Lorsque deux proportionSi . . . ^ 5? y:: i5;«i

et 10 : i4:.* .i5^2i

Ont un rapport comntUn t5:2i

On peut former une proportion avec les

deux autres rapports ^ . . . . 3: ^::id:i4

Car il est évident que ces deux rsçports. sont églatix, ptdsqii'îîâ

Sont égaux à un même rapport.

354. Eti général, sî'On a un. nombre qtrélconqtié tlè^i^ pôttioiîs ou de suites de rapports égatx, et qu*un rapport tfe li première Suite se trouve aans la seconde ; un de la secdû(fe dans la troisième, Un de la troisième dans la qUâtrièiile, etc. tous eés jfapports sont égattx , et l'on pourra formeï* uitfe setil^ suite de tous ceS rapports ou de ceux dont on alir* bésbift pour l'objet que l'on aura en vue.

Par exemple, si j'ai. . . , 5 : 7 :Vi6 : x4 : : t^ rîîl

i5 î 21 :: lô : 28: : îiS : 35 25 : 35 : 5 io : X*^ : : 3S : 49

J'en conclurai, 5 : 7 : : 10 : i4 : : ^5 : 2? : : 20 : ifS : : i5: ^3 : : 3ô : 42 : : 35 : 49> ou si je n'ai besoin que de teUl^i, .1^ : i4 : : 20 : 28 : : 3o : 4^. En effet, les râppoTTS dte là preniîèté Suite sont égaux a ceux de la* seconde, a cause dU rSppWt commun i5 : 21. Mais ceux de la seconde sont ^aûx à Cfetîl ^ de la troisième , a cause du rapport commun 2S : 33 ; donc tous ces rapports sont égaux.

355. Dans toute propoition géométrique , où pêUt iifriltipuer ou diviser l'un des moyens par tel nombre que l'on VôUcfra, pourvu que l'on divise ou que l'on multiplie l'autre iaaoyên pnr te même nombre : car il est évident que le produit èkfS fÉoycriS

Cours db Mathématiques. i43

ne diaïkge point de yaleur^ et quaiûsi il reste égal a ceitii des extrêmes.

Ainsi si oh a 5 : 7 I : Lo ! i4> on aura aussi 5 : ^ : ; lé xi

: i4, etc. La même propriété subsiste pour les extrêmes.

356. LorSqlie deux proportions ont les mêmes moyens, oa peut former une nouvelle proportion qui a pour extrêijies les èitrêméà dé Funë , et pour môyéttâ ks é^iclf êîiies dfe i'àUtre : il y aura nécessaireméhl jpropôrtion , puiSqtie le ffbditit des éxtrêiàéâ sera égal a cekti dès înbyeîiâ, Comme étâilt FuU et l'autre égaux au produit des moyeni pfîiilîtift.

Par éxeitiplé, èi. . 12 : É^ : : i^ : 5

et 16 : i :: i5 : 6 On^eut en tonclure qiie id : ib : : 6:5. Car 6ïl tétlii de la prémièfô proportioa la x 5 égale 4^.1 5, et en vertu de la Seconde io x 6 égale 4 x i5. Donc i^ x 5 %aîle 10 x 6. Donc 12 : 10 : : 6 : 5, puiscjue le produit des eitrêmes égale Celui des moyens.

Ld jpropositton ànalogUe a UeU quand W extr^e^ des: disux proportîoos. sont é^aux*

357. Si on multiplie un nomBre quelconque de proportiefis par ordre, x'est'a-direj aptécédeilt par antfecédeftt^ et eoHsétjuent par couaéqueiïl f lejs prpdtiits qui e» résuif eront sefont ea pr<5portk)n. Ptar exemple y si on multiplie pay ordre les trois

pTOp€(rCÎOllS 5 : 7 : : i^ : i4

On âi^rsi 5x8x2 : 7x3x5* :: i6)îcf6>c8 : i4kdx20.

En effet , le premier râj^port coiîiposé est êgû au p^Odiiit des trois rapports cpmposans^i, |, 4> et h second rapport composé est égal au produit des trois rapports cbraÇpdsans 15, i?, -,

Donc puisque les trois premiers sont égaux chacun a cnaciui aux trois derniers, le produit des trois première est éga(l au produit des trois derniers : dojîc les. delux rapports coHqpibsc^ sont égaux ; donc il y a proportion.

En général, les deux rapports composés qtie Toû obtie^it sont égaux chacun atr produit des rapports composans évalues : ainsi puisque les rapports composans de l'un sont égaux ctiàcun a chacun aux rapports composans de Fautré , les deux rapports composés seront égaux, donc iï y aui^ proportiow..

358. Si on multiplie par orcfre les termes dWrfombrç quelconque, de suite de rapports égaux , les produiïs fojçilicront une suite

i44 Cours de Mathématiques.

de rapports égaux. La démonstration est absolument la mcmc que la précédente. ,

Ainsi si Ton a ^: 8 : : 5 : ro : : 3 c 6

On pourra en conclure que 4^5x6:8x2X7 :: 5xi5xi2 : iox6xi4 - 3x2oxi8 : 6x8x21.

359. Les puissances semblables de quatre quantités en proportion , sont en proportion.

Par exemple, si on a la proportion 7

En carrant, on aura .7'

£n cubant • 7^