TABLEAU ABRÉGÉ

Comme 97432 est compris entre 1000 et loooooo dont les racines sont 10 et 100, la racine , exacte ou approchée, de ce nombre est comprise entre 10 et 100. Elle se compose donc de deux chiffres, un chiffre de dizaines et un chifTre d'unités ; et son cube contient par suite (313) quatre parties, savoir : le cube des dizaines, le triple produit du carré des dizaines par les unités, le triple produit des dizaines par le carré des unités, et le cube des unités.

Le nombre 97432 contient ces quatre parties, et peut-être un reste. Or, le cube des dizaines de la racine est (313) un nom-

bre entier de mille, qui doit se trouver exclusivement renfermé dans les 97 mille du nombre. On est donc amené à séparer les trois chiffres 4^2 sur la droite; et nous allons prouver que^ si Von extrait la racine cubique du plus grand cube contenu dans 97; considéré comme représentant des unités simples, le chiffre 4, ainsi obtenu, est, sans essai, le chiffre des dizaines de la racine. En effets dire que 4 est la racine du plus grand cube contenu dans 97, c'est dire que Ton a

97 pourrait être égal à 4% mais il est inférieur à 5' au moins d'une unité, puisqu'il s'agit de nombres entiers. Si Fon multiplie les trois nombres par looo, on n'altère pas le sens des inégalités, et Ton a

mais les deux derniers nombres diffèrent au moins d'un mille- Si donc on ajoute à 97000 les 432 unités qui complètent le nombre donné, et qui ne valent pas un mille, 97432 reste, malgré cetle augmentation, inférieur à 5' x 1000; et il reste ou devient supérieur à 4^X 1000. Ainsi

/pX 1000 < 97432 < 5-^x 1000.

De là on doit conclure que le plus grand cube contenu dans 97432 est au moins 4^ X 1000, c'est-à-dire (4 X lo)'^, et qu'il est inférieur à (5xio)^ Et, par suite, la racine cubique, exacte ou approchée, de 97432 se compose de 4 dizaines et d'un certain nombre d'unités moindre que 10. C. Q. F. D.

De là résulte cette règle : Pour trouver le chiffre des dizaines de la racine, séparez trois chiffres vers la droite, et extrayez (317) la racine du plus grand cube entier contenu dans la tranche de gauche : cette racine est h chiffre des dizaines cherché.

Puisque la racine renferme 4 dizaines, son cube renferme le cube de 4 dizaines ou 64 mille. Si l'on soustrait ces 64 mille de 97432, le reste 33432 ne contient plus que les trois autres parties du cube, et le reste possible. Or le triple produit du

ç>iS LIVRE V. — CHAPITRE II.

carré des dizaines par les unités est un nombre entier de centaines, qui doit être exclusivement contenu dans les 334 centaines du reste. On est donc amené à séparer les deux chiffres 32 sur la droite. D'un autre côté^ le triple du carré des 4 dizaines est 4^ centaines ; c'est Tun des facteurs du produit du triple carré des dizaines par les unités. Si donc 334 centaines ne contenaient pas autre chose que ce produit, on diviserait 334 centaines par 48 centaines, ou, ce qui est la même chose, 334 par 48; et le quotient 6 ainsi obtenu serait le chiffre des unités. Mais il peut arriver que, outre le produit dont il s'agit, 334 centaines renferment des centaines provenant des deux dernières parties du cube et du reste; il en résulte qu'en divisant 334 par 48, on s'expose à trouver pour quotient un chiffre plus fort que celui des unités, chiffre qu'il devient dès lors nécessaire d'essayer.

Ce raisonnement, évidemment général, conduit à la règle suivante : Après avoir trouvé le chiffre des cUzaiîies, retranchez son cube de la tranche qui Va fourni, et, à côté du reste, abaissez la tranche de droite du nombre donné; puis séparez deux chiffres à droite du nombre ainsi obtenu, et divisez la partie qui reste à gauche par le triple carré du chiffre trouvé à la racine. Le quotient obtenu est le chiffre des unités cherché, ou un chiffre trop fort, qu'il faut essayer.

Le quotient de 334 par 48 est 6. Pour essayer ce chiffre, on pourrait simplement le placer à droite des dizaines trouvées, et former le cube du nombre 46 ainsi obtenu ; il est évident que, si ce cube peut se soustraire de 97432, c'est que le chiffre 6 est bon, et que la racine cherchée est 46 ; si, au contraire, la soustraction est impossible, c'est que le chiffre est trop fort.

Mais l'essai est plus rapide de la manière suivante : On triple le chiffre 4 des dizaines, et, à côté de ce triple qui est 12, ow place le chiffre à essayer; on obtient 126, et Ton donne ainsi à 12 sa valeur relative 12 dizaines. Puis on multiplie 126 par le chiffre 6 qiCon essaie, ce qui donne 'j^Q; et F on ajoute ce produit au triple carré des dizaines, c'est-à-dire à 48 centaines, ce qui donne 5556. Enfin on multiplie la somme par le chiffre 6,

el le produit 33336, si le chiffre essayé est bon, doit pouvoir se retrancher du reste 33432. Eu effet, si Ton désigne par d les dizaines de la racine prises avec leur valeur relative, et par u les unités qu'on essaie, on voit aisément que

126= 3 d -h u, que 756 zzz '5 dxu -{- it^, que, par suite, 5556 = 3 fP -h 3d X w -I- w^ et qu'enfin 33336 = 3 d' X u -h .'5 d X u' -h u\

Ce nombre est donc la somme des trois dernières parties du cube de (d-hn). Il doit donc, si le chiffre ii n'est pas trop fort, pouvoir se retrancher de 33432, qui contient ces trois parties. Et 5/ la soustraction est impossible, on doit en conclure que le chiffre essaijé est trop fort : il faut le diminuer d^une unjté, et recommencer Vessai,

Dans l'exemple proposé, la soustraction est possible, et donne pour reste 96. La racine approchée est donc 46, et le reste 96.

La règle que nous venons d'exposer se compose, on le voit, de trois parties distinctes : i» la recherche du chiffre des dizaines, à l'aide d'une racine cubique simple ; 2° la recherche du chiffre des unités, à l'aide d'une division ; 2"" l'essai de ce dernier chiffre.

On dispose le calcul, comme on le voit plus haut (tableau du calcul) ; et Ton abrège l'écriture, comme on le voit dans le second tableau ( tableau abrégé.)

321. RÈGLE POUR FORMER LE TRIPLE CARRÉ DE LA RACINE TROU- VÉE. Il sera nécessaire, dans le cinquième cas, de connaître le triple carré de la racine déjà trouvée, pour continuer l'opération. Or ce triple carré se déduit immédiatement des nombres que les détails du calcul amènent successivement. Supposons,

en effet, qu'après avoir achevé I 26 l'opération du n° précédent, dont 6 nous reproduisons le tableau, on veuille former le triple carré de /\6. On place le carré 36 du chiffre des unités sous le nombre 5556

qii'on a obtenu précédemment , et Von ajoute les trois nombres superposés 756^5556 et 36.

La somme est le triple carré cherché. En effet,

'j56= 3dxu-i-u^

j556=3d''-h^dxu-hn'

Donc6'54S=3d--\-6dxu-h'du'=3{d^-\-2dxu-hu^)='d{d^u)\

C'est ce qu'il fallait démontrer.