ie mcme, ce qnim'a donné 12, 62 a diviser
2 ^ par 4, 3o ; supprimant la virgule, j'ai divisé
1252 par 43o, j^ eu pour le quotient cherché a ^.
£ X E M ip L E XXX.
. Combien Ifturâ-t-bn d'aunes et de huitièmes d*aunes, pour 863^, •a C^ 42 l'aune?
663oo 642 II faut ici avoîir le quotient i moins dun
huitième près. Je rends le nombre des chiffres
i34 g- décimaux le même , et je supprime la virgule j 352 ' j'ai 863oo a diviser par 642, a moins d*iui
ii84o
8 iiuitième (99)> ce qui me donne i34|i
Exemple XXXI.
Diviser 2893, 47 P^ 29 > 56 > ^ moins d'un millième prcà.'
'2189347000 2966 II y a deux chiffres décimaux aii
233o7 — diviseur, et on veut en avpir troiis
261 5o 97; 884 au quotient; il faut donc qu'il y en
ii25o26 àitcmq au dividende, ce qui exigé
i3t2o que l'on y ajoute ttbis :^éros. Faisant
léoë la division comme celle des nombres
entiers , u vient 97884* ÏPartagelint trois chiffre^ décimaux au
quotient^ On a 97,884.
102. {[ Lorsqu^on n^a besoin de 'connoitre le quotient d^ane divi* BÎon 9 qge jusqu^à tin drgré dVkactitude proposé , oh peiit abréger le calcul par la méthode suivante. Nobs supposerons $d*àbord| iqu^on n*a beâoîn de Conooltre ce iquotîent, qu'à une ùbité près: tious ferons voir ensuite^ comment on doit appliquer la méthode pour Pavoir aussi près qu^on voudra : voici la règle.
Supprimez , êur la droite du dividende ^ autant de chiffres | moins vn , quM y en a da^is le diviseUr : faîtss ensuite la division comme à Tordinairè : s^il n^y a point de reste | vous mettrez à la suite du quotient) alitant de zéros qtie vous avez supprimé de chinVes dans le dividende. IV^ais s^il y a un reste, vous continuerez dé diviseib| teon pas pal: le même diviseur qu^auparavant, ce qui n'est pas posèible, mais par ce diviseur dont vous aurez supprimé le dernier chiflire dis la droite : aprèà cette division vous diviserez le nouveau
Co
sas SE MArnÉMJlTIQTIES. j^^^^H
teste, parle dlïi
eur précédent, dont vou
supprimcrezle dernier ^^H
chimeturUdto
te ! et vous continuerez
insi do diviser, en sup- ^^H a droite du diviseur. ^^H
primant à clia^uo
division , ua chiffre sur
EszMFtS XXXII. ^1
Or. Tent (iToir
, à moins d'une unité
près, le quotient de ^^Ê
8789236487 divi
é par 644^3. Je suppri
me les quatre derniers ^^H
chiffres ûs U dic
ite du dividende, et ie
divise 878923, par It ^^M
diviseur proposé 644^3.
-te^fl
et 4>434 pour reste : je ^^H
je troa?e, d^abord, i3 pour (juotient,
âiviaedoiicIes4>4Mi par6443> o^upp"
□ ant le dernier cliiffre 3 ^H
dn diviseur : j'ai
pour quotient 6 , que j ec
is à la suite du premier ^^|
qiiotieDCi3;etlc
este est 2772 , que je divise par 644 1 en suppri* ^^1
tuant encore un cl
iffrc sur la droite du di»iseur prirailif : j'at pour ^H
4BOtient4iq>>e jVcris àlasuiledii quotien
principal i36 ; le resta ^^H
estiçAjquEJedi
isepar64,en5uppnman
t encore un cbiffre dan. ^M
le diviseur : le quotient est 3 , et le re^te 4
Enfin je divise par 6, ^H
Bl jVî pour quo
ienl; en sorie que le qu
tient do 87S9236487, ^^M
divise par 644^3,
esti3643o,âmoinsd'u
e unité prèa. En effet j ^^M
le quotient exact
st .36430 |,^,V
lUVstpauînd
pensable d'écrire, à cl a
que foi*, comme nous J^M
l'avons fait, le »o
uveau diviseur; on peut
»•: contenter de barrer, ^^M
dans le diviseur p
rimiiif , clinqne chiffre à
mesure qu'on passe X ^^H
une nouvelle ilivis
on : ce n'a été que pour
rendre l'opération plus ^M
aeusibte.quenou
avons écrit ces diviseur
à cûcé dus restes suc-> ^^H
,o3. [Sileres
e de la première division
se trouvoit plus petit ^^H
quen'est le divise
r après qu'on a supiirim
le dénier chiffre, on ^H
mellroil zéro nu a
uotient ; et s'il se trouvo
t encore plus petit quo ^M
!.« .eroit ce divU
iir après qu'on en a en
ore 6té le dernier deal ^H
diiffres testans,
n mcttroit encoie un lér
au quotient, et «insi ^H
<lc suite.
