Quand on a trouvé les quatre premiers chiffres de la

Cours de Mathématiques. 127

racine cubique > par la méthode qu'on vient d'espllquer^ on peut trouver les autres plus promptement par la division | et cela de la manière suivante.

■ Qu'çu demande la racine cubique de 5264627832723456 ; j'en cherche les quatre premiers chiffres ^ par la méthode ordinaire) ils sont 17399 et le reste de l'opération est568i4i3; à côté de ce reste ^ je mets les deux chiffres 72 qui suivent la partie 526462y832 qui a donné les quatre premiers chiffres. (Je mettrois les troi» chiffres qui suivent cette même partie j si la racine trouvée avoit cinq chiffres 9 et les quatre si elle en avoit six.) Je divise 568141372 par 9072363 1 triple carré de la racine 1739; j'ai pour quotient 62 1 et ce sont deux nouveaux chiffres à mettre à la suite de 1739 ^ en sorte que 173962 est | en nombres entiers | la racine cubique du nombre proposé.

Si l'on vouloit pousser plus loin ^ on cuberoit cette racine | et ayant retranché le produjtj du nombre proposé, on mettroit à la suite du reste quatre zéros , et on diviseroit le tout par le triple du carré de 173962^ ce qui donneroit quis^tre décimales pour la racine*

On fera ici la même observation qu'on a faite (264) sur le cas où la division ne donne pas autant de chiffres qu'elle doit^n donner. Et dans ces divisions on s'aidera de la règle abrégée qui a été donnée (102 etsuîv*)'] Nous donnerons plus loin la démonstration de ce procédé.

Nouvelle méthode pour Vextractîoîi des Racines cubiques,

. 307 . Soit 67 1 507968841 le nombre dont il s'agit d'extraire U racine cubique ; on donnera a l'opération la forme suivante ; nous allons ensuite en expliquer les détails.

i3 oo4 968

i^à Cours de Màtbémàtiques*

Je partage comme a lordinaire, et par la même raison^ le nombre en tranches de trois chiflres chacune ^ en allant de cDrôite a gauche ; la racine du plus grand cube contenu dans la dernière tranche est;8 , qui sera les dixaines de la racine cubi<pie des deux premières tranches. Je cube 8 , et retranchant son cube de la tranche la plus k gauche, il reste i59> a côté duquel j'abaisse la tranche suivante, j'ai 1 59607 . Le reste et la tranché abaissée iBgSo";, renferment encore trois parties du cubeî savoir : trois foi^ le carré des huit dixaines x les unités +, etc. donc si on divise 159607 par trois fois le carré des huit dixaines , on aura au quotient au moins les unités : je carre 8, j'ai 64, c multiplie sou carré par 3, j'ai 192, je mets deux iéros k a droite , parce que le carré des dixaines donne des centaines , j'ai 19200. Divisant donc 169507 par 19200 , on aura au moins les unités. Le quotient seroit 8 ; mais en le soumettant a la vérification que nous allons indiquer , on voit qu'il est trop fort , il faut donc essayer 7. La vérification réussit, ainsi 7 est le second chiffre de la racine.

Voici en quoi consisce cette vérification.

Ajprès avoir écrit 7 comme second chiffre de la racine ,* on écrira ce même chiffre k part ( A ) , et k sa gauche le triple 24 du premier chiffre de la racine. Il est évident que le nombre 247 9 q^c ^'^^ ^ura alors , vaut trois fois les mxaines -f- les unités. On multipliera ce nombre 247 par le chiffre 7 des unités , le produit 1729 vaudra donc trois fois les dixsûnes x les unités + le carré des unités. On portera ce produit 1729 sous le triple carré 19200 des dixaines, oiv ajoutera ces deux nombres ensemble; la somme 20929 vaudra trois fois le carré ^fles dixaines + trois fois les dixaines x les unités -4- le carré des unités , en la multipliant par les unités , on formerai donc les trois parties du cube que renferme encore le reste et la tranche abaissée 1 69607 , quand la soustraction n'est pas possible , comme en essayant '8, c'est une preuve que le second chiffre est trop fort, il iaut le diminuer jusqu'à ce que la soustraction soit possible , ce qui auroit lieu dans le cas actuel.

Alors on écrira la somme 20929 sous le reste et la tranche abaissée 159607 , et multipliant 20929 par 7 , ou retranchera a mesure chaque produit de la partie correspondante de 1 69607, on écrira au-dessous le reste i3oo4, qui ne renfermera plus aucime ptirlie du cube des deux premiers chiffres de la racine, et on aLuissera k côté la tranche suivante.

