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Or la racine de 84 est comprise entre 9 et 10 ; la racine de ^^ est donc, d'après la convention précédente, comprise entre A et J-| ; elle est Tune ou Tautre de ces fractions, à moins de ^ï près.
Ainsi, dans ce cas, on multiplie le numérateur par le dénominateur; on extrait, à moins d'une unité près, la racine du produit, et l'on donne à cette racine pour dénominateur le dénominateur de la fraction donnée. L'erreur est moindre qu'une fraction, ayant pour numérateur l'unité, et pour dénominateur le dénominateur de la fraction.
Si des entiers sont joints à la fraction, on les réduit en une fraction unique avec la fraction qui les accompagne, et Von applique la règle précédente.
Exemple : 3 A .= 4i = HJ^ = 49|.
La racine est J | ou f|, à moins de ^^ près.
300. Remarque. Lorsqu'une fraction ordinaire n'est pas irréducliblC;, il peut arriver qu'elle soit le carré d'une autre fraction, sans que ses deux termes soient des carrés parfaits : il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que le produit du numérateur par le dénominateur soit un carré jjarfait.
1° La condition est nécessaire: en effet, si une fraction ordinaire est le carré d'une autre fraction, telle que ,, qu'on peut toujours supposer irréductible, les deux termes de cette fraction sont (162) des multiples par un m.éme nombre de 5^ et de 7*; c'est-à-dire que, si le multiplicateur commun est 12, par exemple, le numérateurest égal à (5^Xi2), etle dénominateur à (fX 12); et, par suite,leur produit est égalà(5^Xi2X 7^X12), ou à (5^ X7' X 12^). Ce produit est donc un carré.
2° La condition est suffisante : car, supposons qu'elle est remplie, et considérons, par exemple, une fraction -^ telle que le produit 8x18=144 soit un carré parfait; si l'on divise ces nombres égaux par le carré de 18, on a
8x18 __ 144 l il'
18^ —TS^' ^^ i8"~i8^'
la fraction f^ est donc un carré.
301. Extraction de la racine carrée d'un nombre décimal. On peut toujours convertir un nombre décimal en fraction ordinaire; et le dénominateur, qui renferme autant de zéros qu'il y avait de chiffres décimaux, est ou n'est pas un carré parfait, selon que le nombre des chiffres décimaux est pair ou impair. Il est, d'ailleurs, toujours facile d'amener ce nombre à être pair, quand il ne l'est pas: il suffit d'écrire un zéro à la droite du nombre décimal. On peut donc appliquer toujours la règle (299) aux nombres décimaux.
exemple : exiTune la racine carrée de 7,429. On a :
y^H ^ y;»^ y JOOOO
Or 74290 est comprise entre 272^ et 278^ Donc la racine de 7,429 est comprise entre m et f^. Elle est donc égale à
2,72 par défaut, ou à 2,78 par excès, à moins de 0,01 près.
302. Remarque. Les règles que nous avons données jusqu'ici pour l'extraction de la racine carrée d'un nombre, soit entier, soit fractionnaire, fournissent celte racine, lorsqu'elle est ellemême un nombre entier ou fractionnaire. Lorsque cela n'a pas lieu, elles fournissent des nombres dont les carrés comprennent le nombre donné, nombres que Ton convient de regarder comme des valeurs approchées de la racine. Il importe, dès lors, pour justifier ces conventions, de définir nettement ce que Ton doit appeler racine carrée d'un nombre, lorsqu'il n'existe pas de nombre commensurable ayant ce nombre pour carré. Il est, en outre, nécessaire de montrer qu'on peut trouver des nombres commensurables aussi approchés qu'on le veut d'une racine ainsi définie, et de donner les règles générales pour les obtenir. C'est là l'objet du paragraphe suivant.
§ IV, extraction de la racine carrée d'un nomrre avec une
APPROXIMATION DONNÉE d'AVANCE.
303. Principe. On peut toujours trouver deux nombres commensurables, aussi peu différents Vun de Vautre qu^on lèvent, dont les carres comprennent un nombre donné {non carré).
Prenons, en effet, pour différence 0,001 , et considérons la série des nombres
o 0,001 0,002 o,oo3 0,004 o.ooD 0^006 0,007.. •
Leurs carrés forment une suite de nombres croissant indéfiniment à partir de zéro : ils sont donc d'abord plus petits qu'un nombredonné,45, par exemple; puis ils deviennent plus grands que lui. Le plus grand des carrés plus petits que 45, et le plus petit des carrés plus grands que lui, sont donc deux termes consécutifs qui comprennent le nombre donné, et dont les racines sont commensurables et diffèrent de 0,001.
Ce raisonnement est général, quelque petite que soit la différence choisie: le principe est donc démontré.
