i4* : io\ elc

En effet, puisque Z égale — ; on aura en carrant 2- égale ^r;;

en cubant rj égale ^, etc.

360. On démontrera de même que les puissances semblables des termes d'une suite de rapports égaux , forment une suite de rapports égaux. /

Par exemple, si. ... 24 : 6 : : a8 17 : : 12 : 3 On aura en carrant. . 24* : 6' : : 28' : 7* : : 12* : 3*

en cubant. . 24^ : 6^ : : 28^ : 7' : : 122 : 3^ , etc.

36 1. Les racines carrées de quatre quantités en proportion, sont en proportion.

Soit, par exemple, la proportion 8 : 4 • • ^ • ^

On aura \/8 : \/4": : \/6 : \/3

En effet, puisque 1 égale ^; on aura, en extrayant la racine carrée 77- égale -rn ; donc y 8 : \/4 : : y 6 : y 3,

362. On demontreroit de même que les racines cubiques , et en gênerai, les racines semblables de quatre quantités en proportion , sont en proportion.

363. On prouvera aussi de la même manière que les racines carrées, cubiques, et en général y les racines semblables des termes dune suite de rapports égaux , forment une suite de rapports égaux.

Par exemp. si 8 : 4-- ^' 3:: 10: 5;: i4

on aura y/s :%/^ : :\/6 :y/i : :\/io :\/5 : :^ i^ et.. l/S:\/i::\/6:\/i::\/io:\/5::l/i^

**''• 361. Ou

Cours de M athévatiqu es. i^5

384- ^" ps"^ toujours multiplier cm diviser les artéeédens et les cooséijiiens dune proportion giéométrique, par ua même nombre, s^is la troiiLler.

Ed eflit, soit la proportion 5 : ■; : : lo ; i4- Si oa multiplie les antécêdeus par (ï , par exemple, et que l'on divise les confiéqueos par ii ; je dis que l'oa sura5x6 : ^ : : iox6 : 'S.

^ En effet, par bypolbéae 5t^::io:i4

Mais il ESI évident que 6:i;:6: i

Multipliant CCS deux propDrtions par — '

«rare, il Tient 5x6,: 1 :: iox6: 'J

365. On dcmoiitreroit de même que dans toute suite de rapports égaux , on peut multiplier ou diviser les ante'cédens tUt les conse'quens par un même nombre, sans la troubler. 3â6. Si deux ou un plus grand nombre de proportions que Ton, multipb'e par ordre , sont telles que l'antécédent de l'une âoit égal au conséquent de l'autre dans te rapport homologue, on peut, en les multipliant nar ordre, omettre les fact£urs communs d'antccêdcut â conséquent.

En effet, quand on aduietU'OÎt ces facteurs, on pourroît ensuite les supprimer, puisque ce seroit diviser les deux termes ffiin rapport geomêuique par un même nombre , ce qui n'en change point la valeiu- ( Saa ).

Par exemple, si on a les jiroporlions suivantes a multiplier par ordre i' 1 '■'■ ^ '• li

»' 7:5 :.: ai : i5

en conclura que. . ..4-6:- 8x21 : i4xiS effet, eu admettant tous ces facteurs, ïl viendroii 4x7x5 : 7x5x6 ;: 8x2ixi5 : i4x i5x 18, supprimant les facteurs communs aux deux termes de chaque rapport , H vient 4 : 6 : : 8x21 : i4>« 18.

367 . la mcme chose auroit lieu si on mulliplioit plusieurs «uiies Ae rapports égaux qui eussent des facteurs communs d'antécé- ■'"J a conséquent, dans les rapports homoloffues, ocemple, si on multiplie par ordre les suites

6:7:: iini-.: i8:n 7:5::i4:io::2.:i5 3 : 6 ; : n : 34 : : 9 : i^ 5:3:: 10: 4:: i5: 6

t en conclura que 3;a :: i2Xi2:24*'4- = 9-^ ) se démontre absoliuneat de la luùne manière. ilfiméti'/ue, K

i46 CotjRs DE. Mathématiques.

