Cas ou le nombre donné est incommensurable. Par

exemple , extraire la racine carrée de V2, à moins de i, près. On multiplie d'abord V^ par 49^ et Ton cherche le plus grand nombre entier contenu dans ce produit. Pour cela,

on remarque (277), que (s/2 x 49)' =^ 2 x 49^ = 4^02, et que, par conséquent, le plus grand nombre entier cherché est la racine du plus grand carré contenu dans 4802, c'est-à-dire 69. On extrait donc la racine carrée de 69, qui est 8, à une unité près; et f est la racine carrée àe\f^,k\ près par défaut.

308. Cas ou l'approximation est donnée par une fraction DONT le numérateur n'est PAS l'unité. Par exemple, extraire la racine d'un nombre N, à moins de \ près. On doit entendre par cette racine le plus grand multiple de f dont le carré est contenu dans N. Si donc on désigne le multipHcateur inconnu par X, il faut satisfaire à la double inégahté :

{~X^' < N < j-X(^-hi) »

ou :

et, pour cela, il est nécessaire et suffisant, qu'en divisant par - j , ou en multipliant par (?j » on ait:

^^ <Nx (^y <(x-{- if.

Cette double condition exprime que, si Ton multiplie le

nombre donné par le carré de Tapproximation renversée, le produit doit être compris entre le carré du multiplicateur inconnu x et le carré du nombre entier suivant [x H- i). Le nombre x est donc la racine du plus grand carré entier contenu

dans le produit N x ( ^ ) -Et l'on est ainsi conduit à la règle

Muliipluz le nombre donné par le carré de V approximaiion renversée, extrayez la racine du plus grand entier contenu dans te produit, etmultipliez celte racine par la fraction qui exprime r approximation .

Par exemple^ extraire la racine de 2 | à | près. Le produit

3 /qV i3 81 io53 ^ i3 2pX - =-^x-y- = =52—;

la racine de ^2 est 7 par défaut. La racine cherchée est donc 7 X I, ou ^/ ou I I, à moins de f près, par défaut. La racine par excès serait 8 X |^ ou ^^, ou i |.

Un raisonnement analogue montre que, si Von demande la racine carrée de N, à moins de 3 unités prés, par exemple, on doit encore multiplier Npar le carré de l'approximation renversée, c'est-à-dire par {^)^^ extraire la racine du plus grand carré entier contenu dans le produit, et multiplier cette racine par 3.

Exemple : extraire la racine de 2o3 fà moins de 3 unités. Le produit de 2o3 | par {^f est 22 Jf ; la racine de 22, à moins d'une unité, est 4 par défaut ; et par suite, la racine cherchée est 4 X 3 ou J2, par défaut : elle est 5 X 3 ou lo, par excès.

309. Cas ou l'approximation est donnée en décimales. Pour ce cas, la théorie est la même ; mais ia règle présente des simpHAcations, qui résultent des méthodes de calcul propres aux nombres décimaux.

1» Le nombre donné est entier. Par exemple, extraire la racine carrée de 12 à 0,01 près. Le produit de 12 par 100^ est 120000 : la racine de 120000, à une unité près, est 346; et par conséquent la racine de 12 à o,ot près, est 3;46 par défaut; elle serait 3,47 P^i" excès.

La règle se réduit donc à cette prescription: Chi écrit, à la droite de rentier, deux fois autant de zéros que Von désire avoir de chiffres décimaux dans la racine : on extrait, à moins d'une unité, laracine du nombre ainsi obtenu, et l'on sépare, sur la droite du résultat , le nombre de chiffres décimaux qu'indique V approximation.

2*^ Le nombre donné est fractionnaire. S'il n'est pas décimal, on le réduit d'abord en fraction décimale. Soit, par exemple, à extraire la racine carrée de 6^47282. . . à 0,1 près. Le produit du nombre par 10^ est 647,282. . . L'entier contenu dans ce produit est 647, et sa racine, à moins d'une unité, est 20 : la racine cherchée est donc 2,5 à 0,1 près, par défaut.

Règle. On réduit, s'il y a lieu, le nombre donné en fraction décimale, et l'on y conserve deux fois autant de chiffres décimaux que Von désire en avoir à la racine : puis on extrait la racine carrée du résultat, à moins d'une unité prés, en faisant abstraction de la virgule, et l'on sépare sur la droite le nombre de chiffres décimaux qu^exprime i approximation.

3^ Le nombre donné est incommensurable. On cherche d'abord une valeur approchée de ce nombre en décimales, en calculant deux fois autant de chiffres décimaux que la racine doit en avoir, et Von applique la règle précédente.

Par exemple, pour extraire, à moins de 0^0 1 près, la racine

carrée de Vs, on évalue d'abord \/2 à moins de 0,0001, et Ton trouve 1,4142. On extrait la racine de 14142, qui est îï8, par défaut; et 1,18 est la racine de \/2 à 0,01 près, par défaut; 1,19 est la racine approchée par excès.

EXERCICES

L Extraire les racines carrées des nombres suivants, écrits dans le système décimal : 1° 4273 ; 2® 58437; 30 6723954358.

(Rép. : I0 rac. 65, reste 48; 2» rac. 241, reste 356; 3° rac. 81999, reste ÏÎ8357.)

II. Extraire, à moins de 0,001 près, les racines des nombres suivants^ écrits dans le système décimal : 1» 38; 2° 7,39; 3° 15,78249673; 4o o,o5; 50 o,oo3.