E.TEMPI.B xxxni. ^g
Pour avoir,! m
oinsd'une unité près, le
quotient de 5Sic6o54 , ^^H
divisé par 6^3 , j
divise comme ù l'ordin
lire , la partie 55io6a ^^H
(|U« «Ste npiès hi
iiii>iJres*ioa des duii* dernicïfc thifftes du diii- ^^|
^«nde proposé.
48 CotKS DE MÀÏHÉSf^iïïl^ÎTB^li
3666 I 85701 45io 009 • • 64 9 • • 6
3*ai pour quotient 857 , et 9 potii: reste ; il faut ionc diviser ce leste ) par 64 seulement) comme 9 ne contient pas ce diviseur^je mets zéro au quotient > et j*ai encore pour reste 9^ que je divise pnr 6 seulement) en sorte que le quotient cberchéi est 85701 1 à moins d^une unité près. ]
io4> L ^^ 9 iorsqu^au corameuicemen); de Topération on supprime Sur la droite du dividende les chiffres que la règle prescrit de Supprimer) il se tk'ouve que les chiffres restans ne contiennent pas le diviseur 9 on supprimera tout de suite , sut la droite du diviseur , autant de chiffres qu^il est nécessaire | pour que le diviseur y soit contenu.
Exemple XXXIV.
On veut avoir j à moins d^iine unité pris | le quotient de 36115271 divisé par 64524*
Je supprime les quatre chiffres 1527 de la droite du dividende. Mais comme les chiffres restans 161 ne peuvent pas être divisés pa^ 164524 1 je supprime dans ce diviseur les trois derniers chiffres 524 y qui doivent être supprimés pour que ce diviseur soit contenu dans le dividende restant 161 ^ ainsi je divise 161 par 64 y en opérant commo dans Tezemple précédent |
33 . . 6 et pal 25 pour le quotient de 1611527, divisé par 64524 9 à moins d^une unité près : en effet) le quotient exact est 24 ^r qui est
beaucoup plus près de 25 que de 24* 3
)o5. [A missure qu^on supprime un chiffre dans le diviseur 9 il convient) pour plus d^exactitndo , d'augmenter d'une unité, le dernier de ceux qui restent 9 si celui qu'on supprime , eStau-déSsus de 5 ou égal à 5» On augmentera de même , d'une unité , (e dernier des chiffres qui restent dans le dividende, ap^ès la suppression ûao la règle prescrit , si ceux-ci surpassent ou 5 ) ou 60 , ou 5oo^ seioia. qu'il y en a 1 , ou 2 , oa 3 , etc.
Exemple XXXV.
On veut avoir, à moins d'une unité près'} le quotiisot de 8657627, diyisé par 1987.
E Matbêmatiçues' 1987, corame ils
le r«ste7topaT 1 98 seulement |
rnier chiffre 7, que je supprime»
pour la division suivante. Mais
est contenu 6 fois '- dans i3) est
jiio tient, pour ConpËOSfr.j
... . '-de voirce qu'il y.a à (aire, lor*.
, — le [juatîent beaucoup plus exactemi'nt. Pai
MPDiflc, si l'on vouloir avoir le quotîtrnt à un diS'nijilièine d'unité prêt, U question se r^duiroit à mettre autant de zëros (ici, ca Hinit quatre) à U suite du dividende , qu'on veut avnir de décînalei BU quotient, après quoi, on fera la division seloD la niéihudesctuelle. Et iorscju^on aura trouvé le quotient, à moins d^una - la droite, par une virgule, autant Je décimaU.
onité nrèï , >'»
^ chiffres qu'
Exemple XXXVI.
Oh vent avoir, à moins d'un diA-millième d'unité près, le quotient de 6927 , divisé par 4^32 ; je mets quatre zéros A la suite de ^937 «et la question &e Tédiiil k avoir , à moins d'une unité près, '^luotieiit de 69S70000, divisé par4â^3, c'est-à-dire, conformé-
'^luotieiit de 69S70000, divisé par 4^33, c'est-à-dire, conformé- *int la règle ci-dessus|, à diviser 69270 par 4^33) comme il suit , 69270 I 4^3a
loqnolient cherché est doi
, 5a85 , il moins d'ui ms leâiv
miiïië
..,__.__. le divi-
«Or,ôu dans tous les deui , on les rameneroil d'abord i n'en foint avoir , si-lnn ce qui a «lé dit ( lOi } , après quoi on opéreroit dans ce dernier enemple.
iloit réduire une Tiaction proposée en décimales.
