JC
Ainsi selon ce qui a été dit ( 35o), fe muldplie »68t par 3 , et je divise le produit 8o4 par 2; ce quidomie pour le quotiient 4oft^ 9 ^t par conséquent 402*^ pour l'ouvrage que feroîeiit les 60 ouvriers.
Exemple XCIV.
Un navire a fait, avec le même vent, 275 lieues en 5 jours ; on demande en combien de temps il en feroit 2000? toutes les autres circonstances demeurant les mêmes.
Il est évident qu'il faut plus de temps, a proportion du nombre de lieues; et que, par conséquent, le nombre de jours rhcrché doit contenir 3 jours, autant que 2000 lieues contiennent 275 iicues : il faut donc chercher le quatrième terme
d^unc proportion qui commenceroit par ces trois-ci
Multipliant 2000 par 3 , et divisant le produit 6000 par 276 , on auroit 21 jours i.
Exemple XCV.
on demande
Couns DE Matuébiàtiques. ifi!)
des 5a'' ^ 5" , autant que -jj^ i*" Hp coiittciuieiit Sa"^ 4'" ^''■ Il faut (ionc chercher le quatrième terme d'une proporlirm
^Ht commenceroit par ces tmis-ci
Sa^ 4P 5^ : 77T jP gp : : i&Atr p» ^A -. x.
C'es^àfl^ire, qu'il faut multiplier itiS"' tf 4** par 77^ i' 8^, tx diviser le produit pur Sa'^ 4^ ^^ > ce quou peul Vaire par ce qui a été dît (212 et aig).
Mais il sera encore plus simple de réduire les deux premiers lemes a feuv plus petite espèce , c'esih-dire , eu pouces; et la qnestJoo sera réduite à chercher le tjuatrième terme d'upc proportion qui commenceroit par ces trois autres
3797 : 5564:: 168T qs 4*1 :
Alors multipliant 168"" 9' 4'! par 5564, ^° ^^^^ 93734B* lo» a** ; et divisant par 3797 , le quotieut z^Q"' 17' i"^ ï* sera ce quon doit payer pour les 77'^!'' 8''.
S'il y avoit des fractions ; après avoir réduit les deux termes (le mânc espèce , à leur plus petite uiiitc, comme dans cet cxeiûple, on simpUûeroit le rapport de ces deux termes de la manière qui a été enseignée (3a3).
Exemple XCVI.
3o Hommes ont fait un certain ouvrage en aS jours ; comhien faudroit-il d'iiommes , pour faire le même oiivrafje en 10 joursï
On voit qu'il faut , dans ce secoad cas, d'autant plus d'homme*, que le nombre de jours est moindre; ainsi le nombre d'hommes cherché doit contenir le nombre de 3o hommes , autant que le nombre 25 de jours , relatif à ceux-ci , contient le nombre de 10 jours, relatif "a cetix-là, 11 ne s'agît doue que de trouver le quatrième terme d'une proportion qui
commenceroit par ces trois-cî
10*: 25':: So"^»"' :X.
Cest-a-dire , de multiplier 3o par a5 , et Je diviser le produit 750 par loj ce qui donne 75 ou 75'""".
Exemple XCVII.
Un équipage n'a pins que pour 1 5 jours de vivres ; maïs les circoastances doivent lui faire tenir encore la mer pendant 20 jours; on demande a combien on doit réduire la totalité des rations par jour?
Représentons par l'unité , la totalité des vivres que l'on romwmme par jour; on voit que ce à quoi on doit se res- Ireiiulre, doit être d'autant moindre que cette unité, que le nombre 20 des jours, pendant lesquels celte économie doit
1S4 Cotins DB Ma.th
Jurer, esi plus grand que le non conséquent, Jb même qiie 20 joui même la tolalitc Jes «Ivres que "
M ATIQB
bre de i5 jours; (pie par i contiennent i5 jours, de aiiroil consommés pendant
nhacijn de ces i5 jours, doit contenir celles des vivres que l'on consommera pendant chacun des 20 jours : il faut doiic chercher le quatrième terme d'une proportion qui commenceroit par les trois suivaos
Ce quatrième terme ser-a l^ ou h »I faut donc se rédi aux l de ce qu'on auroît consommé par jour, ]
Remaiique.
391. Lorsque l'énoncé de la question est tel qu'après avoir donné aux quantités la disposition convenable pour former une proportion, une principale et la quantité qui y est relative forment les antecedens , tandis que l'autre principale et sa relative forment les conséqucns, c'est-'a-dire, lorsque les relatives augmentent ou diminuent en nLÎnie temps que leurs principales , la règle de trois est dite directe. Et lorsquune principale et sa relative forment les extrêmes , taudis que l'autre principale et sa relative fonjient les moyens, c'est-a-dire , lorsque les relatives augmentent ou diminuent, quand les principales dinûaueut ou augmentent , la règle de trois est dite inverse.
Ainsi les règles de trois des exemples XCIH , XCIV et XCV, sont directes, et celles des exemples XCVI et XCVII, sont inverses.
Deux fractions qui ont le même dénominateur , sont en raison directe de leurs numérateurs , et deux fractions qiii ont le même numérateur sont en raison inverse de leurs dénominatf car ou a^.fl.. 5.^ (385), et I:J::9:8 (386),
Règle oe Tao:s composée.
teutt^^
39a. Pour faire une règle de trois composée, posez séparément chacun des rapports qui déterminent le rapport de la quantité (cherchée à la quantité donnée de même espèce , abstraction faite de tous les antres, aJjsolument comme si la règle de trois étoit simple. Composez ensuite tous ces rapports, vous aurez le premier rapport d'une proportion à laquelle vous donnerez pour troisième terme , la ipiantilé donnée de même espèce que la quantité cherchée, et pour quatrième terme la quantité cherchée. Alors calculant ce quatrième terme (35o), vous aum la quantité cherchée.
