Z<.7>«/«.- deitjc nombres différent de Tunitc', leurs

Ajitbémàtiqiibs. 117

euhes diffèrent de trois fois le carre du plus petit -^ 'i J'ois te plus petit + 1.

Car les cubes de deux nombres inégaux diffèrent, en général, de trois fois le carré du pins petit x lu différence -\-, etc. donc si la différence des nombres est i, la tlilierence des cubes sera trois Jhis le carré du plus petit, etc.

On voit donc qiie le cube d'un nombre + i, égale le cube de ce nombre + ^ fois son carrtf -{- i fois ce nombre -(- i . 11 scroît facile de démontrer imniédiateraent ces deux propositions. 28B/II est évident que l'on n'a pas besoin de règles (afiS) pour avoir en nombres entiers la racine cnbi^iie d'un nombre qui n'a pas plus de trois chiffres. Nous allons nous occuper maintenant de l'extraction de la raclcie cid)ique, des nombres composés de plus de quatre clufTres.

Pour extraire la racine cubique d'un nombre de plus de quatre chiffres, pur exemple, Je ai4<i(J89, j'ob- . serve que ce nombre doit avoir, en général, des dixaints et des unités à sa racine, et être composé de quatre parties : savoir, le cube des di:raines -{-, etc. Si je connoîssois le cube des dîxaines, j'en chercherois la racine cubii^ne , j'aurois les dixaines ; mais le cube des dixaines étant des mille, les trois premiers chiffres a droite ne peuvent en faire ' partie , c'est pourquoi je les sépare par ime ^•^^yjyx,^ iir;;ule. C'pst donc''3r4fi qui renferme le

cube des dixaines, ainsi la question est ramenée à extraire la racine cubique de 2i4^.

Ce noinhre ajanl encore plus de quatre chiffres , aura des dixaines et des unités 'a la racine ; il renfcmie donc quatre

Earties : savoir, le cube des dixaines-^-, etc. Si je connoissois : cabe des dixaines, fen extrairois la racine cubique , et fauçois les dixaines; mais le cube des dixaines étant des raille, les trois premiers chiffres à droite n'en peuvent faire partie , c'est poiii'quoi je les sépare par ime virgule. C'est donc dans a que se trouve le cube des disaiiies. Je regarde quel est le plus grand cubç contenu dans 2, c'est i, dont là racine est 1, Ainsi le cfaiiTre des disaines de la n'.ciuc de a i46 est i . J'écris i à la droite . du cube ; je retrancbc son cubé 1 gauche a , ce qui me donne im reste i

3 .418(1.80 4:ia

, de

: la tranche la plus "a

^ . ^ ___ . , a côté duquel j'abaisse

lâ tranche suivante i4<>. Puisque j'ai retranché de a 146 le cube (fes dixaines , le reste et la tranche abaissée ne renferment plus que trois parties du cube : savoir, trois fois le carré des

ii8 Cours de Mathématiques.

dixaines x les unités -f-^ etc. Si je coimoissois trois fois le carre des dixaincs x les unités, en le divisant par trois fois le carré des dixaincs, j'aurois au quotient les unités, puîsquen divisant un produit par un de ses facteurs , on a l'autre au quotient. Mais comme trois fois le carré des dixaines x les unités donne des centaines, les deux premiers cliiffres a droite n'en peuvent faire partie, c'est pourquoi je les sépare par un point. C'est donc dans 1 1 que se trouve au moins trois fois le produit du carré des dixaines x les imités.

Je dis au moins , parce que 1 1 renferme non-seulement ce produit, maïs encore les centaines qui peuvent provenir des deux autres produits et de l'excès de 21 46 sur un cube parfait, s'il n'en est pas un. Divisant donc 1 1 par le triple carré des dixaines de la racine qi^i est i , j'aurai pour quotient au moins les unités. Ce quotient est 2 , que je pose a la droite des dixaincs : pour m'assurer que 2 est bien le chiffre des unités , je cube la racine trouvée 12, ce qui me donne 1728, je retranche ce cu])e des deux tranches sur lesquelles j'ai opéré , j'écris au-dessous le reste qui est 4^8 , et a côté j'abaisse la tranche suivante 689 ; si la soustraction n'avoit pas pu se faire , c'eût été une preuve que le chiffre porté au quotient étoit trop fort , on lauroit diminué jusqu'à ce qu'en recommençant la véniication , la soustraction eût pu se faire. ^