. Pour avoir le troisième chiffre, il faut diviser 18004968 par le triple carré de 87 : or, çç triple ctyré peut se former

bien

Cours de Mathématiques. 129

bien plus brièvement que par les procédés, employés jusqu'à présent.

En effet , il suffit pour le trouver d'ajouter les deux nombres i']2Q et 20929, que nous avons réunis par ime accollade, en y joignant îjussi le carré des unités 49 > q^^ i^^us avons écrit à côté , ce qui donne 22707 , à côté duquel il faut écrire deux zéros j parce que le carré des dixaines est des centaines.

La raison de cela est que X729 renferme 3^/^ les dixaines xles unités + le carré des unités. ^0929 renferme % fois Je carré des dixaines -f- 'ifois les dixaines x les unités +• le carré des unités.

A ces deux nombres nous avons joint 49 carré des unités ; donc la so;nme 22707 renferme 3 Jbis le carré des dixaines -f- 6 fois les dixaines x les unités + 3 fois le carré des unités ; c'e3t-^-dire , le produit- des trois parties du carré multipliées par 3, ou (46) le triple carré de la racine 87.

Divisant donc i3oo4g68 par 2270700, on aura au quotient le troisième chiffre de la racine qui est 5.

Pour le vérifier on l'écrira a part (B) , et a sa gauche le triple 261 des dixaines trouvées, ce qui donnera 261 5. On multipliera ce nombre par 5 , on portera le produit i3o75 sous 2270700; on ajoutera ces deux nombres ensemble, ce qui donnera 2283775; on regardera mentalement si, en multipliant' ce nombre par 5, le produit peut être retranché du reste et de la tranche abaissée i3oo4968 : la soustraction étant possible, on écrira 2283776 sous 1 3 004968 , pour que la soustraction se fasse plus commodément a mesure que Ton fera la multiplication par 5 : on écrira le reste au-dessous, et à côté on abaissera la tranche suivante, ce qui donnera 1 58609384 1.

Four former le triple carré de la racine 875, on écrira, conformément a ce que nous avons dit plus haut, le carré 25 des unités a côté de FaccoUade qui réunit les deux nombres i3o75 et 2283775. Faisant une somme de ces trois nombres, et mettant deux zéros a la droite, on aura 229687500 pour le triple carré des dixaines trouvées.

Divisant donc i586Ô9384i par 229687500, ou aura au quotient le quatrième cmffre de la racine qui est 6.

Pour le vérifier on l'écrira a part (C), et a sa gauche le triple 2625 des dixaines trouvées 875, ce qui donnera 26256. On multipliera ce nombre par 6, et on portera le produit 157536 sous 229687500; on ajoutera ces deux nombres ensemble, ce qui donnera 229846036 ; on regardera mentalement si, en multipliant par 6, le produit peut eirc rctraiiché

Arithmétique y I

i3o Cours be Mathématiques.

de 1 586093841 • La soustraction étant possible ^ on écnca 229845036 sons i586o9384t, pour que la soustraction se jfasse plus commodément a mesure que Ion fera la somstraction par 6. On écrira au-dessous le reste qui est 27023625. Comme U n y a plus de trauches a abaisser , l'opération est terminée. Cette méthode peut être généralisée et appliquée aux élévations de puissances et aux extractions de racines d'un degré quelconque y mais en perdant d'autant plus de son avantage sur les procédés ordinaires, que le degré est plus élevé. Ce n'est pas ici le b'eu de s'étendre davantage sur cet objet , ceux qui désireroient plus de détails , peuvent consulter les tomes Xll et XIII des annales de mathématiques , où j'ai publié cette méthode pour la première fois.

Remarque I.

3o8. Il est essentiel d'observer que, pour appb'quer la définition de la midijplication que nous avons donnée (Sg), il faut que le multiplicateur soit un nombre entier, fractionnaire ou fraction ; et que s'il n étoit pas donné immédiatement en nombre , mais qu'il fût le résultat d'une opération indiquée, il faudroit commencer par eflfectuer cette opération , et c^^st au résultat que la définition seroit applicable.