(Rép. : 1" 6,164 ; 2o 2,718 , i" 3,972 ; 4 o,2i3 , S^ o,o54.)

III. Extraire, à moins de -^ près, les racines carrées des nombres suivants, écrits dans le système décimal : 1° 7 ; 2» 3 -jL; 3° 5,29.

(Rép. : 10 .?! ou •.^^■, 2" 1} ou if ; 3o M ou 2f.)

IV. Extraire, à moins d'une unité, les racines carrées des nombres suivants, écrits dans le système dont la base est huit : î» 572 ; 2» 435426 ; 30 1234560 j 40 76543210.

(Rép. : lo 23 ; 2° 376 ; 3o im ; 4» 7725.)

V. Extraire, à moins de 0,01, les racines carrées des nombres suivants, écrits dans le système dont la base estdouze ; 1« a3 ; 204-^.^'- ; 3'^ irx4Sc)^4*

(Rép. : I0 a, 19; 2o 74, i5; 3» 2753,36.)

VI. Extraire^ à moins de ^, les racines carrées des nombres suivants, écrits dans le système dont la base est neuf : '!<* 47 ; -" ^ ; 3» 5^.

(Rép. : 1o i^ ou 6^ ; 2o | ou | ; 3» 1^^ ou si.)

VII. A l'inspection du chiffre qui termine un nombre écrit dans le système dont la base est l'un des nombres 4, 5> 6, 7, 8 ou 9, reconnaître si le nombre ne peut pas être un carré parfait.

(Rép. : On raisonnera comme au n» 297.)

VIII. On donne les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, égaux, l'un à i3 toises, l'autre à 11 toises 4 pieds 5 pouces. Calculer l'hypoténuse de ce triangle en anciennes et en nouvelles mesures. (Concours général de 1867, classe de troisième.)

(Rép. : On sait que le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit; et l'on trouve que l'hypoténuse vaut 17 toises 3 pieds I pouce exactement, ou 34'",i35 à un millimètre près.)

IX. Calculer le côté d'un carré dont la surface est égale à 597 hectares 38 ares 56 centiares. (Rép. : 2474^,40 à i centimètre près.)

X. Trouver deux nombres, sachant que leur somme est 73, et que la différence de leurs carrés est 1679. (Rép. : 48 et 25.)

XL Un jardinier veut faire un carré plein de tulipes : s'il met un certain nombre d'oignons de front, il lui reste i3 oignons sans emploi ; mais pour pouvoir mettre un oignon de plus de front, il lui en manque 8. Combien avait- il d'oignons de tulipe? (Rép. : ii3 oignons.)

XII. Un colonel veut ranger son régiment en carré plein j il essaye de deux manières. D'après la première, il lui reste 39 hommes ; mais, pour mettre un homme de plus sur chaque côté, il lui manque 5o hommes. De combien d'hommes se compose le régiment? (R. : 1975 hommes.)

XIII. Trouver un nombre entier tel que son carré le surpasse de 3o6 (R. : 18.)

XIV. Trouver un nombre tel qu'en l'ajoutant à 94 et en l'en retranchant successivement, le produit des deux résultats soit égal à 85i2. (R. : 18.)

lUI

XV. Trouver le nombre entier qui, ajouté à sa racine carrée, donne pour résultat i332. (R. : 1296.)

XYI. Les principales planètes qui tournent autour du soleil sont : Mercure, Vénusj la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. Leurs distances moyennes au soleil sont respectivement: Mercure 0,3871 ; Vénus o,7233; la Terre i; Mars 1,5237; Jupiter 5,2028; Saturne 9,5389; Uranus 19,1826 ; Neptune 30,0370. La durée de la révolution sidérale de la terre autour du soleil est 365j, 2563744- On demande de calculer les durées des révolutions sidérales des autres planètes, sachant que, d'après la troisième loi de Kepler, les carrés de ces durées sont entre eux comme les cubes des moyennes dislances? (R. : Mercure 873,969 ; Vénus 2243,701 ; Mars 686j,98o; Jupiter 433 2J, 585; Saturne 107593,220,' Uranus 3o686J, 821; Neptune 6oi26j,72.)

XVIL Les quatre satellites de Jupiter obéissent àla même loi, en tournant autour de la planète. Leurs distances au centre de Jupiter sont respeciivement 6,o485 ; 9,6235 ; i5,35o2 ; 26,9983 (Tunité est le rayon de la planète). Déterminer les durées des révolutions des trois premiers, sachant que la durée de la révolution du dernier est i6J,6888. (R. : 1er satellite, ij,769i ; 2"^* 3j,55i2 ; Sm* 73,1546.)

XVÏll . Si l'on multiplie un carré entier quelconque par le nombre entier qui le précède immédiatement, le produit est divisible par 12. (R. ; Application de la théorie des nombres premiers et de la décomposition en facteurs.)

XIX. Si l'on multiplie un carré entier quelconque par le nombre qui le précède et par celui qui le suit immédiatement, le produit des 3 facteurs est divisible par 60.

XX. On vérifie aisément que la somme des nombres entiers i, 2, 3, etc., est égale à la moitié du produit du dernier nombre entier de la suite par ce-

lui qui viendrait après lui. (Ex.

i}-2== , 14-2 + 3 -= , etc.)

En admettant que cette loi est vraie pour un certain nombre de termes, on propose de la démontrer généralement, lorsque la somme comprend un terme de plus.