Donc si I On y parviendroit p à ce qui a été dit {104 ).
itréd
Lpte»
proposée; en ueMnitiicv, métliode , ayant égard
I Ainsi ,
3 d'un
>il1iè
... 9678; ce qui C»OS).
thttieliqite.
rei'^ endccimale:
e U'unité p:
en evoirU va-
, 4^53000 à di-
diviser 4-^3, pai
oo (io4) à diviser 4353 par 968 > lelon la méthode actoelle, Chl trouvera donc 4^9) en sorte qu'on aura 0| 4^9 pour la valeur de ^^ à moins d'un millième près. 3
107. [Il pourroit arriver néanmoins que le quotient trouvé d'après ces règles | fût fautif de 1 9 a^ ou 5 unités dans le dernier chiffre* Quoique ce cas doive se rencontrer très-rarement ) il nVst pas inutils de faire observer qu'on peut toujours le prévenir iacilement 9 en n'en séparant | au commencement de l'opératioii , sur la droite du dividende^ qu'autant de chiffre^ moins deux, qu'il y «n a dans le diviseur , et opérant du reste comme ci-dessus. I«ossque le quotient sera trouvé 9 ou en supprimera le dernier chiffre y en obaenraot d'ajouter une unité au dernier de ceux qui vosteroBt f û eehii 'qu'on supprime est plus grand que 5. ]
' RSMA&QVÈ)
108. On counence Faddidon, la soustraction et la Aitihi^ jiJication par la droite, parce que si on les commençoit par la gandie, et'TO'H y eût des retenues, en opérant sur les chiffres k "la droite, elles obligerôient de changer les chiffres déjà trourés, an lien qu'en commençant par la cbroîte, il ny a point a revenir sur les chiffres (^tenus.
. . xpg* Allégard de la division, on la commence par la gauche, parce que Ton est sur , de cette manière , de chacun des chiffres du quotient, k. mesure qu'on les obtient; au lieu que si on commençoit par la droite , lorsque le quotient doit avoir plu- (sieurs chiffres , comme rien n'indique quelle valeur il faudrok donner au chiffre des imités , on seroit obligé d'essayer 9 ; et de même pour les autres successivement : alors la réunion des quotiens partiels domieroit le quotient total. Mais l'opération seroit alors beaucoup plus longue , et ce ne seroit qu'après «ne addition que l'on auroit la véritable valeur des chiffites du quotient, tandJ3 ^e la méthode ordinaire la donne immédiaicxiient;
Clyv^B DE Mai-hémàtiqùés. Si
Exemple XXXVII.
Diviser^ en commençant jpar la droite, iBiiSSSj par 2354.
i5xï3353 î 5088571 1484071 i236t»i ^346
2754 Comme jlgnore (juelle est la valeur
———du chiffre des unités, j'essaie 9 : la
4999 multiplication faite et la soustraction ,
399 il reste 1 508867 1 . J'essaie 9 au chiffre
89 des dixaines : la multiplication faite et
'j^7~ la soustraction , il reste 1^8407 1 1 . Je
X 3461 II H03 laisse ce dernier chiffre sans labais- 1 3^1 325 ser, parce que je n'en ai pas besoin
107346 a présent. Ressaie 9 aux centaines,
2472 multiplication et soustraction faites, j'ai pour
""^ 77* reste 12362111 ; mais je vois çue je ne puis ^^7^ mettre plus de 4 aux mille, sans q^oi j'aurois
222479 yj^ produit plus grand que le dividende par- •^'^ tiel 12362111s Je niets donc 4, multîpBcaiReste 2i5q ^^^ ^^ soustraction faites, j'ai pour reste *^ 1 3461 II. Ce reste étant encore plus grand que le diviseur , je le divise par le diviseur 2754, en ope-» rant comme ci-dessus , j'ai pour nouveau quotient 399 , et pour reste 247^^65. Ce reste étant encore plus grand que le diviseur , je continue de le diviser de la même manière , j'ai pour quotient 89, et pour reste 2159. ^ quotient total est donc 5487, somme des trois quotiens partiels, et le reste de la division est 2159. Ce procédé seroit susceptible de quelques simplifications , mais auxquelles il seroit bien inutile de s'arrêter, l^ous nous bornerons a dire que , par la méthode ordinaire , nous aurions eu seulement quatre ^oï^y^^cf/p»^^ et par celleci, nous en avons eu neuf.
Preui^e de la Multiplication et de la DiwîoH^
no. Pour faire la preuve de la multiplication, on peut diviser le produit par lUi de ses facteurs-, et on doit trouver l'autre au quotient.
