Cinquième cas. Le nombre entier est supérieur à

lOOOOOO.

Proposons-nous d'abord d'extraire la racine cubique du nombre 632487359 qui est compris entre un million et un biUion.

TABLEAU DU CALCUL

Ce nombre étant plus grand que 1000, sa racine cubique, exacte ou approchée, est plus grande que 10 : elle renferme des dizaines et des unités, et son cube contient les quatre parties que nous savons (313). Or le cube des dizaines est un nombre entier de mille, qui est exclusivement contenu dans les 632487 mille du nombre. On est donc amené à séparer les trois chiffres 359 sur la droite. Et Ton prouve, comme au n° 320, que si l'on extrait la racine du plus grand cube entier contenu dans 632487 ; considéré comme représentant des unités simples, cette racine forme les dizaines de la racine cherchée. Or on sait trouver (320) la racine du nombre 632487 qui n'a que six chiffres ; on applique donc la règle, et l'on obtient 85 pour racine et 18362 pour reste. La racine cherchée comprend donc 8^ dizaines.

Puisqu'en retranchant de 632487 unités le cube de 85 unités, on obtient pour reste i8362 unités, il est clair qu'en retranchant de 632487 mille le cube de 85 dizaines, on aura pour

reste i(S362 mille ; et ces t83(S2 mille^ ajoutés aux 3^39 unités qu'on avait isolées, forment un nombre ^S'^62'^C)C}y qui ne contient plus que les trois autres parties du cube et le reste possible.

Or le triple carré des dizaines multiplié par les unités est un nombre entier de centaines, qui doit se trouver exclusivement contenu dans les i83623 centaines du reste. On est donc amené à séparer les deux chiffres 5ç) vers la droite. D\m autre côté^ le triple carré des dizaines de la racine est 21675 centaines (on l'obtient par le procédé rapide du n» 321) : c'est Tun des facteurs du produit. Si donc 1 83623 centaines ne contenaient pas autre chose que ce produit, on diviserait i83623 centaines par 21675 centaines, ou, ce qui est la même chose, i83623 par 21675; et le chiffre 8, trouvé au quotient, serait l'autre facteur^ c'est-à-dire le chiffre des unités. Mais, outre le produit dont il s'agit, les i83623 centaines peuvent contenir des centaines provenant des deux dernières parties du cube et du reste. 11 en résulte qu'en divisant i83623par 21675, on s'expose à trouver au quotient un chiffre plus fort que le chiffre des unités, chiffre qu'il devient nécessaire d'essayer.

L'essai, d'ailleurs, se fait et se raisonne comme au n» 320 . on place le chiffre 8, qu'on essaye, à droite du triple des 85 dizaines, et l'on multiplie le nombre 2558 ainsi obtenu par 8. Puis on ajoute le produit 20464 au triple carré des 85 dizaines, c'est-à-dire à 21675 centaines : et l'on multiplie la somme 2187964 par 8. Si le produit peut se retrancher du reste 18362359 (ce qui arrive ici), le chiffre 8 n'est pas trop fort; la racine est 858, et le reste est 858647- Si, au contraire, la soustraction est impossible, le chiffre essayé est trop fort; on le diminue d'une unité, et l'on recommence l'essai.

La méthode qui précède montre comment la recherche de la racine cubique d'un nombre qui a 7, 8 ou 9 chiffres, se ramène à la recherche de la racine d'un nombre qui en a trois de moins; et comment cette dernière une fois déterminée, on trouve, par un procédé uniforme de division, le chiffre des unités qui complète la racine cherchée. Un raisonnement complètement identique montrera comment on peut passer de la

^22 LIVRE y. — CHAPITRE II.

recherche de la racine d'un nombre qui a 7, 8 ou 9 chilTres, à celle de la racine d'un nombre qui a trois chiffres de plus, puis de celte dernière à celle de la racine d'un nombre qui en a encore trois de plus ; et comment, par suite, on pourra déterminer la racine cubique, exacte ou approchée, d'un nombre entier quelconque.

323. Règle. On est ainsi conduit à la règle générale suivante : Pour extraire la racine cubique d'un nombre entier^ exacte ou approchée à moins (Vune unité, on partage le nombre en tranches de trois chiffres, en allant de droite à (/awc/je (la tranche de gauche peut n'avoir qu'un ou deux chiffres, et le nombre des tranches est le nombre des chiffres de la racine). On extrait la racine cubique de la première tranche de gauche ; ce qui donne le chiffre des plus hautes unités de la racine. On soustrait de cette tranche le cube du chiffre trouvé ; et, à côté du reste, on abaisse la seconde tranche, dont on sépare deux chiffres sur la droite. Puis on divise la partie séparée à gauche par le triple carré de la racine trouvée ; le quotient est le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On l'essaie d'après la règle du n*^320. A côté du nouveau reste, on abaisse la troisième tranche, on en sépare deux chiffres à droite, et Von divise ce qui reste à gauche par le triple carré de la racine déjà trouvée: le quotient est le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On V essaye d'après la règle ^ et Ion continue ainsi jusqu'à ce que Von ait épuisé toutes les tranches du nombre, et déterminé, par une dernière division, le chiffre des unités de la racine elle reste final.

Si le reste est nul, la racine est exacte ; car on a alors retranché du nombre toutes les parties qui composent le cube de la racine.

Si Vune des divisions partielles est impossible, parce que Vun des dividendes partiels fournis par la règle est moindre que le triple carré de la racine déjà trouvée^ c'est que le chiffre correspondant de la racine n'est pas même i : on place un zéro à la racine, et deux zéros à droite du triple carré; on abaisse immédiatement la tranche suivante, et Von continue Vopération d'après la règle générale.

324. Remarque. Un chiffre^ trouvé à la racine, est trop faible, lorsque le reste quil fournit est égal ou supérieur à 3 fois le carré de la racine trouvée, plus 3 fois cette racine, plus un. Car cette somme est la différence qui existe entre le cube delà racine trouvée et le cube du nombre entier suivant (314).

325. Preuve. Pour faire la preuve de Vopéralion, on fait le cube de la racine trouvée^ et on ajoute le reste au résultat : la somme doit reproduire le nombre donné.

Pour faire la preuve j)ar 9, on cherche le reste de la division de la racine par 9, on en fait le cube, et l'on cherche de nouveau le reste de la division de ce cube par 9 : on note ce reste. Puis on retranche le reste de la racine du nombre donné, et l'on cherche le reste de la division de celte différence par 9 ; ce dernier reste doit être le même que celui qu'on a noté.

326. Remarque. Le reste de V opération peut varier entre 0 et un nombre égal à 3 fois le carré de la racine, plus 3 fois la racine, plus un: il peut donc être considérable par rapport à la racine, sans que pour cela la racine trouvée soit trop faible.