TABLEAU DU CALCUL. TABLEAU ABRÉGÉ

Comme ce nombre esl plus grand que 100, le plus grand carré qu'il renferme <st au moins 100 ; et la racine, exacte ou approchée, esl au lîioins 10. Comme il est inférieur à loooo, sa racine, exacte ou apjin-chée, est inférieure à 100. Cette

racine, nécessairement comprise entre lo et loo, se compose donc de deux cliifTres, savoir: un chiffre de dizaines et un chiffre d'unilés. Et le carré de la racine se compose par suite de trois parties (281), qui sont : le carré des dizaines, le double produit des dizaines par les unitôs, et le carré des uiiités.

Le nombre 6948 contient ces trois parties , et. peut être un reste. Or lecarré des dizaines de la racine est (281) un nombre de centaines, qui doit se trouver exclusivement renfermé dans les 69 centaines du nombre. On est donc amené à séparer les deux chiffres 4^ sur la droite. Et nous allons prouver que, sî /'on extrait la racine du plus grand carré contenu dans 69, considéré comme représentant des unités simples, le chiffre 8 ainsi obtenu est, sans essai, le chiffre des dizaines de la racine. En effet, dire que 8 est la racine du plus grand carré contenu dans 69, c'est dire que 69 est compris entre 8^ et 9^ ; 69 pourrait être égal à 8\ mais il diffère de 9^ au moins d'une unité, puisqu'il s'agit de nombres entiers : c'est ce que l'on peut écrire ainsi :

Si l'on multiplie ces trois nombres par 100, on n'altère pas le sens des inégalités qui deviennent

Mais les deux derniers nombres diffèrent alors au moins d'une centaine. Par conséquent, si l'on ajoute à 6900 les 4B unités qui complètent le nombre donné, et qui ne valent pas une centaine, 6948 reste, malgré cette addition, inférieur à (9^X 100); et il reste ou il devient supérieur à (8^ x 100). Ainsi

Ceci prouve que le plus grand carré contenu dans 6948 est au moins (8^ X 100), c'est-à-dire (8xio)%et qu'il est inférieur à (9^X100) ou à (9X10)^; par suite la racine exacte ou approchée de 6948 se compose de 8 dizaines, et d'un certain nombre d'unités moindre que 10. Ce qu'il fallait démontrer. Ce raisonnement, évidemment général, conduit à cette règle :

(') «^ s'énonce inférieur ou égal à.

192 LIVRE V. — CHAPITilE I.

Pour trouver le chiffre des dizaines de la racine carrée du nombre y séparez deux chiffres vers la droite, et extrayez la racine du plus grand carré entier contenu dans la tranche de gauche : celte racine est le chiffre des dizaines cherché.

Puisque la racine renferme 8 dizaines, son carré renferme (-281) le carré de 8 dizaines, c'est-à-dire 64 centaines. Si Ton soustrait ces 64 centaines de 6948, le reste 548 ne contient plus que les deux autres parties du carré, et le reste possible. Or le double produit des dizaines par les unités est un nombre entier de dizaines, qui doit être exclusivement contenu dans les 54 dizaines du reste. On est donc amené à séparer le chiffre 8 sur la droite. D'un autre côté, le double des dizaines de la racine est 16 dizaines; c'est l'un des facteurs du produit du double des dizaines par les unités. Si donc 54 dizaines ne renfermaient; pas autre chose que ce produit, on diviserait 54 dizaines par 16 dizaines, ou, ce qui est la même chose, 54 par lô ; et le quotient 3 ainsi obtenu serait l'autre facteur, c'est-àdire le chiffre des unités de la racine. Mais il peut arriver, qu'outre le produit dont il s'agit, 54 dizaines renferment des dizaines provenant du carré des unités et du reste. 11 en résulte qu'en divisant 54 par 16, on s'expose à trouver pour quotient un chiffre plus fort que celui des unités ; et il devient nécessaire d'essayer ce quolient.