[Par exemple, ayant trouvé cî-dessijs (66) que 2864, mmtiplié par 6, a donné 17184, je divise 17 184 par 2864; je dois trouver , et je trouve en effet , 6 pour quotient. ] »
iij. Pour faire la preuve de la division, on peut multiplier k diviseur et le quotient luu par l'autre, et on doit trouver pour produit Iç duvidesidç^
52 Cours bk Mkrn'Èuk'riqtstiSi
[Par exemple, nous avons trouvé ci -dessus (gS) que 189492, divisé par 875, donnoit 5o5 pour quotient et ht pour reste; en multipliant 3^5 par 5o5, on trouve 18937 5, auquel ajoutant le reste 117 , on retrouve le dividende 189492-
La raison de ces deux preuves est évidente d'après ta définition de la division (79).
[ Ainsi la multiplication et la division peuvent se servir de preuve réciproquement. ]
112. On peut aussi faire la preuve de la multiplication par la multiplication, en prenant le multiplicateur pour le mutti-
Slicande, et réciproquement ; on doit trouver le même prouif, abstraction faite de la nature des unités (5o).
Caractères de dwisihilite' des nombres par 2,3,5,9eMi; moyen de trouver le reste quand la^dwision ne se fuit pas exactement.
Nombres 2 et 5.
1 1 3. Tout nombre est dwisible par a ou par 5 , quand le chiffre de ses unités est dii^isible par 2 ou par 5.
En effet , tout nombre est décomposable en dixaines et mutés : les dixaines forment toujours un multiple de 2 et de 5 puisque chaque dixaine vaut % )c 5 ; donc quand le chiffre des imites est un multiple de 2 ou de 5, le nombre tout entier est aussi un multiple de 2 ou de 5.
Et si le dernier chiffre n'est pas im multiple de 2 ou de 5 ^ le reste que Ton trouvera en divisant le nombre par 2 ou par 5 , sera le même que celui que donnera le dernier chiffre divisé par 2 OH par 5,
Nombre 9,
ii4. l^unitë suit^ie de plusieurs zéros est un multiple de o plus I. Par exemple,^ loooo est un multiple de 9 -f- i car loooo est la même chose que 9999 + i , ou que un x o .4- I , cVst donc un multiple de 9 plus i .
II 5. Un seul chiffre suit^i de plusieurs zéros est un multiple de 9 plus ce chiffre. Par exemple, 6000 est un multiple de 9 plus 6. En effet, 6000 égale iooo -f- 1000 -(- 1000 +>iooo + 1000 -|- loooj chaque 1000 est un multiple de gt plus i, donc les 6 formeront un multiple de 9 plus 6.
I ;6. Un nombre entier est un multiple de q plus la somme de ses chiffres ajoutés comme des unités simples.
En effet, soit, par exemple, 63.24 le nombre dput il s'agit,, de nombre revient a 6000 + 3oo"+:'2o ^-4. ,
CoBKS BE Mathématiques,
F6000 est un multiple Je g plus 6
1 est un mulliple de 9 plus 3
un niulLÎplc de 9 plus a
Î334 est un multiple Je 9 plus 6 -+" 3 + ^ 4- ^î , c estt-oTre, un multiple Jet) plus la ïoaime de ses chillVf& ajoutés comme des imités simples,
-I15. On trouue te même reste en divisant par ^ la somme des chiffres d'un nombre ajoutes comme des unités simples, ftt'en divisant ce nombre lui-même par 9.
En effet , tout nombre est un multiple dé 9 pliis la somme oe. ses chiffres ajoutés comme des unités simples; en divisant PKT c) le midtipie de o , on n'aiira point de reste, il n'y aura donc de reste que celui mie donnera la somme des diiffres sjoiiiés comme des unités simples, en k divisant par 9. Donc " la somme des chiffres ajoutés comme des unite's simples, lionite 9 ou un, multiple de g, le nombre est uu multiple de 9.
Nomhre 3-
' ï8. Tout nombre est un multiple de 3 plus la somme de ^^ chiffres ajoutes comme des unite's simples.
Eu effet, tout nombre entier est un multiple de 9 plus la *°ninie de ses chiffres ajoutés comme des unîtes simples (116) : •^> tout multiple de 9 ou de 3 x 3, est aussi un multiple île I C8a), donc tout nombre entier est uu multiple de 3 plys '* Somme de ses chiffres ajoutés comme des unités simples. . Donc si la somme des chiffres ajoutés comme des unités- Simples étoit un multiple de 3 , le nombre proposé seroit un, ''^Ultiple de 3 , puisqu'il seixiit la somme de deux multiples de 3.
