PREUVE

La racine est 764035, et le reste est 395204.

294. Remarque. Le reste de l'opéralion peut varier entre o et le double de la racine (291). Il peut donc être inférieur, égal ou supérieur à la racine. Or, dans les deux premiers cas, il n'y a pas une différence d'une demi-unité entre la racine approchée et la racine exacte (283) ; dans le dernier, la différence est supérieure à une demi-unité. Pour le prouver, considérons, par exemple, le nombre 54, dont la racine est 7 et le reste 5; de sorte que l'on a ;

et comparons à ce nombre le carré de (7-1-^); nous avons (280) :

Si donc le reste 5 est inférieur à 7 -H j, c'est-à-dire est au plus égal à la racine 7, 54 est inférieur à (7 -h |)^• et, par suite, la racine de 04 ^^l inférieure à 7 {. Si, au contraire , le reste 5 était supérieur à 7 4- j, et, par suite à la racine 7, 54 serait supérieur à (7 4- f) ^ et la racine de 54 serait supérieure à 74-^. C. Q. F. D.

295. Caractères auxquels on reconnaît qc'un nombre entier n'est pas un carré parfait. — 1** t/n nombre n'est pas un carré parfait, quand il est terminé par l'un des chiffres 1, 3, 7 ou 8. En effet, d'une part, le tableau des carrés des neuf premiers nombres (279) montre qu'aucun d'eux n'est terminé par l'un de ces chiffres. D'autre part, la règle de la multiplication, ou la composition du carré d'un nombre décomposé en dizaines et unités, prouve que le carré d'un nombre entier quelconque est toujours terminé par le chiffre qui termine le carré de ses unités. ïl suit de là, qu'aucun carré ne peut être terminé par Tun des chiffres 2, 3, 7, 8; et, par suite, qu'un nombre entier, terminé par l'un de ces chiffres, ne saurait être un carré.

2" Un nombre entier n'est pas un carré parfait, lorsquil est terminé par 5, si le chiffre des dizaines est autre que 2. En effet, d'après le tableau des carrés (279), 5 est le seul chiffre dont le carré soit terminé par 5; et par suite, les nombres terminés par 5 sont les seuls dont les carrés soient terminés par 5. Or, si l'on considère un nombre quelconque terminé par 5, par exemple 735, on peut, pour former son carré, le décomposer en 73 dizaines et 5 unités, et appliquer le principe (281) :1e carré se composera 1° du carré de 73 dizaines, qui est un nombre entier de centaines; 2° du double produit de 73 dizaines par 5 unités, ou, ce qui revient au même, du produit de 73 dizaines par 10 unités, c'est-à-dire de 73 centaines; 3° du carré de 5 ou de 25 unités. Les deux premières parties ne contenant pas d'unités inférieures aux centaines, le carré de 735 sera terminé par 25. Il suit de là, que le carré de tout nombre terminé par 5 est terminé par 25; et, par suite, aucun nombre ne peut être un carré parfait, si, terminé par un 5, il n'est pas terminé par 25.

S"* Un nombre entier n'est pas un carré parfait, quand il est terminé par un nombre impair de zéros. En effet, d'après le tableau des carrés, les nombres terminés par zéro sont les seuls qui puissent être et qui soient, en réalité, terminés par zéro. Or la règle de multiplication prouve que, lorsqu'un nombre est terminé par des zéros, son carré est terminé par un nombre double^ et, par conséquent, pair de zéros. Il résulte de là, qu'un nombre ne peut être un carré parfait^ si le nombre des zéros qui le terminent est impair.

4." Un nombre entier n'est pas un carré parfait , sî, admettant comme diviseur un nombre premier, il n'admetpas comme diviseur le carré de ce nombre. En effet, pour élever au carré un nombre entier^ préalablement décomposé en ses facteurs premiers, on double les exposants de ces facteurs : un carré renferme donc tous ses facteurs premiers au moins au carré ; et, par suite^ un nombre n'est pas un carré, si l'un de ses facteurs premiers est affecté de l'exposant i, ou même^, plus généralement^ d'un exposant impair.