Par exemple, si on proposoît de multiplier 12 par yô- H faudroit bien se garder de dire : pour obtenir le multiplicateur j il faut prendre l'unité sept fois , et extraire la radnc carrée de la somme; donc pour obtenir le produit, il Juiit prendre le multiplicande sept fois , et extraire la racine carrée de la somme. Mais on commcnceroit par trouver le nombre

entier , fractionnaire ou fraction qui approche de v n" au degré auquel on veut avoir cette quantité, et alors ce seroit avec ce multiplicateur que la définition (Sg) seroit applicable.

Remarque IL

809. Le carré d'une fraction proprement dite est plus petit que cette fraction, puisque pour la carrer il faut la multipliei-

f)ar cUc-même , et qu'en multipliant par une fraction on diminue e multiplicande (201). Parla même raison, le cube d'une fraction proprement dite est plus petit que le carré , et a plus forte raison que la fraction môme. En général les puissances successives d'une fraction proprement dite, vont en diminuant a mesure que le degré est plus élevé. On peut mcme toujours trouver un degré assez élevé pour que la puissance devienne phis petite , que n'importe quelle quantité donnée , comme nous le verrons

GeuKs DE MatHématiçues. i3i

^ns la suite; au contraire, un nombre eniier ou fractionnaire éUDt dcHHié, on peut toiijoiire trouver un àe^ré assez ûlcTt, pMr qu'en (devant le nombre à la puissance marcpiée par ce degré, leproLluit surpasse un nomLre donne (juelcon^e^ qtmlr qUe granrl «jn'il soit,

On voit donc aussi par-là qu'eu extraj'ant la rscifre d'un <}egré quelconque , d'une Iraction propremettt dite , ou la rend plils graude , ot que les racine» des divers degrés de cette fraction vont en angnicntaiu 'a mesure qiie le degré est plus éle^é ; mais quelque voisine qu'elle soit lïe l'unité, sa radne est évidcnmcnt [dus petite , ainsi la racine d'un degré quelconque > d'une fraction proprement dite, est toujours comprise entre cette fraction et l'unité : nous ferons voir qu'on peut toujoni'S trouver un ilegrc' assez élevé ponr que la racine devienne aussi yrès qu'on le voudra de l'unité.

Hemarçoe m.

3iô. n n'est pas inutile Je pt^venir ici tme dllB^ulté qui enibarrasse quelqiietois les commençans, lorsqti'ib veulent ajiplïqûcr à des iionilircs toncretS la liotian dCS puissances. Its se demandent, ptir exemple, tê càrriS d'wtt sûjt, et Se réportileût' que c'est lia sou. Puis le carré de 12 deniers, et le cr'uîéïK de i4.4 Jf^iiiers ou li sûiiS : en sorte que cette difTcreilcc ,^ entré les carrés îles deux expressions d'une tnàiùe. cboSc, leijr pàroît Toti surprenante. Mars il fâiit faire bien attention ^iié to/t ne peut ciirrer un nombre concret, parce que le câfré tfant le produit d'un iiombrC par luî-mêfne, puïs&ue le multiplicateur est toujours considéré comme Eiistfait, iffa^t que te ànJt"îpl!c3iide soit aussi abstrait. Ai'nSi on ne pÉut carrer ni un sou oi 13 deniers, ni 3 jours ni une heure j maii seulement' les nombres abstraits i, 12, 3, i, etc. qui expriment de combSeu d'unités la quantité est composée , abstrftetion faite ensuite de cette imJte, parce que l'on ne peut midliplier par nu sou, etc. mais par le nombre abstrait i , si on prend le sou pour unité , ou 1 , sî on prend la livre , etc. Ceci s'applique aux piiissances de toiis les degrés.

Rem jlAQuE IV.

3ii. L'esiraction des racines carrées et cubiques peut servir aussi à exiraire les racines dont le degré est une puissance de a ou une puissance de 3, ou le produit d'une puissauce de apar une puissance de 3,

3i2. Cour obtenir alors la racine cherchée, il suffît d'cxtrairi.' I a

iJ4 Cours. DE Mathématiques.

multiplies antécédent par antécédent, et conséquent par consé* quent. Un rapport doublé est le produit de deux rapports eçaux multipliés antécédent par antécédent , et conséquent par conséquent. Cn rapport triple est k produit de trois rapports égaux multipliés antécédent par antécédent , et conséquent par conséquent. '

326. Un rapport composé évalué est égal au prcnluit des rapports composans évalués. Par exemple , si on a lin rapport oo^poaé formé des trois rapports 6:7