On dcmoulrerGit d'une manîèfe analogue au n" 117 , qtie ton troui'e le même reste en divisant un nombre entier par •* » mi en divisant la somme seulement de ses chiffres ajoutes *^>nme des unite's simples,
IVomhre 11;
119. Si on a un multiple de 11 plus x, et eju'on- le mulli~ plie par 10 , le produit sera un multiple de 11 moins 1.
En effet,, le produit sera évidemment 10 fois le multiple ^e n plus 10 ou plus II moins i , ce sera donc un multipli; Me II moins i.
I ■ lao. Si on multiplie un multiple de 11 — i par io> le mÊàimit. sera un multiple de 11 plus i.
54 Coup^s DE Mathématiques.
Ea cfRjt , ce produit sera évidemment i o fois le multiple^ de n moins lo ou moins ii plus i j ç'çst-a-dû;e , im, multiple de II plus I.
121. L'unité suif^iç de plusieurs zéros est un multiple de x t plus ou moins i , selon que le nombre des zéros est pair ou, impair.
Eu effet, lo égale. ..•.•••,•••••••• n — t.
En multipliant par lo, on
aura (120) lopégaleunmultipjiedeii-f— r
Multipliant par 10, on aur^
(119) looaégsjemi multiple de II r
G>ntiuuant de multiplier par
10, ou aura. ...... 1 0000 égale un multipk de ii-f-x
I oooôo égale un piultipte de 1 1 1
etc, • 122. Un seul chiffre suivi de plusieurs zéros , est un ntul-^ tiple de 11 plus ou moins ce chiffre , selqn quç h npvtk'^^ des zéros est pair ou impair.
Ainsi 3ooo est un multiple de n — 3 .
En effet, 3ooo est la même chose que 1000 + iooo + tOO^>^ or, chaque looo est up multiple de 11 — i (121), donc l^^ trois raille forment trois multiples de 11— .3, cest-a-difc, olti multiple de 1 1 — 3.
123. Un nombre entier quelconque est un. multiplfi de t- ^ plus la somme des chiffres de rang impair moins la somm^^ ces chiffres de rang pair , en partant de la droite.
En effet, soit, par exemple, 63^4 1^ nombre dçjit il s'agî'Cii ce nombre revient a 6000 + 3oo + 20 + 4-. .
Or, 4 ^sï^r • • ^ • • 4
20 est un multiple de 1 1 — 2
3oo est un multiple de ii + 3
6000 est un multiple de ix — 6,
Donc 6324 é^ale un multiple de ii -f. 4 + ^. — ^-r^- Donc, quand la somme des chiffres de rang pair' égalecelle de rang impair, ou que ces deux sommes diffèrent d'ufk multiple, de 11, le nombre proposé est un multiple, de 11.
Preuî^e par ^ /
124. Pour faire la preuve de la multiplication par 9., ajoutez les chiffres du multiplicande comme des unités simples , retranches c) de leur somme a mesure qu'il s'y trouvera coïitentL ^ màrcpes le reste a côté.
COVAS DE MàTHÉ'MATIQUES. • 55
jsjOQtcz de même les chifFi-es du multiplicateur ,♦ et rétrànchez 9 de leur somme a. mesure qu'il y sera contenu ^ ponléii. le reste sôus celui du mulli]plicaade. " .
Multipliez- Tun par l'autre te jestp dii multiplicande et celui du multiplicateur; retranchez tous les 9 du produit, s'il ea renferme:; marquez le reste k coté. • '* ' .
Si te produit est. exact, il faiit;(|u!àjoutant de* même tou^ les chiffras qui le composent, et lietrandiant tous' les 9 , le i»stc soit égal au produit dei restèfe dii' mUltij^ïcaûde et dU multiplicateur après la suppressic^j ^ 9. ;. .• -.
En effet, le multiplicande esp un niultiple de' ^-^^ ion reste j « et te multiplicateur est. , . . un multipîè de ^'+son reste •
Le multiple de o du nniltijplicande étant multipfié par le multiple de ^ du muK ' tiplicateuir , donne.- ./;.•.... : un niultfplëdè g: ; reste d^ multiplicande étant multi-. ** *'K'.l\ plié par le multiple dç 9 dû muluplî-% ' / .>^.
cateut^.. donne. . . «^ ; • ^ ..-.-» • •. ;,, ufji ,ntultipl^ de g^ liÇ m^tiple de '9 du multipITcand^^ ■ . ^'
mûlûpuë par le reste du mulnpUçj^eur j \, ^ 1
donne. ........ .^ un multiple d€^i\
Enfin , lctc,rfîs|e du multiplica^die îéi^tv. ..-..? . multiplié par le restç du multiplicateur, donné'. . '.' • . v . .. . . . . * . . . . lô produit désres tes»
Lies trois premiers piTQduiti^.ét^nli. des multiples de 9, ne pçuyent pas. donner de re^t€i};.îï p!y aura donc d'autre reste dans teprdduit^ total que celui qui provient du produit dex listes , ejtt y supprimant tpus les . 9. ..
