Dons une proportion arithmétiijnc , on peut faire tous

W cfajuigcmeas par tiausposilion ilaiJS lesquels les mêmes termes

lî . , , ,i restent extrêmes ou. moyens sans la u-ou-

Llcr , puisque la somme des extrêmes sera

toujours égale à la somme des moyens

Ainsi les quatre termes de la proportion 5.7:11 . i3, fournissrnt les huit proportions ijuu Ion voit ci-contre.

PropriéUi des Proportions géométriques.

345. Dans toute proportion géométrique, le produit des exlfimcs égale le produit des raoyons.

Ea eÛèt, soit la proportion 5 : 7 : : 10 : i4, le rapport des deux premiers termes i étant égal à cehd des deux derniers 1.° , à on réduit ces deux fractiiHis au même dénominateur, les numérateurs seront égaux : or, le numérateur de la première l'si 5 X i4i produit des extrêmes, et le numérateur de la seconde est lo x 7 , produit des moyens, donc, eu effet, le jiroduit des cxlr^Tues égale celui des moyens.

lï.

^4o Cours de Mathématiques.

Comme les propriétés des fractions sur lesquelks repose leur réduction au même dénominateur, ont été démontrée» pour les fractions dont les tenues sont fraclionnaires ou racomraensurables , il s'ensuit que la propriété de la proportion géométrique que nous venons d'établir, subsiste aussi pour les proportions dont les termes sont fractionnaires ou incOHunensurables. Cette observation a lieu pour toute la suite.

346. Lorsque quatre quantités sont telles que le produit des extrêmes égale celui des moyens, elleô forment une proportion.

En effet, soient les quatre quantités i4 : 6 et 28 : la, que Fon suppose telles que le produit i4 x 12 de& extrêmes égale le produit 6 x 2S des. moyens. Si on réduit au même dénominateur les fractions i^ et !? qui mesurent les deux rapports,

h première aura pour numérateur le produit des extrêmes, et la seconde , le produit des moyens J donc puisque ces produits sont égaux par hypothèse, les deux rapports sont égaux, done il y a proportion.

347.' Dans toute proportion gcqpiétrique continue, le produit des extrêmes égale le carré dtf terme moyen , et le terme moyen est égal à la racine carrée du produit des extrêmes.

En effet , les deux moyens étant égaux , leur produit est le carré de l'un d'eux; donc puisque le produit des extrêmes est toujours égal a celui des moyens, il est alors égd au carré Ju terme moyen , et le terme moyen est éga^ k la racine carrée du produit des extrêmes.

Efans la proportion continue 3 ; 6 : : 6 : 12 ou t: 8:6:12,^ on voit que le produit 3 fois 12 ou 36 des extrêmes égale le carré du terme moyen 6. ,

34B. Pour trouver un moyen proportionnel géométriquie , entre deux nombres donnés, il faut multiplier ces deux nombres Fun par l'autre , et extraire la racine carrée du produit. Cette racine sera le moyen proportionnel géométrique demandé.

En effet, on appelle moyen proportionnel - géométrique , entre deux nombres donnés., le terme moyen d'une proportion géométrique continue , dont les deux nombres donnés sont les deux extrêmes; or, le terme moyen d'une proportion géomé^ trique continue est égal a la i:acine carrée du produit '^des extrêmes , donc, etc.

!i49. Lorque l'un des extrêmes est égal a l'un des moyens dans une proportion , l'autre extrême est égal a l'autre moyen. Car il n y a que des quantités égales qui , multipliées^ par un même nombre, donnent des produits égaux, ^ Ainsi 'quand un antécédent égale son conséquent^ l'autre antécédent égale

Coulis DE Mathématiques. i^i

aussi son conséquent , quand les antécéilens sont égaux , les COQséqiiens le sont aussi, et l'èciproquemeuU

î5o. Etant donnés trois termes d'une proportion ftijométrique , pour trouver le terme incom.iu : Si le tenue cherché est un extrême, îl faut multiplier les deux moyens l'un par r»utre, et diviser le produit par l'extrême connu : le quotient sera l'extrême cherelic. Si le terme cherché est un jnoyeii , il tant multiplier les deux exU'cmes l'un par l'auti-e , et diviser le produit par le moyeu coiuiu : le quotient sera le moyen cher(!hé.

