II. n : i8 . i4 rendre les conséquens égaux aux antécé
i A dens; je pose la raison sous les conséquens ,
" q' ' Q et faisant laddition. fai 11 . 11 : 18 . 18. II . II : 10 . 18 ' ^
338. Pour rendre les conséquens d'une proportion géométrique égaux aux antécédens, multipliez chaque conséquent par la raison y et pour rendre les antécédens égaux aux conséquens^ divisez chaque antécédent par la raison. Cela est évident, puisque l'antécédent peut être regardé comme un produit, donc le conséquent et la raison sont, les deux facteurs (3iq). Par exemple, si j'ai la proportion 5 : 7 : : 10 : i4« Pour en rendre les conséquens égaux aux antécédens, je les multiplie 5 : 7 : : 10 : i4 P^^ ^ raison i , 7 multiplié par i donne îî
- ou 5 , et i4 X- donne 2? ou 10. J'aidono 5 : 5 : : 10 : 10*
Si j'avois voulu rendre les antécédens.
égaux aux conséquens, j'aurdis divisé les antécédens par i., ce qui revient a les
multiplier par 7 (191) ; j'aurois donc ré-
duction faite 7 : 7 : : i4: i4-
Toutes les fois que nous parlerons d'une proportion, sans ïlésigner si elle est arithmétique ou géométrique, il faudra toujours entendre que c'est dune proportion géométrique qu'il
s agit.
Prcprietes des Proportions arithmétiques.
339* La propriété fondamentale dé la proportion arithmétique , est que la somme des extrêmes égale la somme des moyens.
Par exemple, dans la proportion 1 1 . 7 : 18 . i4 , la somme des extrêmes 11 + i4 égale la somme des moyens 7 + 18.
. La raison de cela est que le rapport arithmétique des deux premiers termes 11 — 7 égale le rapport arithmétique des deux derniers 18 — i4 ; ajoutant a ces deux rapports égaux la somme des conséquens 7 + i4> ^^ sommes seront donc égales ; or, ces sommes sont l'une la somme des extrêmes 11 + i4, et l'autre la somme des moyens 7 + 18, donc, etc.
Si les antécédens étoient nioindres que leurs conséquens comme dans la proportion 6.9: 17 . 20 , on ajouteroit aux deux rapports arithmétiques égaux 9 — 6 et 20 — • 17, la somme des
^38 Couns DE Mathématiques.
aiitéccdens 6+17» ce qui donncroit encore la somme des uiovciis 9+17 égale a la somme des extrêmes ao -{«• 6-
'S.\o. Lorsque quatre quantités sont telles que la somme des extrêmes éi!;alc la somme des moyens, elles forment une proportion aridmiétique.
Par exemple, si les quantités 19 • 7 et 3^ . 20 sont telles que 19 + aa égale 7 + 3a , en retranchant de part et Jautre la somme des couséquens 7 + 20 , on aura 19 — 7 égûe 3a — ao ; ainsi les deux rapports aiithçiétiques étant ^aux , il y a proportion arithmétique.
Si les antécédens étoient moindres que leurs conseqaens comme dans les quatre quantités 8.i4eti5.2i,on retrancberoit des deux sommes 8-|-2i et i4 + i5 des extrêmes et ^ moyens supposées égales, la somme des antécédens 8 -f* i5, €« qui donneroit deux restes égaux 21 — i5 et i4 — 8; or, ces listes sont les deux rapport^ arithmétiques, donc il y a, proportion arithmétique.
341. Dans une proportion arithmétique continue la sonune des extrêmes égale le double du terme moyen. Ainsi le terme moyen égale la moitié de la somme des extrêmes.
Kn efict , les moyens étant égaux , la somme des moyens est le double de l'un d'eux ; donc la somme des extrêmes qui est toujours égale a la somme des moyens , est aussi égale au dQ«4)lè du terme moyen, et le terme moyen est égal a la Initié (]e la somme des extrêmes.
34^. Pour trouver un moyen proportionnel arithmétique entre deux nombres donnes, il faut les ajouter ensemble , et prendre la moitié de leur somiue.
En eflet , on appelle moyen proportionnel arithmétique entre deux nombres donnés, le terme moyen d'une proportion arith- Biétique continue , donc les deux nombres donnés sont les deux extrêmes : or, le terme moyen d'mie proportion arithmétique i;outinue est égala la moitié Je la somme des extrêmes, donc pour trouver un moyen proportionnel arithmétique entre deux sombres donnés, il faut les ajouter ensemble, et prendre la «loitié de leur somme.
Par exemple , si on demande un moyen propor^onnel aritb-
métique, entre 87 et 98, j'ajoute 87 et 98 en-
7 semble, j'ai i85. Prenant la moitié de cette somme,
^ j'ai 92 -' pour le moyen proportionnel arithmétique
j"g5 demandé. Ainsi -r 87 . 9a i . 98.
Cours dk Mathématique». iJ^
^4- CaRiioiss^mt trois tenues d'une proportion aiitluuétîiiuc , |iuur U-auvcr le temie moyen iucoutm :
Si le Ifimie chcicbé est lui extrême , il faut ajouter les dcuiç nK>)|etie ensemble , et Je U sqipmc retrancher l'extrême cdobu, le reste sera l'extrême clierclié.
Si le terme cherché est un moj'eu, il Tunt ajouter \t& deux extrêmes enseinble , et de la somme retrancher le moyeu cçauii , le rosiie sein le moyen clierché,
£n efft't, le terme trouvé de celle maïuèrc formera nocessaire»
meut uue propoitiou avec les termes lionnés, puisquil est évi-
àvnt que la somme des extrt^mes sera égale a celle des nioy»n£.
Qb i-eprcseute ordiaairemeut pai^ x le tenue inconnu dune
[iroportiûii.
Par exemple , si on demande le quatrième terme de la propof-
lioo aritlunetique ii .•] -. 19.0:; f ajoute les deux moyens 7 et ig,
Il . 7 : 19 . X égale i5 j'ai 26 pom; h somme des moyens,
'.- de cette somme jV'te l'cxtrcine co(inu
-• - 1 ï j il ^^ '^'^^"^ 1 5 > qui fiSl l'extrême
^ «herché : en efi'et , il est évident qi(e Iq
y sommedes deux extrêmes iietjS,
i5 sera égale a ccUe des moyens 7 et 19.