Ce raisonnement, évidemment général, conduit à la règle suivante : Apres avoir trouvé le chiffre des dizaines delà racine, on retranche son carré de la tranche de gauche ; et à côté du reste^ on abaisse la tranche de droite, dont on sépare le dernier chiffre à droite. Puis on divise la partie séparée à gauche par le double du nombre des dizaines déjà trouvées; le quotient que l'on obtient est le chiffre des unités de la racine, ou un chiffre trop fort, qu'il faut essayer.

Le quotient de 54 par 16 est 3. Pour essayer ce chiffre, on le place à la droite de 16, on obtient i63, et l'on donne ainsi à 16 sa valeur relative 16 dizaines. Puis on multiplie i63 par le chiffre 3 qu'on essaie : le produit comprend évidemment 16 dizaines nmltiphées par 3, c'est-à-dire le double produit des dizaines par les unités présumées, et 3 X 3, c'est-à-dire le

carré de ces unités. Si donc le produit 4% peut se reIran • cher du reste 548 (et c'est ce qui arrive ici), le chiffre S n'est pas trop fort, puisque les deux dernières parties du carré do 83 sont contenues dans le reste. La racine approchée est donc 83, et le reste 5g.

Si, au contraire^ le produit se trouvait plus grand que 548, le reste ne contiendrait pas les deux dernières parties du carré de 83 ; le chiffre 3 serait trop fort : il faudrait le diminuer d'une unitéj et recommencer l'essai.

On voit que la règle pour Texlraction de la racine carrée, dans ce cas, renferme trois parties bien distinctes : \^ la recherche du chitïre des dizaines, à l'aide d'une racine carrée simple ; 2" la recherche du chiffre des unités, à l'aide d'une division ; 3*^ l'essai de ce dernier chiffre.

On dispose le calcul comme on le voit ci-dessus ( tableau du calcul); le nombre occupe la place du dividende, dans une division; la racine^ à mesure qu'on en trouve les chiffres, s'écrit à la place du diviseur ; le double de la racine trouvée se place au-dessous, au lieu qu'occupe ordinairement le quotient; et les calculs de l'essai se font là. On peut d'ailleurs abréger l'écriture : 1° en soustrayant, sans l'écrire, le carré des dizaines de la tranche de gauche; 2*' en faisant le calcul de Fessai, sans écrire le multiplicateur ni le produit, et en se contentant de soustraire ce produit du reste, à mesure qu'on en trouve les éléments {tableau abrégé).

289. Cinquième cas. Le nombre entier est supérieur à loooo. Proposons-nous, en premier lieu, d'extraire la racine carrée du nombre 74285, qui est compris entre loooo et loooooo.

TABLEAU DU CALCUL I

Ce nombre étant plus grand que 100, sa racine, exacte ou approchée, est au moins 10 : elle contient donc des dizaines et

des unités; et son carré contient le carré de ces dizaines, le double produit de ces dizaines par ces unités, et le carré de ces unités. Le nombre donné renferme donc ces trois parties, et peut-être un reste.

Or le carré des dizaines de la racine est un nombre entier de centaines, qui se trouve exclusivement contenu dans les 742 centaines du nombre : on est donc amené à séparer les deux derniers chiffres 85. Et Ton peut prouver que, si Ton extrait la racine du plus grand carré contenu dans 742, considéré comme représentant des unités simples (opération que Ton sait faire (288), et qui donne 27), le nombre 27 est, sans essai, le nombre des dizaines de la racine. En effet, dire que 27 est la racine du plus grand carré contenu dans 742, c'est dire que

la différence entre 28^ et 742 étant au moins d'une unité. Si Ton multiplie les trois nombres par 100, les inégalités subsistent,

et la différence entre les deux derniers nombres est au moins d'une centaine. Si donc on ajoute à 74200 les 85 unités qui complètent le nombre donné et qui ne valent pas une centaine, 74285 reste inférieur à 28^x100; mais il devient ou reste supérieur à 27" X 100. Ainsi J

On conclut de là, que le plus grand carré contenu dans 74285 est au moins 27- X 100, ou (27X10)% mais qu'il est inférieur à 28^ X 100, ou à (28XIo)^ Par conséquent la racine, exacte ou approchée, de 74285 se compose de 27 dizaines et d'un certain nombre d'unités inférieur à 10. Ce qu'il fallait démontrer.