296. Extraction de la racine carrée d'un nombre entier écrit dans un SYSTÈME QUELCONQUE DE NUMÉRATION. Les principes qul servcnt de base à !a ihéorie, et les raisonnements qui conduisent à la règle pour l'extraction de la racine carrée des nombres entiers, sont indépendants du système de numération dans lequel on opère. La règle générale (290) est donc la même dans tous les systèmes; et son application ne présente d'autre difticulté que celle qui naît du peu d'habitude que l'on a d'opérer en dehors du système décimal. Nous nous bornerons, en conséquence, à un exemple, que nous choisirons dans le système dont la base est douze.

Soit à extraire la racine carrée du nombre 5a37p42aoo. calcul. preuve.

14928P 4a83a5 9PP9P 296578

5a37P43aoo

DES CARRÉS ET DES RxVCINES CARREES. 201

297. Les carrés des onze premiers nombres, écrits dans le système duodécimal, sont compris dans le lahlcau suivant :

Nombres. i, 2, 3, 4, 5, (>, 7, 8, 9, a, p. Carrés. i, 4, 9, 14, 21, 3o, 41, 54, 69, 84, ai.

Aucun d'eux n'est terminé par 2, 3, 5, 6, 7, 8, a^ p. Un nombre n'est donc pas un carré, s'il esi terminé par un de ces chifFres. On remarquera que le carré de 6 est terminé par un zéro, circonstance qui ne se présente jamais dans le système décimal.

§ III. EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE d'UN NOMBRE FRACTIONNAIRE.

298. Principe. Lorsque les deux termes d'une fraclioîi irréductible ne sont pas à la fois des carrés parfaits, cette fraction n'admet pas de racine commensurahle.

Cette racine, en effets ne peut être un nombre entier, puisque le carré d'un nombre entier est entier lui-même ; et, pour qu'elle fût une fraction, telle que |, qu'on peut toujours supposer irréductible, il faudrait que la fraction irréductible donnée fût égale au carré de f ou à ^ ; il faudrait, par conséquent, que son numérateur fût égal à 5% et son dénominateur à 7'^, ce qui est contre l'hypothèse. La racine, si elle existe, n'est donc pas commensurahle.

Nous allons Yoir ce que Ton convient d'appeler, dans ce cas, racine carrée approchée.

299. Extraction de la racine carrée d'une fraction ordinaire. — Trois cas peuvent se présenter.

1» Les deux termes de la fraction sont des carrés. Exemple : If. Dans ce cas, on extrait séparément les racines carrées des deux termes, et l'on a, sans approximation :

2o Le dénominateur seul est un carré. Exemple : ||. Dans ce cas, il n'existe pas (298) de racine commensurahle. Mais on peut toujours, en extrayant la racine du numérateur, à moins d'une unité près, trouver les deux carrés consécutifs qui le

comprennent ; ici l'on a :

par suite

Comme les racines de ^j et de ff sont | et |, on convient d'appeler racine carrée de ~ un nombre compris entre f et|, et de dire que cette racine a pour valeurs approchées | par défaut, - par excès, à moins de ^ près.

Ainsi, dans ce cas, on extrait, à moins d'une unité près^ la racine carrée du numérateur, et Von extrait exactement celle du dénominateur ; puis on prend les deux racines pour les termes de la racine demandée. L'erreur est moindre qu'une fraction qui a pour numérateur l'unité, et pour dénominateur la racine du dénominateur primitif.

3° Le dénominateur n'est pas un carré. Exemple : y^. On ramène ce cas au précédent, en multipliant les deux termes de la fraction par son dénominateur; ce qui n'en altère pas la valeur, et fait du dénominateur un carré parfait. On a ici :

2 7Xi2__ 84