Cours de Mathématiques. i55
EXEMPHE XCVIII.
6 Ouvriers, en 3 jours ^ travaillant lo heures par jour, ont fait 2*70 mètres.; en combien de jours, 5 ouvriers trs^vaillant
9 heures par jour, feront-ils 54o njètres?
Pour plus de commodité, j écris sur une ligne tous les nombres de la partie de la question qui est donnée, et je pose au-dessous ^curs homogènes dans la seconde,
Ç° 3» lo** 27o'»^'- .5. 3ç 9 54a
Ne considérons d'abord de différence entre les deux parties ,
3ue dans le nombre d'ouvriers, et posons la question comme suit :
6 Ouvriers y en 'i jours , travaillant 10 heures par jour , ont fait %^o^^^' ^ en combien de jours ^ ^ ouvriers , travaiUofit I o heures par jour , feront-ils 270™^'- ?
Il est évident que la question sera une règle de trois simple X388)', et que Ion ^ura 5 : 6 : : 3 : j; y étant le nombre de jours que 5 ouvriers mettront, en travaillant 10 heures par jou,r, \ f;?ûre 270™^'* Nous pouvons donc regarder^ comme ç^nt une quantité connue.
Nous dirons ensuite : 5 ouvriers, en y jours j travafUant
10 heures par jour, ont fait 270"^''; en combien de jours , 5 ouvriers ; travaillant 9 heures var jour , feront-ils 270™^*-?
Cette règle sera encore simple (388), et donnera. la pro^ portion. 9 : 10 : : 7 : z ; z étant le nombre de joiu:s que 5 ouvriers, travaillant 9 heures par jour, mettront à faire 270"**'- On voit que z peut être regarde comme connu..
Enfin nous, dirons : 5 ouvriers, en z jours, travaillant, 9 heures par jàûr, ont fait 27o'*'^*-/ en combien de jours , 5 ouvriers, travaillant 9 heures par jour , feront-ils 54o™**?
Cette règle est encore simple. ( 388 ) , et donne la proportion 270 : 540 :: z :x; x étant le nombre de jours que 5 ouvriers, travaillant 9 heures par jour, mettront a faire 540™^'- En sorte que x est précisément le nombre de jours demandé dans la question proposée.
U n est pas nécessaire de trouver la valeur de y et celle de z pour trouver x.
]pn effet, nous avons les trois proportions 5 : 6 : : 3 :jr
9< io::j^:r 270 : 540 :: z:x
l5& Coi^KS DE Mat9émitiqve5.
Multipliant ces proportions par ordre (357), ^^ omettant les facteurs communs (l'antécédent a conséquent (366), il vient 5 xQ X 270 : 6 X 10 X 540 ; : 3 : a: ; d'où , en simplifiant, multipliant les deux moyens lun par Fautre , et dÎTisant le produit par Fexjtrême connu , on tire x égale 8 ; 8 est donc le nombre de jours cherché»
EXEMI^LE XCXIX.
[Un homme marchant 7 heures par jour*, a mis 3o jours pour faire 23o lieues ; s'il marchoit 10 heures par jour, combien employeroit-il de jours pour faire 600 lieues, allant toujours ayec la m«me vitesse ? ] .
mi^m^
!i3oo : 4^00 : : 3o : :ç ou 23 : 4.2 : : 3o : ar =8 54 l*.
Coni^ersian des Mesures anciennes en Mesures nouvelles ,
et recîproquemenU
Bgî. La règle dé trois peut servir a convertur d'anciennes mesures en nouvelles , et récipro^ement en faisaut usage dit tableau donné n^ 3o.
Exemple C. Combien 67 lieues valent-elles 'de myriamètres? La question revient a celle-ci (3o).
o {icues yalent 4 myriamètres; combien vaudront 67 lieues? On aura donc 9 : 67 : : 4 >' «z^ «s» 29™^% 7777 3. ; à fort peu
près 29,7778.
Exemple CI. Convertir gSo^ 7* 9^ en francs* Pu^squfS 8i^ valent 80 francs.
On aura 81 : 93o^ 7» 9^ : : 80 : j:
ou 1944^ : 223293 ; : 80 : a: «» 918^, 90.
IEkjemple cil Convertir 918^,90 en ^ «^ ^ Puisque 80 francs valent 81^ (3o).
On aura 80 : 918V90 :: 81''' : x = gSo^, 386, ou(2o5) g3o/^ 78 9^ a trcs-peu près.
GouaS DE MAtHÉMÂTIQBEfl. l5)
Exemple GIIL Conrertir 347*""** | de Paris , en mètre».
Puisque 69 aiiB63 valent 8a mètres (îo).
On aura 69 : 347 | ^ : 82 : a:
Ot 207 : 1043 : : 8fe : a? tea 4i5"**S ^7-
Exemple CIV. Convertir 78^**, 1 3 en aunes et quarts d^aunes»
]Puîsque 82 mètres valent 69 aunes.
On aura 8a ; 78™*% i3 : : 69^*^- : x = 65*^»- h
ExBMTPLE €V. Qttélte e^ «n mettes la hauteur d'un lionime
de5*€P 3**«''*«- 4^ valent i^, 3 (8t^).
Donc 4^: 5^6? 3***- :: ï, 3 : a?«. 1»*% 794.