En eÛet , il est évident que le terme trouvé par ce procédé , formera uue proportion avec les trois autres, puisque le produit des extrêmes sera évidemment égal à celui des moyens.

Par exemple , si on demande le terme inconnu de ta pro-

rrtion 5 : 7 : : 13 : .r; je multiplie 7 et la l'un par l'autre, produit est 84. Je le divise par 5, et j'ai 16 i pour Vexlrêne ehercbc, en sorte que 5 : ■; t : la : 16 >. En cftet, il est évident que le produit des cxtrêmfs 5 et ifi 4 égale le produit des moyens 84.

35i. Lorsque quatre quantités sont en proportion, en peut faire entre elles tous les changénicns par transposition , après lesquels les quantités qui êtoicnt exlrcmes seront encore extrêmes, et celles qui.ctoifiul moyens scropt encore moyens. Ou bieu 9près lesquels les quantités qui étoicnt extrêmes seront devenues moyens, et celles qui étoieui moyens seront devenues, extrèipes. Car il est évident que, dans le premier cas, le produit des extrêmes et celui des moyens serout composés des luèmes facteurs; ainsi puisqu'ib étoicnt égaux avant le changement, ils le serout encore après, donc il y aura proportion. ' ,

Dans le second cas, les termes qui étoient extrêmes sont devenus moyens, ainsi le produit des moyens actuels est le produit des extrêmes primitifs. Les termes qui étoient moyens sont devenus extrêmes , ainsi le produit des extrêmes actuels est le produit îles moyens primitifs. Donc puisque le produit des extrêmes primitifs ctoit égal au produit des moyens, le produit des moyens actuels sera égia au produit des extrêmes, doBC îl y aura proportion.

Ou voit par-la que daiis toute proportion, ■ 8:4 — ^^3 On peut changer les moyens de place. . . . S : h : : 1 ; i

Changer les extrêmes de place 3 : 4 — " ■ ^

Renverser l'ordie des termes de la proposée. 3 : 6 : : 4 : S

MeiUe chaque antécédent à la place de son ' ,■^,,,.1

conséquent ^-.Qi-.i-.Q

1^^ Cours de MATâÉit Axt^trcs.

Œanget les mbyens de pldtë dans cfette dëtbîète. 4 • 3 : : & : ^

Changer les rapports Se plûce dans la proposée. 6 : 3 : : 8 : 4

QiâtJgief les ttioyiens de pkcé datis bette dcriiiël-e. 6 : 8 > : 3 : 4

Gat" dati^ les qiiatrt preînières propoitiotiS les éîitrêmeS Sarit

les mêmes, ti fes ttioyeiîis les mêmes que dan* là propcfeée,

et dans ks quatre dernièt^es ks extrêim^s sotit l'es dtoyeïls dé

là proposée, et les moyens eti soîat lés exttéttiés^ ddâé aueUrl

de 4ceis chai!gemens n'a trbublé la proportion.

352. Dans urie stiite de rapports égaux, on pelit meitrei mièA chaque antécédent a k place de soû conséquértt ; par éxfetfple. SI oti a 4 • 7 : : 8 : î4 : : Il : 2ï ; on en conclùeta 7 : 4 • • 4 : 8 :: èl : ïdb. En effet, chaque nouveau rapport est égal k Futilté divisée par le rapport primitif corf cspoûittetilt , donc ptrisque les rapports primitifs sont toUs égftiàx, les ikoUVealùï hippom serôtit aussi égaux.