Ainsi le nombre des dizaines de la racine d'un nombre compris entre loooo et loooooo est la racine du plus grand carré contenu dans le nombre des centaines du nombre, c'est-à-dire dans un autre nombre nécessairement compris entre 100 et

DES CARllÉS ET DES RACINES CAliUÉES. 195

loooo. Ces dizaines s'obtiennent donc par la règle du 4'"" t^as. Puisqu'en retranchant de 742 unités le carré de 27 unités, on obtient pour reste i3 unités, en retranchant de 742 centaines le carré de 27 dizaines, on aura pour reste i3 centaines; et ces 1 3 centaines, jointes aux 85 unités du nombre donné, formeront un nombre i385, qui ne contiendra plus que les deux autres parties du carré de la racine et le reste possible.

Or le double produit des dizaines par les unités est un nombre entier de dizaines, qui se trouve exclusivement contenu dans les i38 dizaines du reste. On est donc amené à séparer le chiffre f) sur la droite. D'un autre côté, le double des dizaines de la racine est 54 dizaines : c'est l'un des facteurs du produit du double des dizaines par les unités. Si donc i38 dizaines ne contenaient pas autre chose que ce produit, on diviserait i38 dizaines par 54 dizaines, ou, ce qui revient au même, i38 par 54; et le chiffre 2 obtenu au quotient serait Fautre facteur , c'est-à-dire le chifTre des unités de la racine. Mais, outre le produit dont il s'agit, i38 dizaines peuvent renfermer des dizaines provenant du carré des unités et du reste. lien résulte qu'en divisant i38 par 54, on s'expose à trouver au quotient un chiffre plus fort que le chiffre des unités, chiffre qu'il devient nécessaire d'essayer.

L'essai, d'ailleurs, se fait et se raisonne comme dans le cas précédent ; on place le chiffre à essayer, 1, à côîé du double des dizaines, 54; on multiplie le nombre ainsi formé, 542, par le chiffre 2 ; et si (ce qui arrive ici) le produit 1084 peut se soustraire du reste i385, le chiffre essayé 2 est le chiffre des unités. La racine est 272, et le reste 3oi. Si, au contraire, la soustraction était impossible, le chiffre essayé serait trop fort; on le diminuerait d'une unité, et l'on recommencerait l'essai.

La méthode que nous venons de suivre montre comment la recherche de la racine d'un nombre qui a cinq ou six chiffres se ramène à la recherche de la racine d'un nombre qui en a deux de moins ; et comment cette dernière une fois déterminée, on trouve, par un procédé uniforme de division, le chiffre des unités qui complète la racine cherchée. Un raisonnement complètement identique montrera comment on peut passer de

la recherche de la racine d'un nombre qui a 5 ou 6 chiffres à celle de la racine d'un nombre qui en a deux de plus; puis de cette dernière à celle de la racine d'un nombre qui a encore deux chiffres de plus; et comment, par conséquent, on pourra déterminer la racine carrée, exacte ou approchée, d'un nombre entier quelconque.

290. RÈGLE. On est conduit ainsi à la règle générale suivante : Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier, exacte ou approchée à moins cVune unité prés , on partage le nombre en tranches de deux chiffres , en allant de la droite àla gauche (la tranche de gauche peut n'avoir qu'un chiffre, et le nombre des tranches est le nombre des chiffres de la racine). On extrait la racine carrée du plus grand carré contenu dans la tranche de gauche; c'est le chiffre des plus hautes unités de la racine. On soustrait de la tranche le carré de ce chiffre ; on place à côté du reste la seconde tranche, on sépare un chiffre à droite et Von divise la partie ainsi séparée à gauche par le double du chiffre trouvé à la racine : le quotient est le second chiffre de la racine, ou un chiffre trop fort. On l'essaie, d'après la régie donnée plus haut. A côté du nouveau reste, on abaisse la troisième tranche^ et on sépare un chiffre à droite : puis on divise la partie ainsi séparée à gauche par le double de la racine déjà trouvée : le quotient est le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On ressaie, d'après la règle. A côté du troisième reste, on abaisse la quatrième tranche, et Von sépare un chiffre à droite. Puis on divise la partie ainsi séparée à gauche par le double de la racine déjà trouvée, pour trouver le quatrième chiffre de la racine. Et Von continue de la sorte, jusqu'à ce quon ait épuisé toutes les tranches du nombre, et déterminé, par une dernière division, le chiffre des unités et le reste final.