368. Si deux proportions ont les conse^ens égaux , leurs antécédens seront proportionnels.

Par exemple, si on a. . . . 8 : i5 :: i6 : 3o

et. . . . 1 7 : 1 5 : : 34 : 3o

On pourra en conclure que 8 : 17 : : 16 : 34

En effet, on a par hypothèse. ..... 8 : i5 : : 16 : 3o

Mettant daas la seconde proportion cha-

re antécédent a la place de son conséquent, vient i5 : 17 : : 3o : 34

Multipliant ces deux proportions par ordre, . et omettant leurs facteurs commims d'antécédent a conséquent, il vient 8 : 17 : : 16 : 34

On démontrera absolument de la même manière :

369. Que si les antécédens de deux proportions sont %aux, les conséquens seront proportionnels.

370. Que si les antécédens ou les conséquens d'une suite de rapports égaux, sont égaux chacun a chacun aux antécédens ou aux conséquens d'une autre suite , les conséquens ou les antécédens formeront une suite de rapports égaux.

et 3

On en conclura 7

Par exemp. si on a 8 : 4 • • ^ • ^ • • ^^^ • 5 : : i4 : 7 : : 18

et 12 : 4 • • 9 • 3 : : 1 5 : 5 : ; 2 1 : 7 : : 27 On en conclura 8 : 12 : : 6 : 9 : : 10 : i5 : : i4: 21 : : 18 Et si on a 3 : 7 : : 6 : i4 : : 9:^1

371. On peut faire trois changemens principaux par addi* tion dans une proportion géométrique.

i<>. On peut dire que la somme des deux premiers termes est au second, comme la somme des deux derniers est au quatrième. Par exemple, si on a 5 : 7 : : 10 : i4 On en coucliu'a 5 +■ 7 : 7 : : 10 -f- i4 • ^4

En effet , puisqu'il y a proportion - = ^^ ; ajoutant i de part

„ .i . 5 10 . 5 + 7 io4-i4 et d autre, il vient- + i = -- + i ou «» — - — ^; donc

en effet, 5 + 7 : 7 : : 10 + i4 : i4'

Cette démonstration est générale , puisqu'elle est applicable quels que soient les nombres qui composent la proportion.

372. On démontreroit de même que, dans une suite de rapports égaux, la somme des termes du premier rapport est au premier, conséquent, comme la somme des termes du deuxième rapport est au deuxième conséquent, etc.

Par exemple, si on a 4 • 8 : : 3 : 6 : : 5 : 10 . On aura aussi 4+8 : 8 ;; 3+6; 6 ;; 5-f-io : 10

Cours de Mathématiques. 147

373. 20. La somme des deux premiers termes est au premier^ comme la somme des deux derniers est au troisième. Par exemple, si oa a 5 ; 7 : : 10 : i4 On en conclura 5 + 7 : 5 : : 10 -f- 14 : 10

En effet , puisqu'il y a proportion , i = 2^ ; donc aussi l = !2

^ ^1 ^1 ^ 7i ï4. 7+5 l4H"lO

ajoutant! de part et d autre, ^+1= — +1 ou-^-f— «-1-i — ' , * 5 io 5 ïo

donc en effet , 7 + 5:5:: etc.

374.. On démon treroit de même que, dans une suite de rapports égaux, la somme des termes du premier rapport est au j)remîer antécédent, comme la somme des termes du second rapport est au second antécédent, etc.

Par exemple , si on a 4 : 8 : : 3 : 6 : : 5 : 10 On aura aussi 4 + 8 : 4 • • 3 + 6 ; 3 :: 5+ ro : 5

375. 3<^. La somme des antécédens est à la somme des conséquens, comme un antécédent est a son conséquent. ■

Par exemple, si on a 5 : 7 : : 10 : i4 On en conclura 5 + 10 : 7 + 14 : î 10 : i4

En effets chaque antécédent égale son conséquent multiplié par la raison : donc la somme des antécédens égale la somme ^ des conséquens multipliée par la raison : donc la somme des antécédens divisée par la somme des conséquens égale la raison, c'est-a-dij^e, égale un antécédent divisé par son conséquent. Il y a donc le même rapport entre la somme des antécédens et celle des conséquens qu entre un antécédent et son conséquent, donc en effet, la somme des antécédens est a la somme des conséquens, comme un antécédent est a son conséquent. Par exenjple , dans la proportion 5:7:110:14 On a 5 égale 7 x -

et 10 égale i4 x -

Donc (47) 5 + 10 égale (7 +i4) X ^

5 + 10 , , 5 et , ■ égale -

Donc en effet, 5+io : 7 + 14 •: 5 : 7.

376. Oa démontreroit de même que, dans une suite de rapports égaux , la somme des antécédens est a la somme des conséquens, cQ?nme un antécédent est à son conséquent. Par exemple, SI on a 5 : 7 : : 10 : i4 : : 1 5 :'2i. On aura aussi 5 + 10 + 1 5 ; y + i4 + 2i :: 5*7 ou : : 10 : i4 OU : : i5 : 21.