Far exemple , [si on a ; multiplié 6549^ '" ' pat. 454
■jj
cjt trouvé pour produit. . .. ., ag-jSôoga
Opérant comme il a été prescrit sur le multiplicande, j'ai pour reste 5 ; puis , pour le multiplicateur , j'ai pour reste 4 j çue je porte aurdcssous^ le produit des deux rjestes est 20, qui, en retranchant tous tes 9, donne pour re^te 2. Et.co^ime Qu trouve ^ussi 2 pour reste, en retranchant tous les 9 de
56 CoVAft 9S MATHiMATIÇVES.'
la somme des chiiTrés du produit , on en concluera que Toperation peut être bonne
On pourroit feire cette preuve ' de la même manière par le nombre 3 ^ et , ^vec quelc[ues modifications , par lels nombres a, Set ^j^.
[A l'égard de* la division^ elle devient facile a éprouver,, d'après <:e qui a été dit( in.): Après avoir ôté du dividende le reste qu a .ilomié ia division ^^oi> réglera le résultat comme im produit de^t le .diviseur, et le .quotient sont les facteurs ', et par conséquent on y appliquera la preuve par .9 , de la même manière qupA viejit de le iaire.
A parler exactement ^ et. itt: vérification nVst pas înfajllijde^ parce qu.e 1 dans la.muttipUcation , par exemple', si l'on sMtoic trompé de quelques iinté» sur qt^elque chiffre du produit, et: qu*en même temps on eût fait;«ne erreur égale, mais entend contraire % sur quelque autre chiffre du même prodqit: çodid^ cela ne diangeroit rien, au re^^te qii^ 1 on auroit après la sap^'T pression des 9 , cette règle lîe Feroit point apercevoir IVrrciir 9 mais comme il feni , ainsr qû*on le voit , au mbiiis deux êrreifra ^9 et deux jerreurs qui se com'penscmt./ ou qui' ne diffèrent qu ^ d*un certain nombre de fois .,9'., , les cas où cette' téiïf(cittio.^^ acroit fautive I seront très-ràrës ' clà^s Pusage;' 2
Quelques usagers àe'ta règle'' pi*écéde^tei[ *' * ^
laS. [La division sert non-seulement a trouver 'coQi|)îen i* fois un nombre en contient un autre , mais, encore à partage un nombre" ^n pâtties égaleâ. Prendre }a moîtîé,, lé tiers, 1 quart, le einigflnème, le vingtième , le" trentième, etc.. cTu^C^ nombre, cVsi diviser ce nombre par 2,3,4, ^V^^iî^^^/^^^" ou le partager en 2, 3, 4» 5," 20, 3ô , etc.' partl'es égales j^ pour prendre une de ces parties.] ^ . .
ia6. La division «sert encore a convertir les unîtes 'd'une cer'^" taîne espèce', en unités d'une -espèce supérieure : divisez le ^ unités données par le nombre qui marque combien il en fai»- "• pour composer une unité de Fespece immédiatement supérieure ^ vous aurez celles-ci. Continuez successivement jusqu'aux unité ^ que vous voidez trouver.
Par exeniple, pour réduire 5864 ^'^^ nicrs en sob, ou remarquera que puisqu'il faut 1 2 deniers pour faire im sol ^ autant de fois il y aura i a deniers dans 5864 deniers , autant il y aura de sols ; il faul donc diviser par 1 2 , et oja tyou-»
lo6
ao
lo4 8^
Cours be Matiîématiqubs. 57
vera 488 •^ et 8 'H de reste. Pour réduire en livres 488 •/ , on divisera 488 par 20 , puisqu'il faut 20 ^ pour faire la livre y et on aura en total 24 livres 8 sols 8 deniers.
A Foccasion de cette division par 20 , remisirquons que quand' on a à diviser par un nombre suivi* de zéros , on'peut abréger- Vopération en séparant sur la droite du dividende autant de chiffres qu'il a de zéros ; on divise la partie qui reste à gauche , par les chiffres significatifs du diviseur ; s'il y a un reste , ou ccrit a sa suite les chiffres qu'on a séparés , ce qui donne le reste total. Par exemple , pour diviser 5834 , pat 20 ; je sépare le dernier chiffre 4 , et je divise par 2 , la partie restante 583 ; j'ai pour quotient 291 , et i pour reste ; j'écris a côté de cereste I , le chiffre séparé 4 > ce qui me donne x,4 pofir rcfste
total j en sorte que le quotient est 291 -i^.
