand elle existe, ou la racine approchée à moins d'une unité, quand la racine exacte n'existe pas. Dans ce dernier cas, l'excès du nombre sur le carré de la racine approchée se nomme le reste.
Nous distinguerons cinq cas dans l'extraction de la racine carrée des entiers.