Si le reste est nul, la racine est exacte; car on a retranché du nombre toutes les parties qui composent le carré de la racine.

Si Vune des divisions est impossible, parce que l'un des dividendes partiels que Von forme, d'après la règle, est moindre que le double de la racine déjà trouvée, c'est que le double produit correspondant des dizaines par les unités, contenu dans la partie séparée, ne renferme pas même une fois le double des

dizaineSjOuque le chiffre des unités cherché n'est pas niôme i ; on place un zéro à la racine, on abaisse immédialement la tranche suivante , et Von continue l'opération d'après la règle générale.

291. Remarque. La méthode qui précède n'amène jamais à la racine un chiffre trop faible, si Ton a soin de prendre pour ce chiffre le plus grand nombre de fois que la partie séparée contient le double de la racine. Mais si^ dans la crainte de faire quelques essais inutiles, on diminue trop ce plus grand quotient, il peut arriver qu'on écrive un chiffre trop faible. On trouve alors un contrôle dans le principe suivant :

Le chiffre obtenu à la racine est trop faible, lorsque le reste quHl fournit est supérieur au double de la racine trouvée.

On sait^ en effet (282), que si Ton ajoute au carré d'un nombre entier le double de ce nombre plus une unité, on obtient le carré du nombre entier suivant. Or, si l'on soustrait d'un nombre donné le carré d'un second nombre considéré comme la racine du premier, trois cas se présentent : ou le reste est inférieur ou au plus égal au double de la racine, ou il est égal au double de la racine augmentée d'une unité, ou il est supérieur à cette somme. Dans le second cas, le nombre donné est égal au carré du second, augmenté du double de ce dernier et d'une unité, c'est-à-dire au carré du nombre entier suivant. Dans le premier cas, il est inférieur; et dans le dernier, il est supérieur à ce carré. Il en résulte que, dans le second et le troisième cas, la racine obtenue est trop faible au moins dune unité; dans le premier seulement, elle est approchée à moins d'une unité ; et c'est ce qu'il fallait démontrer.

Chaque fois que, dans l'extraction d'une racine carrée, on obtient un reste, il est utile, avant d'abaisser une tranche, de constater que le reste n'est pas supérieur au double de la racine déjà trouvée.

292. Preuve de l'opération. Pour faire la preuve de l'extraction d'une racine carrée, on s'assure d'abord que le reste ne surpasse pas le double de la racine. Puis on fait le carré de cette racine, et on lui ajoute le reste: la somme doit reproduire le nombre donné.

498 LÎVRE V. — CHAPITRE I.

On peut aussi faire la preuve par 9. Pour cela, on retranche d'abord le reste du nombre donné; la différence ainsi obtenue est le carré de la racine. On cherche le reste de la division de cette différence par 9. Puis on fait le carré du reste de la division de la racine par 9, et l'on divise encore ce carré par 9 ; ce dernier reste doit être égal au reste de la division de la différence par 9.

Exemple : 74285 — 3oi = 73984 : divisée par 9^ cette différence donne pour reste 4- Or la racine 272, divisée par 9, donne pour reste 2, dont le carré est 4. Les deux restes sont donc les mêmes.

293. Exemple d'extraction de racine carrée. Voici un exemple où l'on applique la règle générale^ avec la disposition de calcul adoptée ordinairement.

raclée.