304. DÉFINITIONS. Pour définir la racine carrée d'un nombre quelconque, qui n'est pas le carré d'un nombre commensu-
rable, la racine de i, par exemple, concevons que Ton cherche (303) des nombres commensurables dont les carrés comprennent 2, en prenant successivement pour différence o,i 0,01 0,001, etc. Si Ton trouve que 2 est compris entre les carrés de 1,4 et de 1,5, puis entre ceux de 1,41 et de 1,42, puis entre ceuxde i,4i4etde i;4i5,puisentreceuxde i,4i42etde i,4i43, on forme ainsi deux séries dénombres.
les uns croissants et dont les carrés sont inférieurs à 2, les autres décroissants et dont les carrés sont supérieurs à 2. Deux termes de même rang, dans les deux séries, diffèrent d'abord de 0,1, puisdeOjOi, de 0,001; et ils peuvent différer (303) aussi peu qu'on le voudra. Les deux séries tendent donc vers une limiU commune ; et c'est cette limite commune, parfaitement déterminée, que l'on convient d'appeler la racine carrée de 2, et que l'on désigne par le symbole V^*
Il résulte de cette définition, que la racine carrée de 2 est comprise entre deux termes de même rang pris dans les deux séries. 11 est donc naturel de dire que ces deux termes sont des valeurs approchées de la racine, Vune par défaut, rautre par excès ^ et que l'erreur est moindre que leur différence^ qui peut devenir d'ailleurs aussi petite que l'on voudra. Ainsi i,4i4 et i,4i5 sont des valeurs approchées de \/2,à moins de 0,001 près, puisque V2 est comprise entre elles.
On doit encore remarquer, que chacun des termes de la première série est le plus grand nombre d'unités d'un certain ordre décimal, dont le carré soit contenu dans 2. Ainsi i4i4 millièmes forment le plus grand nombre de miUièmes dont le carré soit inférieur à 2. On dit, en conséquence, que i4i4 millièmes forment le plus grand nombre de millièmes contenus dans la racine carrée de 2.
Ces considérations nous conduisent à la définition générale
des racines carrées par approximation. Il semble naturel de nommer racine carrée d'un nombre^ à une approximation donnée, tout nombre qui diffère de la racine incommensurable du nombre d'une quantité moindre que l'approximation donnée. Par exemple, la racine de 2, à moins d'un millième près, serait un nombre qui différerait de sji de moins d'un millième. Mais cette définition ne déterminerait pas suffisamment ce nombre ; car tous les nombres compris entre i,4i4 et i,4i5 remplissent la condition exigée. On a donc dû modifier la définition, et Ton a adopté la suivante:
La racine carrée cFun nombre, à une approximation donnée, par exemple, à -^prés, est le plus grand multiple de un douzième dont le carré soit contenu dans le nombre donné. Ce multiple est évidemment unique; il est moindre que la racine incommensurable : le multiple suivant est supérieur à cette racine. Le premier est nommé la racine approchée par défaut, et le second la racine approchée par excès.
305. Extraire la racine carrée d'un nomrre, avec une APPROXIMATION DONNÉE. Par exemple, extraire la racine carrée d'un nombre quelconque N, à moins de ^^ près. Il s'agit, d'après la définition (304), de trouver le plus grand nombre de douzièmes dont le carré soit contenu dans N. 11 s'agit donc,
en désignant par — le nombre cherché, de satisfaire à la double inégahté
c'est-à-dire à — , < N < — — ^ •
Or, on n'altère pas le sens de ces inégalités en multipliant les trois termes par 12'''; il suffit donc de satisfaire à la double inégalité
X^ <NX 12^ < (^-h l)*.
Ceci exprime que le produit (NX12') est compris entre le carré du nombre entier x et le carré du nombre entier suivant (a; H- 1). Par conséquent x est la racine du plus grand carré entier contenu dans (Nx 12^).
Ce raisonnement, évidemment général, conduit à la règle suivante :
Pour extraire la racine carrée d'un nombre quelconque, à une approximation donnée sous la forme d'une fraction dont le numérateur est l'unité, on multiplie le nombre par le carré du dénominateur de la fraction qui indique F approximation; on extrait la racine du plus grand carré entier contenu dans le produit, et Von donne à cette racine pour dénominateur le dénominateur de r approximation.
On ramène ainsi l'extraction de la racine carrée d'un nombre, à une approximation donnée, à l'extraction de la racine d'un autre nombre , à une unité près.
306. Applications. 1° Casou le nombre est entier. Exemple: extraire la racine carrée de 6 à y^ près. On applique simplement la règle précédente. Le produit 6x i44 = S64; la racine du plus grand carré entier (290) contenu dans 864 est 29; et par conséquent, || est la racine approchée par défaut, à moins ^^ h) fi est la racine approchée par excès.
2o Cas ou le nomrre est une fraction ordinaire. Exemple : extraire la racine carrée de ^^ à moins de ^^g près. Le produit ^ X 10^ est égal à --A—, ou à ^|-, ou, en extrayant les entiers , à 98 :j%. Or le plus grand carré entier contenu dans 93 Yï ^5f le même que le plus grand carré entier contenu dans 93. Car, si le plus grand carré entier contenu dans 93 est 81, de telle sorte que l'on ait
comme 93 et 100, qui sont entiers, difTèrent au moins d'une unité, on peut ajouter ^^k 98, et l'on a encore
ce qui démontre la proposition. On néglige donc la fraction complémentaire {^, on extrait la racine du plus grand carré contenu dans 93, laquelle est 9; et ^ est la racine de /^, à :i^ près par défaut ; f9 est la racine par excès. La règle, dans ce cas, se résume ainsi : On multiplie la frac-
lion par le carré du déno^ninafeur de r approximation y on extrait les entiers du produit, on extrait la racine du plus grand carré contenu clans ces entiers, et Von donne à cette racine le dénominateur de V approximation.
Si le nombre donné est un nombre décimal, la règle est la même. Exemple : extraire la racine de 3,76 à J près. Le produit 3^76 X B^ := 240,64; la racine de l'entier 240 est i5, par défaut. La racine approchée est donc -^, à moins de | près, par défaut.
