I. FORMATION DES CUBES

310. Règle. Le cube cVun nombre se forme en multipliant le carré du nombre par le nombre lui-même. Il n'existe pas de règle abrégée pour le calculer.

Le cube de i5est i;?x i5, ou 3375.

Le cube de f est (f)' X f , ou

Le cube d'une fraction irréductible est aussi une fraction irréductible : car les termes de la fraction donnée étant premiers entre eux, il en est de même (121 , 2o) de leurs cubes.

311. Les cubes des neufs premiers nombres sont renfermés dans le tableau suivant :

Nombres i, 2, 3, 4? ^? ^? 7» 8, 9. Cubes I, 8, 27^64, 125^ 216^ 343, 012^ 729.

Le cube d'un nombre composé de Vunité suivie de plusieurs zéros est égal à Vunité suivie d'un nombre triple de zéros.

Exemple : 100^ = 1 000000.

Le cube d'un nombre formé par un chiff^^e Quelconque suivi de plusieurs zéros est égal au cube de ce chiffre suivi d'un nombre triple de zéros.

Exemple : 5oo^ = 120000000.

312. Principe. Lorsqu'un nombre est décomposé en deux parties, son cube se compose : V du cube de la première partie; 2o du triple produit du carré de la première partie par la seconde ; ^'^ du triple produit de la première par le carré de la seconde ; 4^ du cube de la seconde.

Considérons, en effets un nombre 24 comme composé de deux parties 18 et 6 : nous savons déjà (280) que

(18 + 6)2=1:18^+ (2 fois 18x6)4-6^;

multiplions ce carré par (18 -f G) pour former le cube : le produit par 18 sera

18=5 + (2 fois 18^x6) + (18 x()'^); le produit par 6 sera

(18^X6) + (2 fois 18 x62) -4- 6^

Le cube sera donc

243 = i8^' + (3fûisi82x6) + (3foisi8x6^) + 6^ C.Q.F.D.

313. Corollaire. Lorsqu'un nombre est décomposé en dizaines et unités, son cube se compose de quatre parties qui sont: if> le cube des dizaines ;^° le triple produit du carré des dizaines par les unités; 3" le triple produit des dizaines par le carré des unités ; 4*^ le cube des unités.

Exemple :

4f =z (4 dizY + [3 fois (4 dizf X 7] -h (3 fois 4 diz x f) + 7^

11 faut remarquer 1^ que le cube des dizaines est un nombre entier de mille, que l'on obtient en faisant le cube du nombre des dizaines : ainsi le cube de 4 dizaines ou de 40 unités est 64000 ou 64 mille.

2^ Que le triple produit du carré des dizaines par les unités est un nombre entier de centaines, que Ton obtient en multipliant le triple carré du nombre des centaines par le chiffre des unités : ainsi 3 fois le carré de 4 dizaines multiplié par 7 est égal à 3 fois (40)'-X7 ou à 336oo, ou à 336 centaines.

3*^ Que le triple produit des dizaines par le carré des unités est un nombre de dizaines. Ainsi 3 fois 4 dizaines multiplié par 7* est égala 12 dizaines x 4g, ou h 588 dizaines.

314. Autre corollaire. La différence entre les cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale à trois fois le carré du plus petit des deux nombre's, plus trois fois ce plus petit nombre, plus un.

Soient, en effet, deux nombres entiers consécutifs, 17 et 18. On peut considérer 18 comme égal à (17 -h i), et alors (312)

18^ est égal à ïf -\- (3fois ifx i) -f- (3 fois 17X1^) + I^ ou simplement à 17^ H- (3 fois 17^) 4- (3 fois 17) H- i : c'est ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. Cette différence peut s'écrire: 3 fois i7X(i 7+1) 4" ï> ou (3 fois 17X18) + 1. Elle est donc égale au triple produit des

deux nombres, plus un.

§ II. EXTRACTION DE LA RACINE CUBIQUE d'uN NOMBRE ENTIER.

315. Principe. Lorsqu'un nombre entier n'est pas un cube parfait, c'est-à-dire n'est pas le cube d'un autre nombre entier, il n'existe pas de nombre fractionnaire dont le cube reproduise le nombre donné .

La démonstration est complètement analogue à celle à\i n° 283; nous y renvoyons le lecteur.

316. Définition. Lorsqu'un nombre n'est pas un cube parfait^ on nomme racine cubique de ce nombre, à moins d'une unité près, par défaut, la racine du plus grand cube entier contenu dans le nombre.

Le problème que nous allons résoudre consiste à déterminer la racine cubique exacte d'un nombre entier quand elle existe, ou la racine, approchée à moins d'une unité, quand la racine exacte n'existe pas. Dans ce dernier cas, l'excès du nombre sur le cube de la racine approchée se nomme le reste.

Nous distinguerons cinq cas dans l'extraction de la racine cubique des nombres entiers.