Gettje' observation peut être appliquée k la réduction de la. cbaige d'un navire en tpnneaux de poids : si Fou sait que la charge est de 2584954 livres, pour la réduire en tonneaux^ cVst-k-dire, pour diviser par 2000 , on séparera les trois dernieifi! chiffre» de la dr9ite, et prenant la moitié des autres oa aura 1292. toaneaux et 954 livres.
Quand on veut évaiiKT en livres et sols le vingtième d^un Bomhcede UvreSL proposé , il suit de cette règle que Topératîon te réduit, à compter le dtrnier chiffre pour des sols ^ et prendi:e moitié des autres chiffres que L'on comptera peur des lifres. Si en prenant cette moitié | il reste une unité , on la comptera • paor . une dixaine de sols qu^on placera à la gauclie da chiffre qj^on a. çépiré d^bojd. Par exemple , si Ton veut avoir Le Vingtième de 54672 liv. on séparera le dernier chiffre 2 que l\>hi comptera pour 2 sols; et pnnant la moitié de 6467 qui est 2733 avec une unité de reste , on écrira 2733 livres 12 fols : ht raison de cette règle est évidente , en faisant attention que '64672' liv* est 54660 liv plus. 12 livres; or le vingtième de .$464o est évidemment 2733 9 et celui de 12 livres est 12 sols I puisque le vingtième d^une hivre est un sol» SM y Avoit de^ sols et deniers dans la somme proposée » on négli- ^eroif le^ deniers dont la vingtième partie ne peut jamais fiiire un denier» A Pégard des sob 9 on les tripleroit ; et pre^ nant lé cinquième y on tes porteroit aux deniers. Ainsi le vingtième de 54672 liv. 17 sols 7 deniers, est 2733 liv. 12 sols 10 deniers.
^S^ii s^âgissolt d*avoîr le dîxfème d*un nombre de livres, on séparerott le dernier chiffre, l'ayant doublé , on le compte roic ponr des sols; et on compteroit comme des livres , tous les chiffre^ restans sur la gauche. Ainsi le dixième de 67987 lit.
^& Cours dr Màthém-à^que^^^
rst 67981 Uv. i4 80U. La raison poqr laquelle on double le itf^ ïiicr chiure « est que le dixième d^une livre est a sols. ]
1 27 . La division sert aussi 'a exprimer dans un système de nmné* ration quelconque , un nombre doimé dans le système décimal.
Pour cela di,Yise? le nombi'e proposé par le nombre des caractères du nouveau système : le reste sera le chiffr.e des unités du premier ordre : divisez le quotient par le même diviseur , le reate sera les, unités, du second ordre : divisez le quotient par le ipênxe diviseur , le reste sera les. unités du tjcoi&iemc ordre : continuez de même jusqu a ce que vous ayez un çiolient moindre que le nombre des. caractères ; ce quotient sera les unités de Tordre le plus élevé, et les rentes precédens vous auront donné tous les autres chiffres..
Par exemple, si on veut exprimer le nombre 8754^*08 le
système de numération où on n'employeroit que les 6 caractères
o, i,îi,î>4,6. Ouique
uiïité du 'secQ^id ordre en valant ici 6 du premier ( 1 5 ) , en divisant par 6 le quotient i^/^^^r^les unités du second ordre > et le resie o sera celles du 6 premier. Chaque unité du troisième ordre en valant * 6 du second, en dhisant X4S9 par 6 , le quotient ^43 i s^ra les imités du troisième ordre, et le reste i celles du second : jen continuant de même, on verra facilement que le nombre proposé , exprimé dan&le système 4e numération ou Ton emploie 6 caractères , sera io4^iQ«
Nombres prerniers^
128. Gn appette Nombres premiers ceux qui ne peuvept être divisés exactemtent par aucun nombre que par eux-inâoieS; ou par l'unité. *
Les nombres premiers jusqu'il loô sont 2, 3,' ,?, 7 j[ iï>' ï3> ^7^ 19» 23, 29; 3i , 3.7, 4i, 43, 47, 53^ 59,61, ^7 > 7 ï > 73 , 79 , 83 , 87 , 89 , 97 . Il seroit aîsé de çrolopgc^ cette tablç.
Du plus gf:and commun dhiseur:
129. liC plus grand commun diviseur de plusieuns nombre; est le plus grand nombre qui puisse les diviser exactement.