377. Dans une suite de rapports égaux, la somme d'mi nombre quelconque d'antécédçiis çst à la somme de leurs consc-

i48 Cours bb Mathématiques.

quens j comme la Somme de tout autre nombre d'antécédens est k la somme de leurs consémiens.

Par exemple, si on a 8 : 4 •'• 6 : 3 : : lo : 5 : : i4 : 7 : : 18:9.

Ou aura aussi 8-f-6+ 10: 4 + 3 + 5 : : i4+i8 : 7+9-

En effet, on sait (3^6) <jue la somme d'un certain nombre d antécédens est k la somme de leurs conséquens, comme un antécédent est a son conséquent, 8 + 6 + 10 : 4 + 3 + 5 : : 8 : 4*

Et que la somme de tout autre nombre d'antécédens est a la somme de leurs conséquens , comme un antécédent' est a son conséquent , i4 + 18 : 7 + 9 : : 8 : 4«

A cause du rapport commun dun antécédent a son conséquent, on peut former une proportion avec les autres rapports et dire : la somme d'un certam nombre d'antécédens est a, etc. 8 -^ 6 + 10 : 4 + 3 + 5 : : i4 + 18 : 7 + 9;

378. On peut faire trois changemens principaux par soustraction dans une proportion géométrique :

lo. On peut dire, la diffépence des deux premiers termes est au secoiid , comme la différence des deux derniers est au quatrième. Par exemple, si on a i5:i2::5:47 on aura aussi i5 — 12 : 12 : : 5 — 4 • 4- En effet , puisqu'il y a proportion , Il =» I retranchait l'unité de part et d'autre , il vient

i5 5 i5 — 12 , , 5 — 4 j ir^ 1=3- — I ou égale — ; — ; donc en effet,

Si l'antécédent est plus petit que le conséquent, comme dans la proportion 4 • 16 : : 5 : 20. Je dis que l'on aura encore 16 — 4 : 16 : : 20 — 5 : 20. En effet, on a l^»- , retranchant

ces deux rapports de l'unité, il vient i — 4 «*=» i — - ou

— - — = ; donc 16 — 4 • 16 : : 20 *— 5 : 20. Donc

en général, la différence des deux premiers termes,- etc. On démontreroit de la même manière que :

379. Dans luie suite de rapports égaux, la différence des termes du premier rapport est au premier conséquent , comme la différence des termes du deuxième rapport est au deuxième conséquent, comme la différence des termes du troisième rapport est au troisième conséquent, etc.

Par exemple, dans la suite, i5 : 7 :: 3o : i4 :: 4^ • 2' : : 60 : 28 : : etc. On peut dire : i5 — 7 ^ 7 • • 3o -^ i4 : i4 : : 45 — 2 1 : 2 1 : : 60 — 28 : 28 : : etc.

Et dans la suite, 3: 4 — * 6 : 8 :: 9 : 12 :: etc. On peut dire : 4 "^ 3 : 4 • • 8 «^ 6 ; 8 : : 12 — g ; 12 : : etc.

ConltS DE Ma.TB £m ATIQUES. l^Q

38o. 1°. Dans toute proportion géométrique on peut ilîre, la di[rdr€Dce des deux premiers teriqes çst au premier, comme la différence des deux derniers est au uoisicme.

Par exemple, si on a i5 : 5 .: 13 : 4-

On pourra dire : i5 — 5 : i5. : : la — 4 ' 12. Iji effet puisqu'il y a proportion , on î| ^' =' L' ou -i =. A , retraocbant ces

deux fractions de l'unité, il vient 1 = 1 — ^ nu — -

- ; donc i5 — 5 : i'5 :: ■

Si l'antécéilent est plus petit que le conséquent , par exemple,* si on a 5 : 21 T ; 4 : la ; je dis (jue l'on aura encore ai — • -j ; 7 : : la — 4 ■ 4- En effet , puisiju'il y a proportion i ^ i ; doBC îî ^^ ^ , retranchant l'unité de part et d'autre , il vient

= ; donc 21 — 7 : '] :: la — 4- 4*

On démontrcroit de la même manière que :

38 1. Dans une siute de rapports égaux, la différence dés termes du premier rapport est au premier antécédent, comme la différence des termes du second rapport est au second antécédent, etc.

Par exemple, dans la suite, 7 : 5 : : i4 : 10 : : ai : i5, etc. On peut dire : 7 — 5 : "^ : ; i4 — 10 : i4: : 21 — i5 : 21 , etc.