La racine cubique de 2146 étant 12, il en résulte que les dixaines de la racine totale cherchée sont 12 ; ainsi le cube de la racine totale est composé du cube des 12 dixaines + trois fois le carré des 12 dixaines x les unîtes +, etc. Mais en retranchant du nombre proposé le cube des 12 dixaines, il a resté 418689 : ce nonibrc ne renferme donc plus que trois fois le carré des 12 dixaines x les unités +> etc. Eu continuant un raisonnement analogue a celui qui a été faij pltis haut, on trouvera aisément

3 ne le chiffre des unités est 9, et qu'en faisant la vérification c ce chiffre, il ne reste rien : 129 est donc la racine cubique de 2146689.

289. Il est bon d'o1)server que chaque reste doit être plus petit que trois fois le carré de la racine trouvée, + trois fois cette racine + i ; car s'il icnfermoit cette quantité , ce seroit une preuve que la racine seroit. trop foible .lu moins d'une imité. En effet, le nombre dont on vient d'extraire la racine égale le cube de la racine -f- le reste : donc si le reste renferme trois fois le carré de la racine + , etc. ce nombre renfermera le cube de la racine, + trois fois le carré de la racine, + trois fois la racine + 1 : or , ces quatre partiels sont le cube de. ( la racine + 1 ) (287) ;

Cours de Mathématiques. iiy

donc piusque le nombre dont on vient d'extraire la racine renfenpe le cnbe de ( la racine + i ) , sa racine cubique est au moins la racine «4- 1. ^u reste , ce cas ne peut jamais avoir lieu quand on prend toujours le quotient au plus fort.

ago. Comme on peut appliquer dans tous les cas un raisonnemedt analogue a celui que nous avons employé ci-dessus Qi88'). On voit que l'opération se réduit au procédé suivant. . Partagez le nombre proposé en tranches de trois chiffres chacune , en allant de droite h gaucbe ; la dernière peut n'en avoir qu'un ou deux : cherchez la racine du plus grand cube contenu dans la tranche la plus k gauche : écrivez-la a la droite du cube , en l'en séparant par une barre : cubez cette racine, retranchez son cube de la tranche la plus a gauche : écrivez le reste audessous, a côté abaissez la tranche suivante. Séparez les deux derniers chiffres par un point. Carrez la racine , multipliez son carré par 3, et portez le produit sous les chiffres partagés a •gauche ; divisez les chiffres partagés a gauche par ce triple carré des dixaines , vous aurez au quotient au moins les unités , ccrivez-les a la droite des dixaines.

Pour les vérifier et en même temps trouver le reste s'il y en a , cubez la racine , retranchez son cube des deux tranches sur lesquelles vous avez opéré. Si la soustraction n'est pas possible, diminuez la racine d'une unité , et recommencez la vérification ; continuez de même jusqu'à ce que la soustraction puisse s'effectuer ; écrivez au-dessous le reste qui doit toujours être plus petit que trois fois le carré de la racine +^ etc. (289), et a cote abaissez la tranche suivante. Opérez maintenant avec les deux premiers chiff^'es pour trouver le troisième , comme vous avez fait avec le premier pour avoir le second, et continuez de même jusqu'à ce. que vous n'ayez plus de tranches a abaisser.

On voit donc que le nombre des chiffres de la racine est toujours égal au nombre des tranches.

291. Il faut bien remarquer qu'on ne dok diviser par le triple carré des dixaines , que la seule partie qui reste a gauche , ap];^s qu'on a séparé le dernier chiffre, en sorte que si elle ne contenoit pas le triple carré des dixaines, il ne fiaudroit pas pour cela employer les* chiffres séparés : on mettroit zéro a la racine . Si , au contraire , on trouvoit que le triple carré des àiiaines y est plus de 9 fois, on ne mettroit cependant pas plus 4^ 9; la raison en est la même que pour la division (96)*.

120 Cours dk Mathématiques,

Exemple LXXXVI.

[ Soit propose d'extraire la racine cubique de 79507»

Cube. 7 9» 5 07 j 45 Racine.

Pour avoir la partie de ce nombre qui renferme le cube des dixaines de la racine, j'en sépare les trois derniers chiffres, dans lesquels nous venons de voir que ce cube ne peut être compris , puisqu'il vaut des mille.

Je cherche la racine cubique de 79, elle est 4> qu^ j'écris a côté.