Pour trouver le plus çrand comuma diviseiu^ de deux nombres;
Coulis DE Mathématiques. Sp
fl!ïi«i k plus grand par le plus petit; le plus petit par le rcsle, s'il y en a uti ; lu premier reste pat le second , et ainsi dû ïiiile , en divisant toujwi.rs le reste précétleui par le iu>iiveau , jusqua ce que la division se fasse sans reste. Alors le nombre tpii servira de dei'nier diviseur , sera le plus grand commun divir Mur deBdeii!( nombres proposL'S.
i3o. Cette règle est fondée sur ce principe , que tout nombre . *S< JX"" exemple , ijuï en divise exactement deux autres , diuUe aussi exactement le reste de leur division.
Eu effet, le dividende est égalai! diviseur miJtiplié par le q\io-
tiC[H.Pnher + lprP.'irP,Don'^ ï,'^'"-'''f'''"''^ %alg ''"'i'l""'X l»Tlnlien..;.,lier
+'£^, Mais !lËii;Ëî!!i? est par hypothèse un, nombre entier; Piir la même raison *™i"'iT est un nombre entier ; donc
J."""' X 'i| -iiini»er gj^ çj[ n^ gyggj , Q^ jj donc un nombre
SWicr égid à un nombre entier + '*• """ ; par conséquent il «Ht ifue \2J^.'— soit un nombre cntifr, sans «juoi un nombre Wticr scroit égal à tui nomlire entier -r une fraction, ce qui Btibsurde. Ce raisonnement seroît applicable à tout autre cas.
i3i. Cela posé, soit à trouver le plus grand commun diviseur •fe 49 et dé (i3.
Il est évident que ce plus grand commun diviseur ne peut être ptns grand que le pins petit nombre 49, sans quoi il ne le divisemit pas exactement : voyons donc si 4^ liii-mèrtie est le plus grand commun divif*ur , et pour cela divisons 63 par 49- Le quotient est i , que i"-' porte au-dessus de ^q, et le reste est i4- Ainsi 49 n^st P^ le ptiia grand comainn diviseur. Mais comuie le plus grand commun diviseur divise exactement 63 et 49 » '^ '^°^^ aussi «iviset exactement le reste t4 ^"^ ^^"■'^ division : par conséquent " oe peut pas être plus grand que i4- Voyons donc s'il sef'il i\f et pour cela divisons 49. par ^4 ■' '^ quotient est 3, 1"B je porte au-dessus de i4, et le reste est 7. Ainsi le plus Sfand commun diviseur n'est pas 14. Mais comme ce plus granj •^inmun diviseur divise exactement ^9 ^^ i4j 'I Joit diviser ^acteçieut le reste 7 de leur division : par consi'quent il ne l*«t pas être plus grand que 7. Voyons donc s'il est 7,0! pour cela divisons i4 par 7 : le quotient est a , que je porte ^H-dessus de 7 , et il ne reste rien. La division sétant faite **aetement , fcn conclus que 7 est le plus gïajitl commun divi-
6o Cours de Mathématiques.'
En effet, puisque 7 divise exactement i4 > ^1 divise aussi 49 > qui vaut 3 lois 144-7. Puisqu'il divise exactement 49et i4 9 il divise aussi exactement 63 , qui vaut i fois 49 + 14 • il divise donc exactement les deux noiuÉres proposes. Et comme «n a prouvé que le plus grand commim mviseur ne peut pas. être plus grand que 7,7 est donc le plus grand commun diviseur cherche.
i32. Quand le dernier diviseur est i, c'est une preuve (juc les deux nombres proposés nont point de commun diviseur;, ^n dit alors qu'ils sont premiers entre eux ^ quoique souvent ils ne soient premiers ni l'un ni l'autre.
i33. Si on veut avoir le plus grand commun diviseur de plus de deux nombres , on commencera par chercher le plus, grand commun diviseur entre deux quelconques.de ces nombres, puis le plus grand conunun diviseur entre celui-ci et l'un dei nombres restants , et ainsi de suite , jusqu'à, ce que tous les. nombres aient été employés ; alors le dernier diviseur sera k plus grand commun diviseur de tous les nombres proposes.
Exemple XXXVIII. Trouver le plus grand commun difiseuc"
entre 1869 et 7254» Réponse 5.
Exemple XXXIX. Entre 47 5 et 832. Réponse i»
Ainsi ces nombres sont premiers entre eux.
Exemple Xt.. Entre 687 et 294. . Réponse 3.
Exemple XIJ.. Entre 7238 et 6347- Réponse U-
Exemple XLIL Entre 86, 38 et 74. Réponse »• Exemple XLIII. Entre 6ai, i44, 855 et 81. Réponse 9- Exemple XLIV.. Entre 89, 67, 46 et 58.:Réponse i*
Ainsi ces nombres n'ont point de divisent commun a tous les 4«