Et daus la suite, ^ : Ç)-.: H : z^ :: l'i : z"] : : etc. On peut dire :9 — 4:4::i8 — »:8::27— ia:ia::ett;.

38a. 3". Dans toute proportion géométrique, la différence des antécédens est à la différence des conséquens, comme un antécédent est à son conséquent.

En effet, cliaque antécédent égale son consc»nu;nt multiplié par Ja raison; donc la diffêi^ence des antécédens divisée par la différence des conséquens égale la raison (46) , c'est-à-dire , ^ale l'un des antécédens divisé par son conséquent; donc en effet, la différence des antécédens est à, etc.

Par eseraple,. dans la proportion la ; 7 : : 36 : 21 , on peut dire : 36 — la : ai — 7 ;: 15:7.

effet, l'antécédeut 12 égale 7 x " et l'antécédent 36 égale ai x

Donc 36 — 1 2 égale (21 — 7 3 multiplié par '•

«ure :

^^i)oi

Donc Donc 36

égale -

c'est-a-dire, la différence, etc. .

ijo CouRSDE Mathématiques.

383. Dans toute proportion géométrique, on peut dire : la somme des deux premiers tenues est a leur différence, comme la sonune des deux derniers est a leur différence. Et en changeant les moyens de place, la somme des deux premiers termes est à la somme des deux derniers, comme la différence des deux premiers est a la différence des. deux derniers.

En effet, (soit la proportion i5 : 5 : : 12 : 4) 1^ somme des deux premiers termes est au second , comime la somme des deux derniers est au quatrième ( i5 + 5 : 5 : : la + 4 " 4)- Et la différence des deux premiers termes est au second, comme la différence des deux derniers est au quatrième ( 1 5— 5 ; 5 : : 12 — 4 : 4)- ^^ deux proportions ayant les mêmes conséquens , les antécédens sont proportionnels (368); donc on peut dire : h somme des deux prenûers termes est à leur différence, comme la somme des deux derniers est a leur différence (i5 +5 :i5 — 5:: 12+4: 12 — 4)» Et en changeant les moycQs de place , la somme à£s deux premiers termes est a la somime des deux derniers, comme la différence des deux premiers est a la différence des deux derniers ( i5 + 5 : 1 2 + 4 • • 1 5 — 5 : 12 — 4 )•

On démontreroit d'une manière analogue que, dans une suite de rapports égaux, la somme des termes du premier rapport *st à leur différence, comme la somme des termes du second rapport est à leur différence, comme la somme des termes du troisième rapport est a leur différence, etc.

Par exemple, si 9 : 5 : : i4 : 10 : : 2.1 : i5 : : etc. On aura aussi 7+5:^ — 5:: ï4-+'io:i4 — io::2i + i5:2i^ i5:: etc.

334. Dans toute proportion géométrique, la somme des antécédens est a la somme des conséquens, comme la différence des antécédens est a la différence des conséquens. Et en changeant les moyens de place , la somme des antécédens est a leur différence , comme la somme des conséquens est a leur différence.

En effet, (soit la proportion i5:5::i2:4) <lans toute proportion géométrique, la somme des antécédens est a la somme des conséquens , comme un antécédent est a son conséquent ( i5 -f- 12: 5 + 4 :: i5 : 5), et la différence des antécédens est a la différence des conséquens , conwe un antécédent est a son conséquent (i5 — 12: 5 — 4-'i5:5), a cause du rapport commun dun antécédent a son conséquent (i5 : 5). On peut faire une proportion avec les deux autres rapports, et liirc : la somme des antécédens est a la somme des conséquens , comme la différence des antécédens est a la différence des conséfjuens (i5-f-i2: 5+4-' i5"-i2:5 — 4) changeant les moyens de place, il vient la somme des antécédens est h leur

CoDRs DK Mathématiques.

différence, comme la somme des coiiséqncos est a leur difFé- »«nee, ( i5+ 12: i5 — 12 :: 5 +4 : 5 — 4).

385. Lorsque deux fractions oiu le même dénominateur, elles soat entre elles cojiune leurs numérateurs ; ainsi i -. li :: 5 : II. '' '

38G. Lorsque deux fractions ont le mcme numérateur , la première est à la seconde , comme le dénominateur de la seconde est au dénominateur de la première; ainsi i-' : i' : : 19 : 17.

En effet , dans l'un et laulre cas , il est évident que le produit des extrêmes est égal à celui des moyens ; donc il y a proportion (346).