Je cube 4 et j'ôte le pn>duit64. de 79; il me reste i5, que j'écris au-dessous de 79.

A côté de i5, j'abaisse 507 , ce qui me donne i55o7 , dans lequel il doit y avoir trois fois le carré des quatre dixaines trouvées , multipliées par les unités que nous cherchons , plus trois ibis ces mêmes dixaines multipliées par le carré des unités,, plus enfin le cube des unités.

Je sépare les deux derniers chiffres 07 : la partie i55 qui .reste a gauch? ; renferme trois fois le carré des dixaiues multiplié parles unités ; c'est pourquoi , afin d'avoir les unités ( 80 )^ j.e vais diriser cette partie i55, par le triple du carré des. quatre dixaines, c'est-à-dire, par 48.

Je trouve que 48 est trois fois dans i55, j'écris, donc 3l a la racine.

Pour éprouver cette racine et connoîtrc le reste, s'il y en a, nous pourrions composer les trois parties du cube qui doivent se trouver dans i55o7 , et voir si elles forment i55o7 , ou dç combien elles en diffèrent ; mais il est aussi commode de faire cette vérification, en cubant tout de suite 4^> c'es-a-dire, en multipliant 4^ par 43 > ce qui produit 1849, ^^ multipliant ce produit par 43> ce qui donne enfin 79507. Ain^i 43 est exactement la racine cubique.

Exemple LXXXVIK

Soit proposé d'exttaîre la racine cubique de 59()947688^

COUKS DE MàTHI^HATIQUKS^. I^l

On considérera sa racine comme composée de dixaiites et d'unités, et par cette raisoa on commencera par séparer les trois derniers chiffres.

La partie 506947 , qui renferme le cube des dixaines, ayant plus de trois chiffres , sa racine en aura plus d un , et par conséquent elle aura des dixaines et des unités ; il faut donc , pour trouver le cube de ces premières dixaines , séparer les ttois çliiffres 747.

Cela posé , je cherche la racine cubique de Sqô , elle est 8 , et j'écris ce 8 a côté. Je cube 8. , et je retranche le produit 5ia, de 596; il reste 84, qne j écris au-dessous de §96.

A côté de 84, j'abaisse 947, ce qui me donne 84947 > dont ).? sépare les deux dernier* chiffres..

Au-dessous de la partje 849, j'écris 192 qui est le triple carré ^de la racinç 8 , et je divise 849 par 192 ; je trouve pour quotient 4 , q^^ j'écris a la racine.

Pour véififieiç cette raicine , et avoir en même temps le reste , je cube 84, et je retranche le produit 5x)27b4> du nombre 596947 ; j'ai pour reste 4343«

A côté de ce reste j'abaisse la tranche 688 , et considérant la racine 84 comme un seul nombre qui marque les dixaines de la racine cherchée , je sépare les deux derniers c^iffires 88 de la tranche abaissée y et je divise la partie 4^4^ P*^ ^^ -irijïle carré de 84, c'est-à-dire, par ftnG8, je trouve pour quotjent a, que j'écris a la suite de 64-

Potir vérifier la racine 84^ et avoir Iç reste , Vil y en a , je ciibe 84à,,et je retranche le produil 596947688, du ncmibre proposé 596947688 : et comme il ne reste rien , j'en condtts» que 84^ est la racine exacte de 596947688. ]

292. Si, n'ayant plus de tranches k abaisser, on trouve un restç, c'est une preuve que le nombre proposé n'est pas un citbe parfait. On ne peut donc en obtenir la racine exactement (276). Mais sa racine étant pJus grande qne la ractfte ttotivée, et plus petite que cette racine augmentée de Funité, ne diiïere pas par conséquent d'une unité de ces êtixx nombres ; c'est pour cela que Ton dit que chacrm d eux est là racine , Yna en moins, Fautre en plas , a moins d'une unité. En giénéral une rapine d'un degré quelconque , est dite k moins d'un degré donné' d'exactitude, lorsque la vraie racine est comprise entre la racine dont il s'agit, et ce^te racine augmentée ou diminuée du degré donné.

122 Couns DE Mathématiques.

Exemple LXXXVIII.

Ou demande la racine cubique de n2543.

En opérant comme il a été dit ci - dessus , ^2543 j 4^ on aura ^i pour racine, a moins dune unilé ^^ I près. Le reste 3622 est Fexcès de 72543 , sur